Суперсимметричная теория стохастической динамики

Суперсимметричная теория стохастической динамики или стохастика ( СТС ) — точная теория стохастических (частных) дифференциальных уравнений (СДУ), класс математических моделей с самой широкой применимостью, охватывающий, в частности, все динамические системы с непрерывным временем , с шумом и без него. Основная полезность теории с физической точки зрения заключается в строгом теоретическом объяснении повсеместного спонтанного дальнодействующего динамического поведения, которое проявляется в разных дисциплинах через такие явления, как 1/f , мерцание и потрескивание , а также степенную статистику. , или закон Ципфа , мгновенных процессов, таких как землетрясения и нейролавины. С математической точки зрения STS интересен тем, что он соединяет две основные части математической физики – теорию динамических систем и топологическую теорию поля . Помимо этих и связанных с ними дисциплин, таких как алгебраическая топология и суперсимметричные теории поля , STS также связана с традиционной теорией стохастических дифференциальных уравнений. и теория псевдоэрмитовых операторов.

Теория началась с применения процедуры фиксации датчика BRST к СДУ Ланжевена. который позже был адаптирован к классической механике и его стохастическое обобщение, СДУ Ланжевена высшего порядка, и, в последнее время, к СДУ произвольной формы, что позволило связать БРСТ-формализм с концепцией операторов переноса и признать спонтанное нарушение БРСТ-суперсимметрии стохастическим обобщением динамического хаоса .

Основная идея теории состоит в изучении вместо траекторий временной эволюции дифференциальных форм , определяемой СДУ . Эта эволюция имеет внутреннюю BRST или топологическую суперсимметрию, представляющую сохранение топологии и/или концепции близости в фазовом пространстве посредством динамики непрерывного времени. Теория определяет модель как хаотическую в обобщенном стохастическом смысле, если ее основное состояние не является суперсимметричным, т. е. если суперсимметрия нарушается спонтанно. Соответственно, возникающее дальнодействующее поведение, которое всегда сопровождает динамический хаос и его производные, такие как турбулентность и самоорганизованная критичность, можно понимать как следствие теоремы Голдстоуна .

История и связь

Первая связь между суперсимметрией и стохастической динамикой была установлена ​​в двух статьях Джорджио Паризи и Николя Сурласа в 1979 и 1982 годах: который продемонстрировал, что применение процедуры фиксации калибровки BRST к СДУ Ланжевена, т. е. к СДУ с линейными фазовыми пространствами, градиентными векторными полями потока и аддитивными шумами, приводит к N = 2 суперсимметричным моделям. Первоначальной целью их работы было уменьшение размерностей , т. е. специфическое устранение расходимостей в диаграммах Фейнмана, предложенное несколькими годами ранее Амноном Ахарони , Йозефом Имри и Шанг-кенгом Ма . С тех пор связь между появившейся суперсимметрией СДУ Ланжевена и некоторыми физическими концепциями были установлены, в том числе, флуктуационные теоремы о диссипации , равенство Яржинского , Принцип Онзагера микроскопической обратимости . решения уравнений Фоккера–Планка, самоорганизация , и т. д.

Подобный подход был использован для установления того, что классическая механика , его стохастическое обобщение, и СДУ Ланжевена высшего порядка также имеют суперсимметричные представления. Однако реальные динамические системы никогда не бывают чисто ланжевенскими или классическими механическими. Кроме того, физически значимые СДУ Ланжевена никогда не нарушают суперсимметрию самопроизвольно. Поэтому для идентификации спонтанного нарушения суперсимметрии как динамического хаоса необходимо обобщение подхода Паризи–Сурла на СДУ общего вида. Это обобщение могло произойти только после строгой формулировки теории псевдоэрмитовых операторов. поскольку оператор стохастической эволюции в общем случае псевдоэрмитов. Такое обобщение показали, что все СДУ обладают N=1 BRST или топологической суперсимметрией (ТС), и этот результат завершает историю связи между суперсимметрией и СДУ.

Параллельно с процедурным подходом BRST к СДУ математики, работающие в теории динамических систем, ввели и исследовали концепцию обобщенного оператора переноса, определенного для случайных динамических систем. Эта концепция лежит в основе важнейшего объекта СТС — оператора стохастической эволюции — и придает ему прочный математический смысл.

STS имеет тесную связь с алгебраической топологией, и ее топологический сектор принадлежит к классу моделей, известных как топологическая или когомологическая теория поля типа Виттена . Как суперсимметричная теория, BRST-процедурный подход к СДУ можно рассматривать как одну из реализаций концепции отображения Николаи.

Parisi–Sourlas approach to Langevin SDEs

В контексте суперсимметричного подхода к стохастической динамике термин СДУ Ланжевена обозначает СДУ с евклидовым фазовым пространством, $X=\mathbb {R} ^{n}$, векторное поле градиентного потока и аддитивный гауссовский белый шум ,

$${\dot {x}}(t)=-\partial U(x(t))+(2\Theta )^{1/2}\xi (t),$$

где $x\in X$ , $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$— переменная шума, $\Theta$ - интенсивность шума, а $\partial U(x)$, что в координатах $(\partial U(x))^{i}\equiv \delta ^{ij}\partial _{j}U(x)$ и $\partial _{i}U(x)\equiv \partial U(x)/\partial x^{i}$, – векторное поле градиентного потока с $U(x)$ являющаяся функцией Ланжевена, которую часто интерпретируют как энергию чисто диссипативной стохастической динамической системы.

