Спектральная теория компактных операторов

В анализе функциональном компактные операторы — это линейные операторы в банаховых пространствах, которые отображают ограниченные множества в относительно компактные множества . В случае гильбертова пространства H компактные операторы являются замыканием операторов конечного ранга в равномерной операторной топологии. В общем, операторы в бесконечномерных пространствах обладают свойствами, которые не проявляются в конечномерном случае, то есть для матриц. Компактные операторы примечательны тем, что они имеют столько сходства с матрицами, сколько можно ожидать от общего оператора. В частности, спектральные свойства компактных операторов напоминают свойства квадратных матриц.

В этой статье сначала суммируются соответствующие результаты для матричного случая, прежде чем обсуждаться спектральные свойства компактных операторов. Читатель увидит, что большинство утверждений дословно переносятся из матричного случая.

Спектральная теория компактных операторов была впервые развита Ф. Риссом .

Спектральная теория матриц

Классическим результатом для квадратных матриц является каноническая форма Жордана, которая утверждает следующее:

Теорема. Пусть A — комплексная матрица размера n × n , т. е. A — линейный оператор, действующий на C ^н. Если λ ₁ ... λ _k — различные собственные значения матрицы A , то C ^н можно разложить на инвариантные подпространства A

\mathbf {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}Y_{i}.

Подпространство Y _i = Ker ( λ _i − A ) ^м где Ker ( λ _i − A ) ^м знак равно Кер ( λ _я - А ) ^{м +1}. При этом полюсы резольвентной функции ζ → ( ζ − A ) ⁻¹ совпадают с множеством собственных значений оператора A .

Компактные операторы

Заявление

Теорема . Пусть X — банахово пространство, C компактный оператор, действующий на , а σ ( C ) — спектр C. X —

Каждое ненулевое λ ∈ σ ( C ) является собственным C. значением
Для всех ненулевых λ ∈ σ ( C ) существует m такое, что Ker (( λ − C ) ^м) = Кер (( λ - C ) ^{м +1}), и это подпространство конечномерно.
Собственные значения могут накапливаться только в 0. Если размерность X не конечна, то σ ( C ) должно содержать 0.
σ ( C ) не более чем счетно бесконечно.
Каждое ненулевое λ ∈ σ ( C ) является полюсом резольвентной функции ζ → ( ζ − C ) ⁻¹.

Доказательство

Предварительные леммы

Теорема утверждает несколько свойств оператора λ − C , где λ ≠ 0. Без ограничения общности можно считать, что λ = 1. Поэтому мы рассматриваем I − C , где I — тождественный оператор. Для доказательства потребуются две леммы.

Лемма 1 ( лемма Рисса ) — Пусть X — банахово пространство, а Y ⊂ X , Y ≠ X — замкнутое подпространство. Для всех ε > 0 существует x ∈ X такой, что $\|$ х $\|$ = 1 и

1-\varepsilon \leq d(x,Y)\leq 1

где d ( x , Y — расстояние от x до Y. )

Этот факт будет неоднократно использоваться в рассуждениях, ведущих к теореме. Обратите внимание: когда X — гильбертово пространство, лемма тривиальна.

Лемма 2. Если C компактен , то Ran ( I − C ) замкнут.

Доказательство

Пусть ( I − C ) x _n → y в норме. Если { x _n } ограничено, то из компактности C следует, что существует подпоследовательность x _nk такая, что C x _nk сходится по норме. Итак, x _nk = ( I - C ) x _nk + C x _nk сходится по норме к некоторому x . Это дает ( I - C ) x _nk → ( I - C ) x знак равно y . Тот же аргумент имеет силу, если расстояния d ( x _n , Ker( I − C )) ограничены.

Но d ( x _n , Ker( I − C )) должно быть ограничено. Предположим, что это не так. Перейдем теперь к фактор-отображению ( I − C ), по-прежнему обозначаемому ( I − C ), на X /Ker( I − C ). Факторнорма на X /Ker( I − C ) по-прежнему обозначается через $\|\cdot \|$ , и { x _n } теперь рассматриваются как представители своих классов эквивалентности в факторпространстве. Возьмем подпоследовательность { x _nk } такую, что $\|$ х _нк $\|$ > k и определим последовательность единичных векторов как z _nk = x _nk $/\|$ х _нк $\|$ . И снова у нас будет ( I − C ) z _nk → ( I − C ) z для некоторого z . С $\|$ ( я - C ) z _nk $\|$ = $\|$ ( I − C ) x _nk $\|/\|$ х _нк $\|$ → 0, имеем ( I − C ) z = 0, т.е. z ∈ Ker( I − C ). Поскольку мы перешли к факторотображению, z = 0. Это невозможно, поскольку z — предел нормы последовательности единичных векторов. Таким образом, лемма доказана.

