Лемма Рисса

Другой результат, который иногда называют леммой Рисса, см. в теореме о представлении Рисса . Дополнительные теоремы, называемые теоремой Рисса, см. в разделе «Теорема Рисса» .

В математике лемма Рисса (по Фригесу Риссу ) является леммой функционального анализа . Он определяет (часто легко проверяемые) условия, которые гарантируют, что подпространство в нормированном векторном пространстве является плотным . Лемму также можно назвать леммой Рисса или неравенством Рисса . Его можно рассматривать как замену ортогональности, когда нормированное пространство не является пространством внутреннего продукта .

Заявление

Лемма Рисса - Позволять $Y$ — замкнутое собственное векторное подпространство нормированного пространства $(X,\|\cdot \|)$ и пусть $\alpha$ быть любым действительным числом, удовлетворяющим $0<\alpha <1.$ Тогда существует вектор $u$ в $X$ единичной нормы $\|u\|=1$ такой, что $\|u-y\|\geq \alpha$ для всех $y$ в $Y.$

Если $X$ является рефлексивным банаховым пространством , то этот вывод верен и тогда, когда $\alpha =1.$

Переформулировка метрики

Как обычно, пусть $d(x,y):=\|x-y\|$ обозначим каноническую метрику , индуцированную нормой, назовем множество $\{x\in X:\|x\|=1\}$ всех векторов, находящихся на расстоянии $1$ от начала координат единичная сфера , и обозначаем расстояние от точки $u$ на съемочную площадку $Y\subseteq X$ к $$d(u,Y)~:=~\inf _{y\in Y}d(u,y)~=~\inf _{y\in Y}\|u-y\|.$$ Неравенство $\alpha \leq d(u,Y)$ имеет место тогда и только тогда, когда $\|u-y\|\geq \alpha$ для всех $y\in Y,$ и формально выражает представление о том, что расстояние между $u$ и $Y$ по крайней мере $\alpha .$ Поскольку каждое векторное подпространство (например, $Y$) содержит начало координат $0,$ замена $y:=0$ в этом инфимуме показывает, что $d(u,Y)\leq \|u\|$ для каждого вектора $u\in X.$ В частности, $d(u,Y)\leq 1$ когда $\|u\|=1$ является единичным вектором.

Используя эти новые обозначения, вывод леммы Рисса можно сформулировать более кратко: $\alpha \leq d(u,Y)\leq 1=\|u\|$ держится для некоторых $u\in X.$

Используя эту новую терминологию, лемму Рисса можно также переформулировать на простом английском языке следующим образом:

Для любого замкнутого собственного векторного подпространства нормированного пространства $X,$ на любое желаемое минимальное расстояние $\alpha$ меньше, чем $1,$ существует некоторый вектор в единичной сфере $X$ это, по крайней мере, это желаемое расстояние от подпространства.

Доказательство можно найти в текстах по функциональному анализу, таких как Крейциг. онлайн- доказательство от профессора Пола Гаррета Доступно .

Доказательство

Рассмотрим любой $v\in X-Y$ и обозначим его расстояние от $Y$ к $a$. Четко, $a>0$ с $Y$ закрыт. Возьмите любой $\alpha \in (0,1)$. По определению нижней границы существует $y_{0}\in Y$ такой, что

$a\leq \left\|v-y_{0}\right\|\leq {\frac {a}{\alpha }}$ ( 1 )

(Обратите внимание, что $a/\alpha >a$ с $0<\alpha <1$). Позволять

$z=c\left(v-y_{0}\right)\quad {\text{ where }}\quad c={\frac {1}{\left\|v-y_{0}\right\|}}.$

Затем $\|z\|=1$, и мы показываем, что $\|z-y\|\geq \alpha$ для каждого $y\in Y$. У нас есть

${\begin{aligned}\|z-y\|&=\left\|c\left(v-y_{0}\right)-y\right\|\\&=c\left\|v-y_{0}-c^{-1}y\right\|\\&=c\left\|v-y_{1}\right\|\end{aligned}}$

где

$y_{1}=y_{0}+c^{-1}y.$

Форма $y_{1}$ показывает, что $y_{1}\in Y$. Следовательно $\left\|v-y_{1}\right\|\geq a$, по определению $a$. Письмо $c$ и используя ( 1 ), получаем

$\|z-y\|=c\left\|v-y_{1}\right\|\geq ca={\frac {a}{\left\|v-y_{0}\right\|}}\geq {\frac {a}{a/\alpha }}=\alpha .$

С $y\in Y$ было произвольным, это завершает доказательство.