Метод Паризи – Сурласа - это способ построения путевого интегрального представления СДУ Ланжевена. Ее можно рассматривать как процедуру фиксации манометра BRST , в которой в качестве условия манометра используется SDE Ланжевена. А именно, рассматривается следующий функциональный интеграл:

$${\mathcal {W}}=\left\langle \int \dots \int J\left(\prod \nolimits _{\tau }\delta ({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau )))\right)Dx\right\rangle _{\text{noise}},$$

где ${\mathcal {F}}$ обозначает правую сторону СДУ Ланжевена, $\textstyle \langle \cdot \rangle _{\text{noise}}\equiv \int \dots \int \cdot P(\xi )D\xi$ — операция стохастического усреднения с $P(\xi )\propto e^{-\int _{t'}^{t}d\tau \xi ^{2}(\tau )/2}$ являющееся нормализованным распределением шумовых конфигураций,

$\textstyle J=\operatorname {Det} {\frac {\delta ({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau )))}{\delta x(\tau ')}}$

является якобианом соответствующей функциональной производной, а интегрирование путей осуществляется по всем замкнутым путям, $x(t)=x(t')$, где $t'$ и $t>t'$являются начальным и конечным моментами временной эволюции.

размеров

Основная статья: Уменьшение размеров

Конструкция Паризи-Сурласа первоначально была направлена ​​на «уменьшение размеров», предложенную в 1976 году Амноном Ахарони , Йозефом Имри и Шанг-кенг Ма. который доказал, что для всех порядков разложения по возмущениям критические показатели в d -мерной (4 < d < 6) системе с короткодействующим обменом и случайным закаленным полем такие же, как и у ( d –2)-мерной системы. чистая система. Их аргументы указывали на то, что «диаграммы Фейнмана, которые дают ведущее сингулярное поведение для случайного случая, тождественно, за исключением комбинаторных факторов, идентичны соответствующим диаграммам Фейнмана для чистого случая в двух измерениях меньше».

... Паризи и Сурлас ... заметили, что диаграммы с наибольшим инфракрасным расхождением - это диаграммы с максимальным количеством вставок случайных источников, и, если пренебречь другими диаграммами, остается диаграммное разложение классической теории поля в наличие случайных источников.
Затем Паризи и Сурлас указали, что основной феномен связи между случайными системами и чистыми системами в двух измерениях меньше, заключается в том, что классическая теория поля в присутствии случайных источников пертурбативно эквивалентна соответствующей квантовой теории поля в двух измерениях меньше. Паризи и Сурлас объяснили это уменьшение размеров скрытой суперсимметрией.

интерпретация

Топологические аспекты конструкции Паризи–Сурла можно кратко изложить следующим образом. Дельта-функционал, т. е. совокупность бесконечного числа дельта-функций, гарантирует, что только решения СДУ Ланжевена вносят вклад в ${\mathcal {W}}$. В контексте процедуры БРСТ эти решения можно рассматривать как копии Грибова . Каждое решение вносит либо позитивное, либо негативное единство: ${\textstyle {\mathcal {W}}=\textstyle \left\langle I_{N}(\xi )\right\rangle _{\text{noise}}}$с ${\textstyle I_{N}(\xi )=\sum _{\text{solutions}}\operatorname {sign} J}$ являющийся индексом так называемой карты Николаи, ${\textstyle \xi =({\dot {x}}+\partial U)/(2\Theta )^{1/2}}$, которая в данном случае является отображением пространства замкнутых путей в ${\textstyle X}$ в пространство конфигураций шума - карта, обеспечивающая конфигурацию шума, в которой данный замкнутый путь является решением СДУ Ланжевена. ${\textstyle I_{N}(\xi )}$ можно рассматривать как реализацию теоремы Пуанкаре–Хопфа о бесконечномерном пространстве близких путей, где СДУ Ланжевена играет роль векторного поля, а решения СДУ Ланжевена играют роль критических точек с индексом $\operatorname {sign} J$. ${\textstyle I_{N}(\xi )}$ не зависит от конфигурации шума, поскольку имеет топологический характер. То же самое верно и для его стохастического среднего, ${\mathcal {W}}$, который является не статистической суммой модели, а ее индексом Виттена .

Интегральное представление пути

С помощью стандартного метода теории поля, который включает введение дополнительного поля, называемого множителем Лагранжа, $B$и пара фермионных полей, называемых призраками Фаддеева–Попова , $\chi ,{\bar {\chi }}$, индексу Виттена можно придать следующий вид:

$${\mathcal {W}}=\int \dots \int _{p.b.c.}e^{(Q,\Psi )}D\Phi ,$$

где $\Phi$ обозначает совокупность всех полей, pbc обозначает периодические граничные условия, так называемый калибровочный фермион, $\textstyle \Psi =\int _{t'}^{t}d\tau (\imath _{\dot {x}}-{\bar {d}})(\tau )$, с $\textstyle \imath _{\dot {x}}=i{\bar {\chi }}_{j}{\dot {x}}^{j}$ и ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=-i{\bar {\chi }}_{j}\delta ^{jk}(\partial _{k}U+\Theta iB_{k})}$, а БРСТ-симметрия определяется ее действием на произвольный функционал $A(\Phi )$ как $(Q,A(\Phi ))=\textstyle \int _{t'}^{t}d\tau (\chi ^{i}(\tau )\delta /\delta x^{i}(\tau )+B_{i}(\tau )\delta /\delta {\bar {\chi }}_{i}(\tau ))A(\Phi )$. В формализме BRST Q-точные части типа: $(Q,\Psi )$, служат инструментами для фиксации манометров. Следовательно, выражение интеграла по траектории для ${\mathcal {W}}$ можно интерпретировать как модель, действие которой не содержит ничего, кроме члена фиксации калибровки. Это определяющая особенность топологических теорий поля типа Виттена , и в этом конкретном случае БРСТ-процедурного подхода к СДУ БРСТ-симметрия также может быть признана топологической суперсимметрией.

