Топологическая энтропия

Эта статья об энтропии в геометрии и топологии. Чтобы узнать о других значениях, см. Энтропия (значения) .

В математике топологическая энтропия топологической динамической системы — это неотрицательное расширенное действительное число , которое является мерой сложности системы. Топологическая энтропия была впервые введена в 1965 году Адлером , Конхеймом и МакЭндрю. Их определение было смоделировано по образцу определения Колмогорова -Синая , или метрической энтропии . Позже Динабург и Руфус Боуэн дали другое, более слабое определение, напоминающее измерение Хаусдорфа . Второе определение прояснило смысл топологической энтропии: для системы, заданной итеративной функцией , топологическая энтропия представляет собой экспоненциальную скорость роста числа различимых орбит итераций. Важный вариационный принцип связывает понятия топологической и теоретико-мерной энтропии.

Определение

Топологическая динамическая система состоит из топологического пространства X (обычно считающегося компактным ) и непрерывного самоотображения f : X → X. хаусдорфового Его топологическая энтропия представляет собой неотрицательное расширенное действительное число , которое можно определить различными способами, которые, как известно, эквивалентны.

Определение Адлера, Конхейма и МакЭндрю

Пусть X — компактное топологическое пространство Хаусдорфа. Для любого конечного открытого покрытия C пространства X пусть H ( C ) будет логарифмом (обычно по основанию 2) наименьшего числа элементов C которые покрывают X. , Для двух покрытий C и D пусть $C\vee D$ — их (минимальное) общее уточнение, состоящее из всех непустых пересечений множества из C с множеством из D , и аналогично для кратных покрытий.

Для любого непрерывного отображения f : X → X существует следующий предел:

$H(f,C)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C).$

Тогда топологическая энтропия f , обозначаемая h ( f ), определяется как верхняя грань H ( f , C ) по всем возможным конечным C пространства X. покрытиям

Интерпретация

Части C которые (частично) описывают положение точки x в X : всем точкам x ∈ Ci _{присваивается} символ Ci _{можно рассматривать как символы ,} . Представьте себе, что положение x (несовершенно) измеряется определенным устройством и что каждая часть C соответствует одному возможному результату измерения. $H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C)$ затем представляет собой логарифм минимального количества «слов» длины n, необходимых для кодирования точек X в соответствии с поведением их первых n − 1 итераций под f , или, другими словами, общее количество «сценариев» поведение этих итераций, как «видит» раздел C . Таким образом, топологическая энтропия — это средний (на итерацию) объем информации, необходимый для описания длинных итераций карты f .

Определение Боуэна и Динабурга

Это определение использует метрику для X (на самом деле однородной структуры достаточно ). Это более узкое определение, чем определение Адлера, Конхейма и МакЭндрю. поскольку он требует дополнительной метрической структуры в топологическом пространстве (но не зависит от выбора метрик, порождающих данную топологию). Однако на практике топологическую энтропию Боуэна-Динабурга обычно вычислить гораздо проще.

Пусть ( X , d ) — компактное метрическое пространство и f : X → X — непрерывное отображение . Для каждого натурального числа n новая метрика d _n определяется на X по формуле

$d_{n}(x,y)=\max\{d(f^{i}(x),f^{i}(y)):0\leq i<n\}.$

Для любых ε > 0 и n ≥ 1 две точки X являются ε -близкими относительно этой метрики, если их первые n итераций ε -близки. Эта метрика позволяет отличить в окрестности орбиты точки, удаляющиеся друг от друга во время итерации, от точек, движущихся вместе. Подмножество E в X называется ( n , ε )-разделенным , если каждая пара различных точек E находится на расстоянии не менее ε друг от друга в метрике d _n . Обозначим через N ( n , ε ) максимальную мощность ( n , ε )-разделенного множества. Топологическая энтропия отображения f определяется выражением

$h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\epsilon )\right).$

Интерпретация

Поскольку X компактно, N ( n , ε ) конечно и представляет собой количество различимых сегментов орбиты длины n , предполагая, что мы не можем различать точки в пределах ε друг от друга. Прямой аргумент показывает, что предел, определяющий h ( f ), всегда существует в расширенной вещественной прямой (но может быть бесконечным). Этот предел можно интерпретировать как меру среднего экспоненциального роста числа различимых сегментов орбиты. В этом смысле он измеряет сложность топологической динамической системы ( X , f ). Руфус Боуэн расширил это определение топологической энтропии таким образом, что позволяет X быть некомпактным в предположении, что отображение f равномерно непрерывно .