Минимальные расстояния $\alpha$ не удовлетворяющие гипотезам

Когда $X=\{0\}$ тривиально, то оно не имеет собственного векторного подпространства $Y,$ и поэтому лемма Рисса справедлива для всех действительных чисел. $\alpha \in \mathbb {R} .$ В оставшейся части этого раздела предполагается, что $X\neq \{0\},$ что гарантирует существование единичного вектора.

Включение гипотез $0<\alpha <1$ можно объяснить, рассмотрев три случая: $\alpha \leq 0$, $\alpha =1,$ и $\alpha >1.$ Лемма справедлива, когда $\alpha \leq 0$ поскольку каждый единичный вектор $u\in X$ удовлетворяет заключению $\alpha \leq 0\leq d(u,Y)\leq 1=\|u\|.$ Гипотезы $0<\alpha$ включен исключительно для исключения этого тривиального случая и иногда опускается в формулировке леммы.

Лемма Рисса всегда неверна, если $\alpha >1$ потому что для каждого единичного вектора $u\in X,$ требуемое неравенство $\|u-y\|\geq \alpha$ не удерживается в течение $y:=0\in Y$ (с $\|u-0\|=1<\alpha$). Еще одно последствие $d(u,Y)>1$ невозможно, состоит в том, что неравенство $d(u,Y)\geq 1$ имеет место тогда и только тогда, когда равенство $d(u,Y)=1$ держит.

Рефлексивность

Смотрите также: Рефлексивное пространство

Остается только случай $\alpha =1$ для рассмотрения, и в этом случае утверждение леммы Рисса принимает вид:

Для любого замкнутого собственного векторного подпространства $Y$ из $X,$ существует некоторый вектор $u$ единичной нормы, которая удовлетворяет $d(u,Y)=1.$

Когда $X$ является банаховым пространством , то это утверждение верно тогда и только тогда, когда $X$ это рефлексивное пространство . Явно, банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда для любого замкнутого собственного векторного подпространства $Y,$ есть какой-то вектор $u$ на единичной сфере $X$ это всегда как минимум расстояние $1=d(u,Y)$ вдали от подпространства.

Например, если рефлексивное банахово пространство $X=\mathbb {R} ^{3}$ наделен обычным $\|\cdot \|_{2}$ Евклидова норма и если $Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}$ это $x{\text{-}}y$ плоскость, затем точки $u=(0,0,\pm 1)$ удовлетворить заключение $d(u,Y)=1.$ Если $Z=\{(0,0)\}\times \mathbb {R}$ является $z$-ось, то каждая точка $u$ принадлежащий единичному кругу в $x{\text{-}}y$ самолет удовлетворяет заключению $d(u,Z)=1.$ Но если $X=\mathbb {R} ^{3}$ был наделен $\|\cdot \|_{1}$ норма такси (вместо евклидовой нормы), то вывод $d(u,Z)=1$ был бы доволен каждым пунктом $u=(x,y,0)$ принадлежащий к «бриллианту» $|x|+|y|=1$ в $x{\text{-}}y$ плоскость (квадрат с вершинами в $(\pm 1,0,0)$ и $(0,\pm 1,0)$).

В нерефлексивном банаховом пространстве, таком как пространство Лебега $\ell _{\infty }(\mathbb {N} )$ всех ограниченных последовательностей лемма Рисса не справедлива для $\alpha =1$.

Однако каждое конечномерное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством, поэтому лемма Рисса справедлива для $\alpha =1$ когда нормированное пространство конечномерно, как сейчас будет показано. Когда размерность $X$ конечен, то замкнутый единичный шар $B\subseteq X$ компактен. Поскольку функция расстояния $d(\cdot ,Y)$ непрерывен, его образ на замкнутом единичном шаре $B$ должно быть компактным подмножеством реальной прямой, что доказывает утверждение.

