Биномиальное приближение

Не путать с Биномиальное распределение § Нормальное приближение .

Биномиальное приближение полезно для приблизительного вычисления степеней сумм 1 и небольшого числа x . В нем говорится, что

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.$

Это действительно, когда $|x|<1$ и $|\alpha x|\ll 1$ где $x$ и $\alpha$ могут быть действительными или комплексными числами .

Преимущество этого приближения состоит в том, что $\alpha$ преобразуется из показателя степени в мультипликативный множитель. Это может значительно упростить математические выражения (как в примере ниже ) и является распространенным инструментом в физике.

Аппроксимацию можно доказать несколькими способами, и она тесно связана с биномиальной теоремой . По неравенству Бернулли левая часть приближения больше или равна правой, если $x>-1$ и $\alpha \geq 1$.

Выводы

Используя линейное приближение

Функция

$f(x)=(1+x)^{\alpha }$

является гладкой функцией для x вблизи 0. Таким образом, линейной аппроксимации стандартные инструменты исчисления применяются :

$f'(x)=\alpha (1+x)^{\alpha -1}$

и так

$f'(0)=\alpha .$

Таким образом

$f(x)\approx f(0)+f'(0)(x-0)=1+\alpha x.$

По теореме Тейлора погрешность в этом приближении равна ${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}\cdot (1+\zeta )^{\alpha -2}}$ за некоторую ценность $\zeta$ который лежит между 0 и x . Например, если $x<0$ и $\alpha \geq 2$, ошибка не более ${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}}$. В небольших обозначениях можно сказать, что ошибка $o(|x|)$, это означает, что ${\textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {\textrm {error}}{|x|}}=0}$.

Использование ряда Тейлора

Функция

$f(x)=(1+x)^{\alpha }$

где $x$ и $\alpha$ может быть вещественным или комплексным, может быть выражено в виде ряда Тейлора относительно нулевой точки.

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}\\f(x)&=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(0)x^{4}+\cdots \\(1+x)^{\alpha }&=1+\alpha x+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha -1)x^{2}+{\frac {1}{6}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)x^{3}+{\frac {1}{24}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)x^{4}+\cdots \end{aligned}}$

Если $|x|<1$ и $|\alpha x|\ll 1$, то члены ряда становятся все меньше и его можно сократить до

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.$

Этот результат биномиального приближения всегда можно улучшить, сохранив дополнительные члены из приведенного выше ряда Тейлора. Это особенно важно, когда $|\alpha x|$ начинает приближаться к единице, или при вычислении более сложного выражения, где первые два члена ряда Тейлора сокращаются ( см. пример ).

Иногда ошибочно утверждают, что $|x|\ll 1$ является достаточным условием биномиального приближения. Простой контрпример состоит в том, чтобы позволить $x=10^{-6}$ и $\alpha =10^{7}$. В этом случае $(1+x)^{\alpha }>22,000$ но биномиальное приближение дает $1+\alpha x=11$. Для маленьких $|x|$ но большой $|\alpha x|$, лучшее приближение:

$(1+x)^{\alpha }\approx e^{\alpha x}.$

Пример

Биномиальное приближение для квадратного корня , ${\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2$, можно применить к следующему выражению:

${\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}$

где $a$ и $b$ реальны, но $a\gg b$.

Математическая форма биномиальной аппроксимации может быть восстановлена ​​путем исключения большого члена $a$ и напоминая, что квадратный корень — это то же самое, что степень половины.

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}-\left(1-{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)-\left(1-\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1-{\frac {b}{2a}}-1-{\frac {b}{2a}}\right)\\&\approx -{\frac {b}{a{\sqrt {a}}}}\end{aligned}}$

Очевидно, что выражение линейно по $b$ когда $a\gg b$ что в противном случае не очевидно из исходного выражения.

Обобщение

Дополнительная информация: Биномиальный ряд.

Хотя биномиальное приближение является линейным, его можно обобщить, сохранив квадратичный член в ряду Тейлора:

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x+(\alpha /2)(\alpha -1)x^{2}$

Применительно к квадратному корню это приводит к:

${\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2-x^{2}/8.$

Квадратичный пример

Рассмотрим выражение:

$(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}$

где $|\epsilon |<1$ и $|n\epsilon |\ll 1$. Если сохраняется только линейный член биномиального приближения $(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ тогда выражение бесполезно упрощается до нуля

${\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx (1+n\epsilon )-(1-(-n)\epsilon )\\&\approx (1+n\epsilon )-(1+n\epsilon )\\&\approx 0.\end{aligned}}$

Хотя выражение маленькое, оно не совсем равно нулю. Итак, теперь, сохраняя квадратичный член:

${\begin{aligned}(1+\epsilon )^{n}-(1-\epsilon )^{-n}&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+(-n)(-\epsilon )+{\frac {1}{2}}(-n)(-n-1)(-\epsilon )^{2}\right)\\&\approx \left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}\right)-\left(1+n\epsilon +{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\right)\\&\approx {\frac {1}{2}}n(n-1)\epsilon ^{2}-{\frac {1}{2}}n(n+1)\epsilon ^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}n\epsilon ^{2}((n-1)-(n+1))\\&\approx -n\epsilon ^{2}\end{aligned}}$

Этот результат квадратичен по $\epsilon$ поэтому оно не появилось, когда только линейные члены в $\epsilon$ были сохранены.