Обычный способ объяснить процедуру BRST — сказать, что BRST-симметрия порождает фермионную версию калибровочных преобразований, тогда как ее общее влияние на интеграл по путям заключается в ограничении интегрирования только конфигурациями, которые удовлетворяют заданному калибровочному условию. Эта интерпретация также применима к подходу Паризи–Сурла, в котором деформации траектории и СДУ Ланжевена играют роль калибровочных преобразований и калибровочного условия соответственно.

Представление оператора

Физические фермионы в моделях физики высоких энергий и конденсированного состояния имеют антипериодические во времени граничные условия. Нетрадиционные периодические граничные условия для фермионов в выражении интеграла по путям для индекса Виттена являются причиной топологического характера этого объекта. Эти граничные условия проявляются в операторном представлении индекса Виттена как знакопеременного оператора:

$${\mathcal {W}}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}{\hat {\mathcal {M}}}_{tt'},$$

где ${\textstyle {\hat {n}}}$ — оператор числа призраков/фермионов и оператор стохастической эволюции за конечное время (SEO), ${\textstyle {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=e^{-(t-t'){\hat {H}}}}$, где,

$${\hat {H}}={\hat {L}}_{-\partial U}-\Theta {\hat {\triangle }}=[{\hat {d}},{\hat {\bar {d}}}],$$

это бесконечно малое SEO с $\textstyle {\hat {L}}$ являющаяся производной Ли вдоль векторного поля индексов, ${\textstyle {\hat {\triangle }}}$ будучи лапласианом, $\textstyle {\hat {d}}=\chi ^{i}\partial /\partial x^{i}$ являющаяся внешней производной , которая является оператором, представляющим топологическую суперсимметрию (TS), и $\textstyle {\hat {\bar {d}}}=-(i{\hat {\bar {\chi }}}_{i})\delta ^{ij}(\partial _{j}U+\Theta (i{\hat {B}}_{j}))$, где $i{\hat {B}}_{j}=\partial /\partial x^{j}$ и $i{\hat {\bar {\chi }}}_{j}=\partial /\partial \chi ^{j}$ — бозонный и фермионный импульсы, а квадратные скобки обозначают биградуированный коммутатор, т. е. он является антикоммутатором, если оба оператора фермионные (содержат нечетное общее число $\chi$'песок ${\hat {\bar {\chi }}}$х) и коммутатор в противном случае. Внешняя производная и $\textstyle {\hat {\bar {d}}}$ являются суперзарядами . Они нильпотентны , например, ${\hat {d}}^{2}=0$и коммутативен с SEO. Другими словами, СДУ Ланжевена обладают суперсимметрией N=2. Тот факт, что $\textstyle {\hat {\bar {d}}}$ это суперзаряд случаен. Для СДУ произвольной формы это неверно.

Гильбертово пространство

Волновые функции являются функциями не только бозонных переменных, $x\in X$, но также чисел Грассмана или фермионов, $\chi \in TX$, из касательного пространства $X$. Волновые функции можно рассматривать как дифференциальные формы на $X$ с фермионами, играющими роль дифференциалов $\chi \equiv dx\wedge$. Концепция бесконечно малого SEO обобщает оператор Фоккера-Планка , который, по сути, представляет собой SEO, действующий на верхние дифференциальные формы, имеющие смысл распределений полных вероятностей . Дифференциальные формы меньшей степени можно интерпретировать, по крайней мере, локально на $X$, как условные распределения вероятностей . Рассмотрение пространств дифференциальных форм всех степеней как волновых функций модели является математической необходимостью. Без него индекс Виттена, представляющий наиболее фундаментальный объект модели — статистическую сумму шума, — не существовал бы, а динамическая статистическая сумма не представляла бы количество фиксированных точек СДУ ( см. ниже ). Наиболее общее понимание волновых функций — это безкоординатные объекты, содержащие информацию не только о траекториях, но и об эволюции дифференциалов и/или показателей Ляпунова .

с нелинейной сигма-моделью и

В ссылке, введена модель, которую можно рассматривать как 1D-прототип топологических нелинейных сигма-моделей (TNSM), подкласс топологических теорий поля виттеновского типа . 1D TNSM определен для римановых фазовых пространств , а для евклидовых фазовых пространств он сводится к модели Паризи – Сурласа. Его ключевым отличием от STS является оператор диффузии, который является лапласианом Ходжа для 1D TNSM и $\textstyle {\hat {L}}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}$для СТС. Это различие несущественно в контексте связи между СТС и алгебраической топологией, установленной теорией 1D TNSM (см. ).

