Линейное приближение

Касательная линия в точке ( a , f ( a ))

В математике — линейная аппроксимация это приближение общей функции с помощью линейной функции (точнее, аффинной функции ). Они широко используются в методе конечных разностей для создания методов первого порядка решения или аппроксимации решений уравнений.

Определение

Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция $f$ одной действительной переменной, теорема Тейлора для случая $n=1$ заявляет, что

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}$$

где $R_{2}$ является остаточным членом. Линейное приближение получается отбрасыванием остатка:

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

Это хорошее приближение, когда $x$ достаточно близко к $a$; поскольку кривая при внимательном рассмотрении начнет напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части — это просто уравнение касательной к графику $f$ в $(a,f(a))$. По этой причине этот процесс также называют аппроксимацией касательной линии . Линейные приближения в этом случае дополнительно улучшаются, когда вторая производная от a, $f''(a)$, достаточно мало (близко к нулю) (т.е. в точке перегиба или вблизи нее ).

Если $f$ вогнута вниз в промежутке между $x$ и $a$, приближение будет завышенным (поскольку производная убывает в этом интервале). Если $f$ вогнута вверх , то приближение будет заниженным.

линейные аппроксимации вектор- Аналогично получаются функций векторной переменной с заменой производной в точке матрицей Якоби . Например, если задана дифференцируемая функция $f(x,y)$ с реальными значениями можно аппроксимировать $f(x,y)$ для $(x,y)$ близко к $(a,b)$ по формуле

$$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$$

Правая часть представляет собой уравнение плоскости, касательной к графику $z=f(x,y)$ в $(a,b).$

В более общем случае банаховых пространств имеем

$$f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$$

где $Df(a)$ является Фреше производной $f$ в $a$.

Приложения

Оптика

Основная статья: Гауссова оптика

Гауссова оптика — это метод геометрической оптики , который описывает поведение световых лучей в оптических системах с использованием параксиального приближения , в котором рассматриваются только лучи, составляющие малые углы с оптической осью системы. В этом приближении тригонометрические функции можно выразить как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы . В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображения, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, с точки зрения геометрических форм и свойств материала составляющих элементов.

Период колебаний

Основная статья: Маятник

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , местной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла , на который маятник отклоняется от вертикали, θ ₀ , называемого амплитудой . Это не зависит от массы боба. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записан в нескольких различных формах (см. маятник ), одним из примеров является бесконечный ряд :

$$T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$$

где L — длина маятника, а g — местное ускорение силы тяжести .

Однако если принять линейное приближение (т.е. если амплитуда ограничена небольшими колебаниями, ) период :

$$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1$$

( 1 )

В линейном приближении период колебаний примерно одинаков для колебаний разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронизмом , является причиной того, что маятники так полезны для измерения времени. Последовательные колебания маятника, даже если они меняют амплитуду, занимают одинаковое количество времени.

Электрическое сопротивление

Основная статья: Электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление большинства материалов меняется с температурой. Если температура T не меняется слишком сильно, обычно используется линейное приближение:

$$\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]$$

где $\alpha$ называется температурным коэффициентом удельного сопротивления , $T_{0}$ — фиксированная эталонная температура (обычно комнатная температура), а $\rho _{0}$ сопротивление при температуре $T_{0}$. Параметр $\alpha$ — эмпирический параметр, подобранный на основе данных измерений. Поскольку линейное приближение — это всего лишь приближение, $\alpha$ различна для разных эталонных температур. По этой причине обычно указывают температуру, $\alpha$ измерялся с суффиксом, например $\alpha _{15}$, и эта зависимость сохраняется только в диапазоне температур около эталонного. Когда температура варьируется в широком диапазоне температур, линейное приближение неадекватно, и необходимо использовать более детальный анализ и понимание.

См. также

• Биномиальное приближение
• метод Эйлера
• Конечные разности
• Методы конечных разностей
• метод Ньютона
• Силовая серия
• Серия Тейлора

Дальнейшее чтение

• Вайнштейн, Алан; Марсден, Джеррольд Э. (1984). Исчисление III . Берлин: Springer Verlag. п. 775. ИСБН  0-387-90985-0 .
• Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Колледж Уэлсли. п. 94. ИСБН  0-9614088-2-0 .
• Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к расчету AP . Хауппож, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэрронса. п. 118 . ISBN  0-7641-2382-3 .