Спектральная асимметрия

В математике и физике спектральная асимметрия асимметрия в распределении спектра собственных значений оператора — это . В математике спектральная асимметрия возникает при изучении эллиптических операторов на компактных многообразиях и придает глубокий смысл теореме Атьи-Зингера об индексе . В физике он имеет множество применений, обычно приводящих к дробному заряду из-за асимметрии спектра оператора Дирака . Например, вакуумное математическое ожидание барионного числа определяется спектральной асимметрией гамильтониана . Спектральная асимметрия полей ограниченных кварков является важным свойством модели кирального мешка . Для фермионов он известен как индекс Виттена и его можно понимать как описание эффекта Казимира для фермионов.

Определение

Дан оператор с собственными значениями $\omega _{n}$, из которых одинаковое количество положительных и отрицательных, спектральную асимметрию можно определить как сумму

$B=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})\exp(-t|\omega _{n}|)$

где $\operatorname {sgn}(x)$ это знаковая функция . Могут использоваться и другие регуляторы , такие как регулятор дзета-функции .

Необходимость как положительного, так и отрицательного спектра в определении является причиной того, что спектральная асимметрия обычно возникает при изучении операторов Дирака .

Пример

В качестве примера рассмотрим оператор со спектром

$\omega _{n}=n+\alpha$

где n — целое число, охватывающее все положительные и отрицательные значения. Непосредственно можно показать, что в этом случае $B(\alpha )$ подчиняется $B(\alpha )=B(\alpha +m)$ для любого целого числа $m$, и это для $0<\alpha <1$ у нас есть $B(\alpha )=1/2-\alpha$. График $B(\alpha )$ следовательно, представляет собой периодическую пилообразную кривую.

Обсуждение

Со спектральной асимметрией связано вакуумное математическое ожидание энергии, связанной с оператором, энергией Казимира , которая определяется выражением

$E=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}|\omega _{n}|\exp(-t|\omega _{n}|)$

Эта сумма формально расходится, и расхождения необходимо учитывать и устранять с помощью стандартных методов регуляризации.

Ссылки

• М.Ф. Атья, В.К. Патоди и И.М. Зингер, Спектральная асимметрия и риманова геометрия I , Proc. Кэмб. Фил. Соц., 77 (1975), 43-69.
• Линас Вепстас, А.Д. Джексон, А.С. Гольдхабер, Двухфазные модели барионов и киральный эффект Казимира , Physics Letters B140 (1984) с. 280-284.
• Линас Вепстас, А.Д. Джексон, Обоснование хиральной сумки , Physics Reports, 187 (1990) с. 109-143.