Модель определяется следующим оператором эволюции ${\textstyle {\hat {H}}={\hat {L}}_{-\partial U}+\Theta [{\hat {d}},{\hat {d}}^{\dagger }]}$, где ${\textstyle (\partial U)^{i}=g^{ij}\partial _{j}U}$ с ${\textstyle g}$ будучи метрикой, ${\textstyle [{\hat {d}},{\hat {d}}^{\dagger }]}$ является лапласианом Ходжа и дифференциальными формами из внешней алгебры фазового пространства, ${\textstyle \Omega (X)}$, рассматриваются как волновые функции. Существует преобразование подобия, ${\hat {H}}\to {\hat {H}}_{U}=e^{U/2\Theta }{\hat {H}}e^{-U/2\Theta }$, что приводит оператор эволюции к явно эрмитовой форме ${\hat {H}}_{U}=\Theta [{\hat {d}}_{U},{\hat {d}}_{U}^{\dagger }]$ с ${\hat {d}}_{U}=e^{U/2\Theta }{\hat {d}}e^{-U/2\Theta }=\chi ^{i}(\partial /\partial x^{i}-\partial _{i}U/2\Theta )$. В евклидовом случае ${\hat {H}}_{U}$ — гамильтониан суперсимметричной квантовой механики N=2 . Можно ввести два эрмитовых оператора: ${\hat {q}}_{1}=({\hat {d}}_{U}+{\hat {d}}_{U}^{\dagger })/2^{1/2}$ и ${\hat {q}}_{2}=i({\hat {d}}_{U}-{\hat {d}}_{U}^{\dagger })/2^{1/2}$, такой, что ${\hat {H}}_{U}=\Theta {\hat {q}}_{1}^{2}=\Theta {\hat {q}}_{2}^{2}$ . Это свидетельствует о том, что спектр ${\hat {H}}_{U}$ и/или ${\hat {H}}$ действительна и неотрицательна. Это также верно для SEO-специалистов Langevin SDE. Однако для СДУ произвольной формы это уже не так, поскольку собственные значения СЕО могут быть отрицательными и даже комплексными, что фактически допускает самопроизвольное нарушение ТС.

Следующие свойства оператора эволюции 1D TNSM справедливы даже для SEO СДУ произвольной формы. Оператор эволюции коммутирует с оператором степени дифференциальных форм. Как результат, $\textstyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{(\dim X)}\oplus \dots \oplus {\hat {H}}^{(0)}$, где $\textstyle {\hat {H}}^{(k)}={\hat {H}}|_{\Omega ^{(k)}}$ и $\Omega ^{(n)}(X)$ – пространство дифференциальных форм степени $n$. Кроме того, из-за наличия TS, ${\textstyle \Omega (X)={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {N}}\oplus ({\hat {d}}{\mathcal {N}})}$, где ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ являются суперсимметричными собственными состояниями, ${\textstyle \theta 's}$, нетривиальные в когомологиях де Рама , тогда как остальные представляют собой пары несуперсимметричных собственных состояний вида ${\textstyle |\vartheta \rangle }$ и ${\textstyle {\hat {d}}|\vartheta \rangle }$. Все суперсимметричные собственные состояния имеют ровно нулевое собственное значение и, за исключением случайных ситуаций, все несуперсимметричные состояния имеют ненулевые собственные значения. Несуперсимметричные пары собственных состояний не дают вклада в индекс Виттена, который равен разнице чисел суперсимметричных состояний четных и нечетных степеней: ${\textstyle {\mathcal {W}}=\#\{{\text{even }}\theta 's\}-\#\{{\text{odd }}\theta 's\}.}$Для компактных $X$, каждый класс когомологий де Рама обеспечивает одно суперсимметричное собственное состояние, а индекс Виттена равен эйлеровой характеристике фазового пространства.

Процедура БРСТ для СДУ произвольной формы

Метод Паризи-Сурла в процедуре BRST для СДУ Ланжевена также был адаптирован к классической механике. стохастическое обобщение классической механики, Ланжевена SDE высшего порядка, и, в последнее время, к СДУ произвольной формы. Хотя существуют стандартные методы, которые позволяют рассматривать модели с цветными шумами, «базовыми пространствами» более высокой размерности, описываемыми частичными СДУ и т. д., ключевые элементы STS можно обсудить, используя следующий базовый класс СДУ:

$${\dot {x}}(t)=F(x(t))+(2\Theta )^{1/2}e_{a}(x(t))\xi ^{a}(t),$$

где ${\textstyle x\in X}$ — точка фазового пространства, считаемая для простоты замкнутым топологическим многообразием , $F(x)\in TX_{x}$ — достаточно гладкое векторное поле , называемое векторным полем потока, из пространства касательного $X$, и $e_{a}\in TX,a=1,\ldots ,\dim X$ представляет собой набор достаточно гладких векторных полей, которые определяют, как система связана с шумом, который называется аддитивным / мультипликативным в зависимости от того, является ли $e_{a}$независимы/зависят от позиции на $X$.

Неоднозначность представления интеграла по путям и дилемма

Процедура крепления манометра БРСТ происходит по той же схеме, что и в случае с ланжевеновскими СДЭ. Топологическая интерпретация процедуры БРСТ такая же, а представление индекса Виттена в интеграле по траекториям определяется калибровочным фермионом: $\textstyle \Psi$, заданное тем же выражением, но с обобщенной версией ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=\imath _{F}-\Theta \imath _{e_{a}}(Q,\imath _{e_{a}})}$. Однако на пути к операторному представлению модели возникает одна важная тонкость. В отличие от СДУ Ланжевена, классической механики и других СДУ с аддитивными шумами, представление интеграла по траектории SEO за конечное время является неоднозначным объектом. Эта неоднозначность возникает из-за некоммутативности операторов импульса и положения, например: ${\hat {B}}{\hat {x}}\neq {\hat {x}}{\hat {B}}$. Как результат, $B(\tau )x(\tau )$ в представлении интеграла по пути имеет целое однопараметрическое семейство возможных интерпретаций в операторном представлении, $(\alpha {\hat {B}}{\hat {x}}+(1-\alpha ){\hat {x}}{\hat {B}})|\psi (\tau )\rangle$, где $|\psi (\tau )\rangle$ обозначает произвольную волновую функцию. Соответственно, существует целый $\alpha$-семья бесконечно малых SEO-оптимизаторов,

$${\hat {H}}_{\alpha }={\hat {L}}_{F}-\Theta {\hat {L}}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}=[{\hat {d}},{\hat {\bar {d}}}_{\alpha }],$$

с $\textstyle {\hat {\bar {d}}}_{\alpha }={\hat {\imath }}_{F_{\alpha }}-\Theta {\hat {\imath }}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}$, ${\hat {\imath }}_{F_{\alpha }}$ это внутреннее умножение на векторное поле индекса, а «сдвинутое» векторное поле потока $\textstyle F_{\alpha }=F-\Theta (2\alpha -1)(e_{a}\cdot \partial )e_{a}$. Примечательно, что в отличие от СДУ Ланжевена, ${\hat {\bar {d}}}_{\alpha }$ не является суперзарядом , и STS в общем случае не может быть идентифицирована как суперсимметричная теория N=2.