Завершение доказательства

Доказательство

i ) Без ограничения общности предположим, что λ = 1. λ ∈ σ ( C ), не являющееся собственным значением, означает, что ( I − C ) инъективен, но не сюръективен. По лемме 2 Y ₁ = Ran ( I − C ) — замкнутое собственное подпространство X . Поскольку ( I − C ) инъективно, Y ₂ = ( I − C ) Y ₁ снова является замкнутым собственным подпространством Y ₁ . Определим Y _n = Ran ( I − C ) ^н. Рассмотрим убывающую последовательность подпространств

Y_{1}\supset \cdots \supset Y_{n}\cdots \supset Y_{m}\cdots

где все включения собственные. По лемме 1 мы можем выбрать единичные векторы y _n ∈ Y _n такие, что d ( y _n , Y _{n +1} ) > ½. Компактность C означает, что { C y _n } должна содержать сходящую по норме подпоследовательность. Но при n < m

\left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\right\|

и заметьте, что

(C-I)y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\in Y_{n+1},

что подразумевает $\|$ Су _н - Су _м $\|$ > ½. Это противоречие, и поэтому λ должно быть собственным значением.

ii ) Последовательность { Y _n = Ker( λ _i - A ) ^н} — возрастающая последовательность замкнутых подпространств. Теорема утверждает, что оно прекращается. Предположим, что оно не прекращается, т.е. включение Ker( λ _i − A ) ^н ⊂ Кер( λ _я - А ) ^{п +1} подходит для всех n . По лемме 1 существует последовательность { y _n } _{n ≥ 2} единичных векторов такая, что y _n ∈ Y _n и d ( y _n , Y _{n − 1} ) > ½. раньше, компактность средств C { Cyn _{Как и} } должна содержать сходящую по норме подпоследовательность. Но при n < m

\|Cy_{n}-Cy_{m}\|=\|(C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\|

и заметьте, что

(C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}\in Y_{m-1},

что подразумевает $\|$ Су _н - Су _м $\|$ > ½. Это противоречие, и поэтому последовательность { Y _n = Ker( λ _i − A ) ^н} должен заканчиваться на некотором конечном m .

Используя определение ядра, мы можем показать, что единичная сфера Ker( λ _i − C ) компактна, так что Ker ( λ _i − C ) конечномерна. Кер( λ _я - C ) ^н является конечномерным по той же причине.

iii ) Предположим, что существуют бесконечные (по крайней мере счетные) различные собственные значения { λ _n } с соответствующими собственными векторами { x _n }, такие, что $|$ λ _н $|$ > ε для всех n . Определим Y _n = пролет { x ₁ ... x _n }. Последовательность { Y _n } является строго возрастающей последовательностью. Выберите единичные векторы такие, что y _n ∈ Y ^н и d ( y _n , Y ^{п - 1}) > ½. Тогда при n < m

\left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}-\lambda _{m}y_{m}\right\|.

Но

(C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}\in Y_{m-1},

поэтому $\|$ Су _н - Су _м $\|$ > ε /2, противоречие.

Итак, мы имеем, что существуют только конечные различные собственные значения вне любого шара с центром в нуле. Это немедленно дает нам, что ноль является единственной возможной предельной точкой собственных значений и существует не более чем счетное количество различных собственных значений (см. iv).

iv ) Это непосредственное следствие iii). Множество собственных значений { λ } представляет собой объединение

\bigcup _{n}\left\{|\lambda |>{\tfrac {1}{n}}\right\}=\bigcup _{n}S_{n}.

Поскольку σ ( C ) является ограниченным множеством и собственные значения могут накапливаться только в 0, каждое Sn _{конечно} , что дает желаемый результат.

v ) Как и в матричном случае, это прямое применение голоморфного функционального исчисления .

Инвариантные подпространства

Как и в матричном случае, указанные выше спектральные свойства приводят к разложению X на инвариантные подпространства компактного оператора C . Пусть λ ≠ 0 — собственное значение C ; поэтому λ — изолированная точка σ ( C ). Используя голоморфное функциональное исчисление, определите проекцию Рисса E ( λ ) по формуле

E(\lambda )={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }(\xi -C)^{-1}d\xi

где γ — жордановый контур, охватывающий только λ из σ ( C ). Пусть Y — подпространство Y = E ( λ ) X . C, ограниченный на Y, является компактным обратимым оператором со спектром { λ }, поэтому Y конечномерен. Пусть ν таков, что Ker ( λ − C ) ^н знак равно Кер ( λ - C ) ^{п + 1}. Изучая жорданову форму, мы видим, что ( λ − C ) ^н знак равно 0 в то время как ( λ - C ) ^{п - 1} ≠ 0. Ряд Лорана резольвентного отображения с центром в λ показывает, что

E(\lambda )(\lambda -C)^{\nu }=(\lambda -C)^{\nu }E(\lambda )=0.

Итак, Y = Ker ( λ − C ) ^н.

E λ ( λ удовлетворяют E ( ) ) ² = E ( λ ), так что они действительно являются операторами проектирования или спектральными проекциями . коммутируют с C. По определению они Более того, E ( λ ) E ( µ ) = 0, если λ ≠ µ.

Пусть X ( λ ) = E ( λ ) X, если λ — ненулевое собственное значение. Таким образом, X ( λ ) — конечномерное инвариантное подпространство, обобщенное собственное пространство λ.
Пусть X (0) — пересечение ядер E ( λ ). Таким образом, X (0) — замкнутое подпространство, инвариантное относительно C , а ограничение C на X (0) — компактный оператор со спектром {0}.

Операторы с компактной мощностью

Если B — оператор в банаховом пространстве X такой, что B ^н компактен для некоторого n , то доказанная выше теорема справедлива и B. для

См. также

Ссылки

Джон Б. Конвей, Курс функционального анализа, Тексты для аспирантов по математике 96 , Springer 1990. ISBN 0-387-97245-5

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem