Индекс Виттена

В квантовой теории поля и статистической механике индекс Виттена при обратной температуре β определяется как модификация стандартной статистической суммы :

${\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]$

Обратите внимание на (-1) ^Ф оператор, где F — фермионов оператор числа . Это то, что отличает ее от обычной функции разделения . Иногда ее называют спектральной асимметрией .

В суперсимметричной теории каждое собственное значение ненулевой энергии содержит равное количество бозонных и фермионных состояний. Из-за этого индекс Виттена не зависит от температуры и дает количество бозонных вакуумных состояний с нулевой энергией минус количество фермионных вакуумных состояний с нулевой энергией. В частности, если суперсимметрия спонтанно нарушается , то основных состояний с нулевой энергией нет, и поэтому индекс Виттена равен нулю.

Индекс Виттена суперсимметричной сигма-модели на многообразии задается эйлеровой характеристикой многообразия .

${\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]=\sum _{p\in \mathbb {Z} }(-1)^{p}b_{p}=\chi (M)\ .$

Это пример квазитопологической величины, которая зависит только от F-членов , а не от D-членов в лагранжиане . Более уточненный инвариант в двумерных теориях, построенный с использованием только правой части оператора числа фермионов вместе с двухпараметрическим семейством вариаций, представляет собой эллиптический род .

См. также

• Суперсимметричная теория стохастической динамики

Ссылки

• Эдвард Виттен Ограничения на нарушение суперсимметрии , Nucl. Физ. Б202 (1982) 253-316