Представление стохастической динамики в виде интеграла по траектории эквивалентно традиционному пониманию СДУ как непрерывного временного предела стохастических разностных уравнений , где различные варианты выбора параметров $\alpha$ называются «интерпретациями» СДУ. Выбор $\alpha =1/2$, для чего $\textstyle F_{1/2}=F$ и которое известно в квантовой теории как правило симметризации Вейля , известно как интерпретация Стратоновича , тогда как $\alpha =1$ как интерпретация Ито . В то время как в квантовой теории симметризация Вейля предпочтительна, поскольку она гарантирует эрмитичность гамильтонианов, в STS подход Стратоновича-Вейля предпочтителен, поскольку он соответствует наиболее естественному математическому смыслу SEO за конечное время, обсуждаемому ниже, - стохастически усредненному откату, индуцированному Диффеоморфизмы, определенные в SDE.

оператора стохастической

Три возможных типа SEO-спектров на 3D-сфере. Каждая строка троек графиков представляет $spec{\hat {H}}^{(n)},$ $n=0,...3$. для трех типов спектров. Черные точки в начале координат первой и последней линий представляют собой суперсимметричные собственные состояния нулевой и третьей когомологий 3-й сферы. Для типов b и c (самые быстрорастущие) основные (собственные) состояния не являются суперсимметричными, поскольку они имеют ненулевые собственные значения. ТС ломается самопроизвольно. Вертикальные линии со стрелками визуализируют оператор суперсимметрии.

По сравнению с SEO СДУ Ланжевена, SEO СДУ общей формы является псевдоэрмитовым. В результате собственные значения несуперсимметричных собственных состояний не ограничиваются вещественным положительным значением, тогда как собственные значения суперсимметричных собственных состояний по-прежнему равны нулю. Как и в случае СДУ Ланжевена и нелинейной сигма-модели, структура собственной системы SEO восстанавливает топологический характер индекса Виттена: вклады от несуперсимметричных пар собственных состояний исчезают, и только суперсимметричные состояния вносят вклад в эйлерову характеристику (замкнутого) $X$. Среди других свойств SEO-спектров является то, что $\textstyle {\hat {H}}^{(\operatorname {dim} X)}$ и $\textstyle {\hat {H}}^{(0)}$ никогда не нарушайте TS, т.е. $\textstyle Re(\operatorname {spec} {\hat {H}}^{(\operatorname {dim} X)})\geq 0$. В результате существует три основных типа SEO-спектров, представленных на рисунке справа. Два типа, имеющие отрицательные (действительные части) собственные значения, соответствуют спонтанно нарушенному ТС. Все типы SEO-спектров реализуемы, что можно установить, например, из точной связи между теорией кинематического динамо и СТС.

STS без процедуры BRST

оператора стохастической

SEO за конечное время можно получить другим, более математическим способом, основанным на идее изучения вызванных СДУ воздействий на дифференциальные формы напрямую, без прохождения процедуры фиксации калибровки BRST. Полученный таким образом SEO за конечное время известен в теории динамических систем как обобщенный оператор переноса. оно также использовалось в классической теории СДУ (см., например, ). Вклад в это строительство от СТС представляет собой изложение лежащей в ее основе суперсимметричной структуры и установление ее связи с процедурой БРСТ для СДУ.

А именно, для любой конфигурации шума $\xi$, и начальное условие $x(t')=x'\in X$, SDE определяет уникальное решение/траекторию, $x(t)\in X$. Даже для шумовых конфигураций, недифференцируемых по времени, $t$, решение дифференцируемо по начальному условию, $x'$. зависящих от конфигурации шума, самого себя: Другими словами, СДУ определяет семейство диффеоморфизмов фазового пространства, $M_{tt'}:X\to X$. Этот объект можно понимать как совокупность и/или определение всех траекторий, зависящих от конфигурации шума. $x(t)=M_{tt'}(x')$. Диффеоморфизмы вызывают действия или возвраты , $\textstyle M_{t't}^{*}:\Omega (X)\to \Omega (X)$. В отличие, скажем, от траекторий в $X$, откаты являются линейными объектами даже для нелинейных $X$. Линейные объекты можно усреднять и усреднять $M_{t't}^{*}$ над шумовыми конфигурациями, $\xi$, приводит к SEO за конечное время, которое является уникальным и соответствует интерпретации Стратоновича – Вейля процедурного подхода BRST к SDE, ${\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\langle M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=e^{-(t-t'){\hat {H}}_{1/2}}$.

В рамках этого определения SEO за конечное время индекс Виттена можно рассматривать как четкий след обобщенного оператора переноса. Он также связывает индекс Виттена с индексом Лефшеца . ${\textstyle \textstyle I_{L}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}M_{t't}^{*}=\sum _{x\in \operatorname {fix} M_{tt'}}\operatorname {sign} \operatorname {det} (\delta _{j}^{i}-\partial M_{tt'}^{i}(x)/\partial x^{j})}$, топологическая константа, равная эйлеровой характеристике (замкнутого) фазового пространства. А именно, ${\textstyle \textstyle {\mathcal {W}}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}\langle M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=\langle \operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=I_{L}}$.

