Экспансивный гомеоморфизм

В математике понятие экспансивности формализует понятие точек, удаляющихся друг от друга под действием повторяющейся функции . Идея расширения довольно жесткая , как показывает определение положительного расширения, приведенное ниже, а также теорема Шварца-Альфорса-Пика .

Определение

Если $(X,d)$ — метрическое пространство , гомеоморфизм $f\colon X\to X$ называется экспансивным, если существует константа

\varepsilon _{0}>0,

называемая константой расширения , такая, что для каждой пары точек $x\neq y$ в $X$ есть целое число $n$ такой, что

d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}.

Обратите внимание, что в этом определении $n$ может быть положительным или отрицательным, и поэтому $f$ может быть экспансивным в прямом или обратном направлении.

Пространство $X$ часто считается компактным , поскольку при этом предположении расширяемость является топологическим свойством; то есть если $d'$ любая другая метрика, порождающая ту же топологию, что и $d$ , и если $f$ является обширным в $(X,d)$ , затем $f$ является обширным в $(X,d')$ (возможно, с другой константой расширения).

Если

f\colon X\to X

является непрерывным отображением, мы говорим, что $X$ ( положительно расширяется или расширяется вперед ), если существует

\varepsilon _{0}

такой, что для любого $x\neq y$ в $X$ , есть $n\in \mathbb {N}$ такой, что $d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}$ .

Теорема о равномерном расширении

Учитывая , что f — расширяющий гомеоморфизм компактного метрического пространства, теорема о равномерной расширяемости утверждает, что для каждого $\epsilon >0$ и $\delta >0$ есть $N>0$ такой, что для каждой пары $x,y$ точек $X$ такой, что $d(x,y)>\epsilon$ , есть $n\in \mathbb {Z}$ с $\vert n\vert \leq N$ такой, что

d(f^{n}(x),f^{n}(y))>c-\delta ,

где $c$ константа расширения $f$ ( доказательство ).

Обсуждение

Позитивная экспансивность намного сильнее экспансивности. Фактически, можно доказать, что если $X$ компактен и $f$ является положительно расширительный гомеоморфизм, то $X$ конечно ( доказательство ).

Внешние ссылки

Экспансивные динамические системы в стипендии

В эту статью включены материалы из следующих статей PlanetMath , которые доступны по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike : обширная, равномерная расширяемость.