Некоторые последствия

Лемма Рисса гарантирует, что для любого данного $0<\alpha <1,$ каждое бесконечномерное нормированное пространство содержит последовательность $x_{1},x_{2},\ldots$ (различных) единичных векторов, удовлетворяющих $\|x_{n}-x_{m}\|>\alpha$ для $m\neq n;$ или, говоря простым языком, все эти векторы отделены друг от друга расстоянием более $\alpha$ при этом одновременно все лежит на единичной сфере. Такую бесконечную последовательность векторов невозможно найти в единичной сфере любого конечномерного нормированного пространства (просто рассмотрим, например, единичный круг в $\mathbb {R} ^{2}$).

Эту последовательность можно построить по индукции для любой константы $0<\alpha <1.$ Начните с выбора любого элемента $x_{1}$ из единичной сферы. Позволять $Y_{n-1}$ быть линейным промежутком $\{x_{1},\ldots ,x_{n-1}\}$ и (используя лемму Рисса) выберем $x_{n}$ из единичной сферы такой, что

$d\left(x_{n},Y_{n-1}\right)>\alpha$ где $d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}\|x_{n}-y\|.$

Эта последовательность $x_{1},x_{2},\ldots$ не содержит сходящейся подпоследовательности, а это означает, что замкнутый единичный шар не компактен.

Характеристика конечного размера

Основная статья: теорема Ф. Рисса

Лемму Рисса можно применить непосредственно, чтобы показать, что единичный шар бесконечномерного нормированного пространства $X$ никогда не бывает компактным . Это можно использовать для характеристики конечномерных нормированных пространств: если $X$ является нормированным векторным пространством, то $X$ конечномерен тогда и только тогда, когда замкнутый единичный шар в $X$ компактен.

В более общем смысле, если топологическое векторное пространство $X$ , локально компактен то он конечномерен. Обратное утверждение также верно. А именно, если топологическое векторное пространство конечномерно, оно локально компактно. Поэтому локальная компактность характеризует конечномерность. Этот классический результат также приписывают Риссу. Краткое доказательство можно представить следующим образом: пусть $C$ быть компактной окрестностью начала координат в $X.$ По компактности существуют $c_{1},\ldots ,c_{n}\in C$ такой, что $$C~\subseteq ~\left(c_{1}+{\tfrac {1}{2}}C\right)\cup \cdots \cup \left(c_{n}+{\tfrac {1}{2}}C\right).$$

Мы утверждаем, что конечномерное подпространство $Y$ охватываемый $\{c_{1},\ldots ,c_{n}\}$ плотный в $X,$ или, что то же самое, его закрытие $X.$ С $X$ представляет собой объединение скалярных кратных $C,$ достаточно показать, что $C\subseteq Y.$ По индукции для каждого $m,$ $$C~\subseteq ~Y+{\frac {1}{2^{m}}}C.$$ Но компакты ограничены , поэтому $C$ заключается в закрытии $Y.$ Это подтверждает результат. Другое доказательство, основанное на теореме Хана–Банаха, см. в Crespín (1994) .

Спектральная теория

Спектральные свойства компактных операторов, действующих в банаховом пространстве, аналогичны свойствам матриц. Лемма Рисса важна для установления этого факта.

Другие приложения

Как подробно описано в статье о бесконечномерной мере Лебега , это полезно для демонстрации отсутствия определенных мер в бесконечномерных банаховых пространствах . Лемма Рисса также показывает, что тождественный оператор в банаховом пространстве $X$ компактен тогда и только тогда, когда $X$ является конечномерным.

См. также

• Теорема Ф. Рисса
• Теорема Джеймса - характеристика рефлексивности , заданная условием на единичный шар.

Ссылки

• Дистель, Джо (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90859-5 . OCLC   9556781 .
• Хасимото, Кадзуо; Накамура, генерал; Охару, Шинноске (1 января 1986 г.). «Лемма Рисса и ортогональность в нормированных пространствах» (PDF ) Хиросимский математический журнал . 16 (2). Университет Хиросимы – математический факультет. дои : 10.32917/hmj/1206130429 . ISSN   0018-2079 .
• Крейциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-50731-8 . ОСЛК   2818701 .
• Рис, Фредерик ; Сз.-Надь, Бела (1990) [1955]. Функциональный анализ . Перевод Борона, Лео Ф. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  0-486-66289-6 . OCLC   21228994 .
• Ринн, Брайан П.; Янгсон, Мартин А. (2008). Линейный функциональный анализ (2-е изд.). Лондон: Спрингер. ISBN  978-1848000049 . OCLC   233972987 .

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/470438/a-variation-of-the-riesz-lemma