Значение суперсимметрии и эффекта бабочки

Суперсимметрия N = 2 СДУ Ланжевена связана с принципом микроскопической обратимости Онзагера. и равенство Яжинского . связь между соответствующей N=2 суперсимметрией и эргодичностью . В классической механике была предложена В общих формах SDE, где физические аргументы могут быть неприменимы, доступно объяснение TS более низкого уровня. Это объяснение основано на понимании SEO за конечное время как стохастически усредненного отката диффеоморфизмов, определенных SDE (см. подраздел выше). В этой картине вопрос о том, почему любое СДУ имеет TS, аналогичен вопросу о том, почему внешняя производная коммутирует с обратным образом любого диффеоморфизма. Ответом на этот вопрос является дифференцируемость соответствующего отображения. Другими словами, наличие TS — это алгебраическая версия утверждения о том, что поток с непрерывным временем сохраняет непрерывность потока. $X$. Две изначально близкие точки останутся близкими в ходе эволюции, и это еще один способ сказать, что $M_{tt'}$ является диффеоморфизмом.

В детерминированных хаотических моделях изначально близкие точки могут разойтись в пределе бесконечно долгой временной эволюции. Это знаменитый эффект бабочки , который эквивалентен утверждению, что $M_{tt'}$ дифференцируемость потерь в этом пределе. В алгебраическом представлении динамики эволюция на бесконечно большом временном интервале описывается основным состоянием СЕО, а эффект бабочки эквивалентен спонтанному разрушению ТС, т.е. ситуации, когда основное состояние не является суперсимметричным. Примечательно, что в отличие от традиционного понимания детерминированной хаотической динамики, спонтанный пробой ТС работает и для стохастических случаев. Это самое важное обобщение, поскольку детерминированная динамика, по сути, является математической идеализацией. Реальные динамические системы не могут быть изолированы от окружающей среды и поэтому всегда испытывают стохастическое влияние.

нарушение суперсимметрии и

Процедура фиксации датчика BRST, применяемая к SDE, приводит непосредственно к индексу Виттена. Индекс Виттена имеет топологический характер и не реагирует ни на какие возмущения. В частности, исчезают все корреляторы отклика, рассчитанные с использованием индекса Виттена. Этот факт имеет физическую интерпретацию в рамках СТС: физический смысл индекса Виттена — это статистическая сумма шума а поскольку обратной реакции динамической системы на шум нет, индекс Виттена не несет информации о деталях СДУ. Напротив, информация о деталях модели содержится в другом следообразном объекте теории — динамической статистической сумме

$${\mathcal {Z}}_{tt'}=\int \dots \int _{a.p.b.c.}e^{(Q,\Psi )}D\Phi =\operatorname {Tr} {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'},$$

где apbc обозначает антипериодические граничные условия для фермионных полей и периодические граничные условия для бозонных полей. Стандартным образом динамическая статистическая сумма может быть повышена до производящего функционала путем связывания модели с внешними зондирующими полями.

Для широкого класса моделей динамическая статистическая сумма обеспечивает нижнюю оценку стохастически усредненного числа неподвижных точек диффеоморфизмов, определенных SDE:

$$\left.{\mathcal {Z}}_{tt'}\right|_{t-t'\to \infty }=\sum \nolimits _{p}e^{-(t-t'){\mathsf {E}}_{p}}\leq \langle \#\{{\text{fixed points of }}M_{t't}\}\rangle _{\text{noise}}\propto e^{(t-t')S}.$$

Здесь индекс $p$ пробегает «физические состояния», то есть собственные состояния, которые растут быстрее всего со скоростью экспоненциального роста, заданной как: ${\textstyle \Gamma _{g}=-\min _{\alpha }\operatorname {Re} {\mathsf {E}}_{\alpha }\geq 0}$и параметр $S$ можно рассматривать как стохастический вариант динамической энтропии, такой как топологическая энтропия . Положительная энтропия — один из ключевых признаков детерминированного хаоса. Поэтому ситуация с позитивом $\Gamma _{g}$ должен быть идентифицирован как хаотичный в обобщенном, стохастическом смысле, поскольку он подразумевает положительную энтропию: $0<\Gamma _{g}\leq S$. В то же время положительный $\Gamma _{g}$ подразумевает, что TS нарушается спонтанно, то есть основное состояние не является суперсимметричным, поскольку его собственное значение не равно нулю. Другими словами, положительная динамическая энтропия является основанием для того, чтобы идентифицировать спонтанное разрушение ТС как стохастическое обобщение понятия динамического хаоса. Примечательно, что SDE Ланжевена никогда не бывают хаотичными, потому что спектр их SEO действительно неотрицательен.

Полный список причин, по которым спонтанное нарушение ТС следует рассматривать как стохастическое обобщение концепции динамического хаоса, таков.

• Положительная динамическая энтропия.
• Согласно теореме Голдстоуна , самопроизвольное разрушение ТС должно адаптировать динамическое поведение на больших расстояниях, одним из проявлений которого является эффект бабочки , обсуждавшийся выше в контексте смысла ТС.
• Из свойств собственной системы SEO TS может самопроизвольно сломаться только в том случае, если $\dim X\geq 3$. Этот вывод можно рассматривать как стохастическое обобщение теоремы Пуанкаре–Бендиксона для детерминированного хаоса.
• В детерминированном случае интегрируемые модели в смысле динамических систем имеют четко определенные глобальные устойчивые и неустойчивые многообразия . $F$. Бюстгальтеры/кеты глобальных основных состояний таких моделей являются двойственными Пуанкаре глобальным устойчивым/неустойчивым многообразиям. Эти основные состояния суперсимметричны, поэтому TS не разрушается спонтанно. Напротив, когда модель неинтегрируема или хаотична, ее глобальные (не)стабильные многообразия не являются четко определенными топологическими многообразиями, а скорее имеют фрактальную саморекуррентную структуру, которую можно уловить с помощью концепции ветвящихся многообразий. Волновые функции, которые могут представлять такие многообразия, не могут быть суперсимметричными. Следовательно, нарушение ТС неразрывно связано с концепцией неинтегрируемости в смысле динамических систем, которая на самом деле является еще одним широко принятым определением детерминированного хаоса.