Характеристики

• Топологическая энтропия является инвариантом топологических динамических систем, что означает, что она сохраняется за счет топологической сопряженности .
• Позволять $f$ — расширительный гомеоморфизм компактного метрического пространства $X$ и пусть $C$ быть топологическим генератором. Тогда топологическая энтропия $f$ относительно $C$ равна топологической энтропии $f$, то есть

$h(f)=H(f,C).$

• Позволять $f:X\rightarrow X$ — непрерывное преобразование компактного метрического пространства $X$, позволять $h_{\mu }(f)$ — теоретико-мерная энтропия $f$ относительно $\mu$ и пусть $M(X,f)$ быть набором всех $f$-инвариантные борелевские вероятностные меры на X . Тогда вариационный принцип для энтропии заявляет, что

$h(f)=\sup _{\mu \in M(X,f)}h_{\mu }(f)$.

• Обычно максимальное количество $h_{\mu }$ над съемочной площадкой $M(X,f)$ не достигается, но если к тому же отображение энтропии $\mu \mapsto h_{\mu }(f):M(X,f)\rightarrow \mathbb {R}$ , то является полунепрерывна сверху мерой максимальной энтропии, то есть мерой $\mu$ в $M(X,f)$ с $h_{\mu }(f)=h(f)$ - существует.
• Если $f$ имеет единственную меру максимальной энтропии $\mu$, затем $f$ эргодична ​ относительно $\mu$.

Примеры

• Позволять $\sigma :\Sigma _{k}\rightarrow \Sigma _{k}$ к $x_{n}\mapsto x_{n-1}$ обозначают полный двусторонний k-сдвиг символов $\{1,\dots ,k\}$. Позволять $C=\{[1],\dots ,[k]\}$ обозначим разбиение $\Sigma _{k}$ на цилиндры длины 1. Тогда $\bigvee _{j=0}^{n-1}\sigma ^{-j}(C)$ является разделом $\Sigma _{k}$ для всех $n\in \mathbb {N}$ и количество комплектов $k^{n}$ соответственно. Перегородки представляют собой открытые крышки и $C$ является топологическим генератором. Следовательно

$h(\sigma )=H(\sigma ,C)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log k^{n}=\log k$. Теоретико-мерная энтропия Бернулли $\left({\frac {1}{k}},\dots ,{\frac {1}{k}}\right)$-мера также $\log k$. Следовательно, это мера максимальной энтропии. Далее можно показать, что других мер максимальной энтропии не существует.

• Позволять $A$ быть неприводимым $k\times k$ матрица с записями в $\{0,1\}$ и пусть $\sigma :\Sigma _{A}\rightarrow \Sigma _{A}$ — соответствующий подсдвиг конечного типа . Затем $h(\sigma )=\log \lambda$ где $\lambda$ является наибольшим положительным собственным значением $A$.

См. также

• Теория замешивания Милнора – Терстона
• О мере корреляций в системах с топологическим порядком см. Энтропию топологической запутанности.
• Средний размер

Ссылки

• Адлер, РЛ; Конхейм, Аллан Г.; МакЭндрю, Миннесота (1965). «Топологическая энтропия» . Труды Американского математического общества . 114 (2): 309–319. дои : 10.2307/1994177 . JSTOR   1994177 . Збл   0127.13102 .
• Дмитрий Аносов (2001) [1994], «Топологическая энтропия» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Рой Адлер, Томаш Даунарович, Михал Мисюревич, Топологическая энтропия в Scholarpedia
• Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию . Тексты для аспирантов по математике . Том. 79. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-95152-0 . Збл   0475.28009 .

Внешние ссылки

• http://www.scholarpedia.org/article/Topological_entropy

Эта статья включает в себя материал из Topological Entropy на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .