Имея заданную геометрическую алгебру, пусть и быть векторами и пусть — многовекторная -значная функция вектора. направлению Производная по вдоль в определяется как
при условии, что предел существует для всех , где предел взят для скаляра . Это похоже на обычное определение производной по направлению, но расширяет его до функций, которые не обязательно являются скалярными.
Далее выберите набор базисных векторов и рассмотрим операторы, обозначенные , которые выполняют производные по направлению в направлениях :
где геометрическое произведение применяется после производной по направлению. Более подробно:
Этот оператор не зависит от выбора системы отсчета и, таким образом, может использоваться для определения того, что в геометрическом исчислении называется производной вектора :
Это похоже на обычное определение градиента , но оно также распространяется на функции, которые не обязательно являются скалярными.
Производная по направлению линейна относительно своего направления, то есть:
Отсюда следует, что производная по направлению является скалярным произведением своего направления на векторную производную. Все, что необходимо учитывать, это то, что направление можно написать , так что:
По этой причине, часто отмечается .
Стандартный порядок действий для векторной производной таков: она действует только на функцию, ближайшую к ней непосредственно справа. Даны две функции и , то, например, мы имеем
Хотя частная производная подчиняется правилу произведения , векторная производная лишь частично наследует это свойство. Рассмотрим две функции и :
Поскольку геометрическое произведение не коммутативно с в общем, чтобы продолжить, нам нужны новые обозначения. Решение состоит в том, чтобы принять с точкой обозначение , в которой областью действия векторной производной с точкой является многовекторная функция, имеющая одну и ту же точку. В этом случае, если мы определим
тогда правило произведения для векторной производной будет
Производная по вектору, как обсуждалось выше, может быть обобщена до производной по общему мультивектору, называемой мультивекторной производной .
Позволять — многовекторная функция многовектора. Производная по направлению относительно в направлении , где и являются мультивекторами, определяется как
где скалярное произведение . С векторный базис и соответствующий дуальный базис , многовекторная производная определяется через производную по направлению как [2]
Позволять быть набором базисных векторов, охватывающих -мерное векторное пространство. Из геометрической алгебры мы интерпретируем псевдоскаляр быть томом подписанным - параллелоэдр , опирающийся на эти базисные векторы. Если базисные векторы ортонормированы , то это единичный псевдоскаляр.
В более общем смысле мы можем ограничиться подмножеством базисных векторов, где , для обработки длины, площади или других общих -объем подпространства в целом -мерное векторное пространство. Обозначим эти выбранные базисные векторы через . Генерал -объем -параллелотоп, опирающийся на эти базисные векторы, является оценкой многовекторный .
В более общем плане мы можем рассмотреть новый набор векторов пропорционально базисные векторы, где каждый из — это компонент, который масштабирует один из базисных векторов. Мы вольны выбирать настолько бесконечно малые компоненты, насколько пожелаем, при условии, что они остаются ненулевыми. Поскольку внешний продукт этих термов можно интерпретировать как -объем, естественным способом определения меры является
Таким образом, мера всегда пропорциональна единичному псевдоскаляру -мерное подпространство векторного пространства. Сравните риманову форму объема в теории дифференциальных форм. Интеграл берется по этой мере:
Более формально, рассмотрим некоторый направленный объем подпространства. Мы можем разделить этот объем на сумму симплексов . Позволять - координаты вершин. Каждой вершине присваиваем меру как средняя мера симплексов, разделяющих одну вершину. Тогда интеграл от относительно над этим объемом получается в пределе более тонкого разбиения объема на более мелкие симплексы:
Основная теорема геометрического исчисления [ править ]
Причина определения векторной производной и интеграла, как указано выше, заключается в том, что они допускают сильное обобщение теоремы Стокса . Позволять быть многовекторной функцией от -оценка ввода и общее положение , линейный по первому аргументу. Тогда основная теорема геометрического исчисления связывает интеграл производной по объему к интегралу по его границе:
В качестве примера позвольте для векторной функции и ( ) многовекторного уровня . Мы находим это
Достаточно гладкая -поверхность в -мерное пространство считается многообразием . К каждой точке многообразия можно присоединить -лезвие то, что касается многообразия. Локально, действует как псевдоскаляр -мерное пространство. Эта лопасть определяет проекцию векторов на многообразие:
Так же, как векторная производная определяется на протяжении всего -мерное пространство, мы можем захотеть определить внутреннюю производную , локально определенный на многообразии:
(Примечание: правая часть вышеизложенного не может лежать в касательном пространстве к многообразию. Следовательно, это не то же самое, что , которое обязательно лежит в касательном пространстве.)
Если является вектором, касательным к многообразию, то действительно и векторная производная, и внутренняя производная дают одну и ту же производную по направлению:
Хотя эта операция вполне допустима, она не всегда полезна, поскольку само по себе не обязательно находится на многообразии. Поэтому мы определяем ковариантную производную как вынужденную проекцию внутренней производной обратно на многообразие:
Поскольку любой общий мультивектор можно выразить как сумму проекции и отклонения, в этом случае
мы вводим новую функцию — тензор формы , что удовлетворяет
где является коммутаторным произведением . В местных координатах охватывающую касательную поверхность, тензор формы определяется выражением
Важно отметить, что на общем многообразии ковариантная производная не коммутирует. В частности, коммутатор связан с тензором формы соотношением
Очевидно, что термин представляет интерес. Однако она, как и внутренняя производная, не обязательно находится на многообразии. Следовательно, мы можем определить тензор Римана как проекцию обратно на многообразие:
Наконец, если имеет сорт , то мы можем определить внутренние и внешние ковариантные производные как
На многообразии локально мы можем назначить касательную поверхность, натянутую набором базисных векторов. . Мы можем связать компоненты метрического тензора , символы Кристоффеля и тензор кривизны Римана следующим образом:
Эти отношения включают теорию дифференциальной геометрии в геометрическое исчисление.
В качестве альтернативы мы можем ввести -классный многовекторный как
и мера
Помимо тонкой разницы в значении внешнего произведения по отношению к дифференциальным формам и внешнего произведения по отношению к векторам (в первом случае приращения являются ковекторами, тогда как во втором они представляют собой скаляры), мы видим соответствия дифференциальной формы
^ Дэвид Хестенс , Гаррет Собчик: от алгебры Клиффорда до геометрического исчисления, единого языка математики и физики (Дордрехт/Бостон: G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN 90-277-2561-6
^ Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. п. 395. ИСБН 978-0-521-71595-9 .
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: E4410630C958DA20263CBAFDD7E737FF__1696246020 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_calculus Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Geometric calculus - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)