Все вышеперечисленные особенности взлома ТС работают как для детерминистических, так и для стохастических моделей. Это контрастирует с традиционным детерминированным хаосом , чьи свойства, основанные на траекториях, такие как топологическое перемешивание , в принципе не могут быть обобщены на стохастический случай, поскольку, как и в квантовой динамике, все траектории возможны в присутствии шума и, скажем, топологического хаоса. Свойство смешивания тривиально удовлетворяется всеми моделями с ненулевой интенсивностью шума.

теория поля

Квадрат acbd представляет собой инстантон, т. е. семейство траекторий детерминированного потока (кривые со стрелками), ведущих из одной критической точки (б) в другую (а). Бюстгальтер/кет ( $\langle a|$/ $|b\rangle$) локально суперсимметричных основных состояний (вакуумов), соответствующих этим критическим точкам, являются двойственными Пуанкаре локальным неустойчивым/стабильным многообразиям. Операторы ${\hat {O}}_{1,2}$ являются двойниками Пуанкаре вертикальных/горизонтальных линий. Значением инстантонного матричного элемента является номер пересечения (разница количества положительных (черных) и отрицательных (белых) пересечений). Он инвариантен относительно временной эволюции из-за потока, ${\hat {O}}_{1}(0)\to {\hat {O}}_{1}(t)$ .

Топологический сектор СТС можно признать членом топологических теорий поля виттеновского типа . Другими словами, некоторые объекты в STS имеют топологический характер, и индекс Виттена является наиболее известным примером. Существуют и другие классы топологических объектов. Один класс объектов связан с инстантонами , т. е. переходной динамикой. Сминание бумаги, сворачивание белка и многие другие нелинейные динамические процессы в ответ на закалку, т. е. на внешнее (внезапное) изменение параметров, можно признать мгновенной динамикой. С математической точки зрения инстантоны представляют собой семейства решений детерминированных уравнений движения: ${\dot {x}}=F$, которые ведут, скажем, из менее стабильной фиксированной точки $F$ в более устойчивую фиксированную точку. Некоторые матричные элементы, рассчитанные на инстантонах, имеют топологическую природу. Пример таких матричных элементов можно определить для пары критических точек: $a$ и $b$, с $a$ быть более стабильным, чем $b$,

$$\left.\int \dots \int _{x(\pm \infty )=a,b}\left(\prod \nolimits _{i}O_{i}(t_{i})\right)e^{({\mathcal {Q}},\Psi )}D\Phi \right|_{\Theta \to 0}=\langle a|{\mathcal {T}}\left(\prod \nolimits _{i}{\hat {O}}_{i}(t_{i})\right)|b\rangle .$$

Здесь $\langle a|$ и $|b\rangle$ – бра и кет соответствующих пертурбативных суперсимметричных основных состояний, или вакуумов, которые являются двойственными Пуанкаре локальным устойчивым и неустойчивым многообразиям соответствующей критической точки; ${\mathcal {T}}$ обозначает хронологический порядок; $O$- это наблюдаемые, двойственные Пуанкаре некоторым замкнутым подмногообразиям в $X$; ${\hat {O}}(t)={\hat {\mathcal {M}}}_{t_{0},t}{\hat {O}}{\hat {\mathcal {M}}}_{t,t_{0}}$ являются наблюдаемыми в представлении Гейзенберга с $t_{0}$ будучи неважным эталонным моментом времени. Критические точки имеют разные показатели устойчивости, так что состояния $|a\rangle$ и $|b\rangle$ топологически неэквивалентны, поскольку представляют собой неустойчивые многообразия разных размерностей. Вышеуказанные матричные элементы не зависят от $t_{i}'s$ поскольку они на самом деле представляют собой число пересечений $O$-многообразия на инстантоне, как показано на рисунке.

Указанные выше инстантонные матричные элементы точны только в детерминированном пределе. В общем стохастическом случае можно рассматривать глобальные суперсимметричные состояния: $\theta$из когомологий Де Рама классов $X$ и наблюдаемые, $\gamma$, которые являются двойственными Пуанкаре замкнутым многообразиям, в гомологиях нетривиальным $X$. Следующие матричные элементы, $\textstyle \langle \theta _{\alpha }|{\mathcal {T}}\left(\prod \nolimits _{i}{\hat {\gamma }}_{i}(t_{i})\right)|\theta _{\beta }\rangle ,$ являются топологическими инвариантами, представляющими структуру когомологий Де Рама кольца $X$.

Приложения

Суперсимметричная теория стохастической динамики может быть интересна по-разному. Например, STS предлагает многообещающую реализацию концепции суперсимметрии . В общем, есть две основные проблемы в контексте суперсимметрии. Первый — установление связей между этой математической сущностью и реальным миром. В рамках STS суперсимметрия является наиболее распространенной симметрией в природе, поскольку она применима ко всем динамическим системам с непрерывным временем. Второе — спонтанное нарушение суперсимметрии . Эта проблема особенно важна для физики элементарных частиц, поскольку суперсимметрия элементарных частиц , если она существует на чрезвычайно малых масштабах, должна спонтанно нарушаться на больших масштабах. Эта проблема нетривиальна, поскольку суперсимметрии трудно спонтанно нарушить, что и является причиной введения мягкого или явного нарушения суперсимметрии . В рамках STS спонтанное нарушение суперсимметрии действительно является нетривиальным динамическим феноменом, который в разных дисциплинах известен как хаос , турбулентность , самоорганизованная критичность и т. д.

Ниже приведены несколько более конкретных применений STS.

Классификация стохастической динамики

Стохастические динамические системы можно классифицировать по тому, является ли ТС спонтанно нарушенным или нет (упорядоченным/симметричным), а также по тому, является ли векторное поле потока интегрируемым или неинтегрируемым (иногда хаотичным). Симметричную фазу можно определить как тепловое равновесие (Т). Упорядоченную неинтегрируемую фазу можно назвать хаосом (C), поскольку в ней присутствует обычный детерминированный хаос. Упорядоченную интегрируемую фазу можно назвать хаосом, индуцированным шумом (N), поскольку в разрушении ТС участвуют антиинстантоны, которые исчезают в детерминированном пределе. N - фаза также известна в литературе как самоорганизованная критичность.

STS обеспечивает классификацию стохастических моделей в зависимости от того, нарушена ли TS и интегрируемость поля вектора потока. Его можно представить как часть общей фазовой диаграммы на границе хаоса (см. рисунок справа). Фазовая диаграмма обладает следующими свойствами:

• Для физических моделей TS восстанавливается со временем с увеличением интенсивности шума.
• Симметричную фазу можно назвать тепловым равновесием или Т-фазой, поскольку основное состояние представляет собой суперсимметричное состояние стационарного распределения полной вероятности.
• В детерминированном пределе упорядоченная фаза эквивалентна детерминированной хаотической динамике с неинтегрируемым потоком.
• Упорядоченную неинтегрируемую фазу можно назвать хаосом или С-фазой, поскольку к ней принадлежит обычный детерминированный хаос.
• Упорядоченную интегрируемую фазу можно назвать индуцированным шумом хаосом или N-фазой, поскольку она исчезает в детерминированном пределе. ТС нарушается конденсацией (анти)инстантонов (см. ниже).
• При более сильных шумах резкая граница NC должна размыться в кроссовер, поскольку (анти-)инстантоны теряют свою индивидуальность, и внешнему наблюдателю трудно отличить один туннельный процесс от другого.

самоорганизованной

Многие внезапные (или мгновенные) процессы в природе, такие как, например, треск , демонстрируют безмасштабную статистику, часто называемую законом Ципфа . В качестве объяснения этого своеобразного спонтанного динамического поведения было предложено полагать, что некоторые стохастические динамические системы имеют тенденцию самонастраиваться на критическую точку — феноменологический подход, известный как самоорганизованная критичность (SOC). STS предлагает альтернативный взгляд на это явление. В рамках STS SOC — это не что иное, как динамика в N-фазе. В частности, отличительной особенностью N-фазы является своеобразный механизм разрыва ПС. В отличие от С-фазы, где ТС нарушается из-за неинтегрируемости потока, в N -фазе ТС разрушается самопроизвольно за счет сгущения конфигураций инстантонов и шумовых антиинстантонов, т.е. времени -обратные инстантоны. Эти процессы можно грубо интерпретировать как индуцированные шумом туннельные события, например, между различными аттракторами. Качественно динамика в N -фазе представляется внешнему наблюдателю последовательностью внезапных скачков или «лавин», которые должны демонстрировать безмасштабное поведение/статистику в результате теоремы Голдстоуна . Эта картина динамики в N-фазе представляет собой именно то динамическое поведение, для объяснения которого была разработана концепция SOC. В отличие от первоначального понимания SOC, его интерпретация STS имеет мало общего с традиционной теорией критических явлений , в которой безмасштабное поведение связано с неустойчивыми фиксированными точками потока ренормгруппы .

динамо

Магнитогидродинамическое явление кинематического динамо можно также идентифицировать как самопроизвольный пробой ТС. Этот результат следует из эквивалентности оператора эволюции магнитного поля и ЭО соответствующего СДУ, описывающего течение фонового вещества. Возникшее таким образом соответствие ВТС-кинематическое динамо доказывает, в частности, что возможны оба типа спектров разрушения ТС, с действительными и комплексными собственными значениями основного состояния, поскольку известны кинематические динамо с обоими типами наиболее быстро растущих собственных мод.

динамика

Хорошо известно, что различные типы переходной динамики, такие как закалка, демонстрируют спонтанное поведение на больших расстояниях. В случае закалок при фазовых переходах такое поведение часто связывают с близостью критичности. Также известно, что закалки, не демонстрирующие фазового перехода, обладают дальнодействующими характеристиками, наиболее известными примерами которых являются эффект Баркгаузена и различные реализации концепции потрескивающего шума . Интуитивно привлекательно то, что теоретические объяснения безмасштабного поведения при закалке должны быть одинаковыми для всех закалок, независимо от того, приводит ли она к фазовому переходу или нет; СТС предлагает такое объяснение. А именно, переходная динамика по существу представляет собой составной инстантон, а TS по своей сути нарушается внутри инстантонов. Несмотря на то, что нарушение ТС внутри инстантонов не связано с явлением спонтанного нарушения симметрии глобальным основным состоянием, это эффективное нарушение ТС также должно приводить к безмасштабному поведению. В пользу такого понимания говорит тот факт, что конденсированные инстантоны приводят к появлению логарифмов в корреляционных функциях. Эта картина переходной динамики объясняет вычислительную эффективность цифровых мемкомпьютерных машин.

См. также

• Стохастическое квантование