Равномерно гладкое пространство

В математике равномерно гладкое пространство — это нормированное векторное пространство. $X$ удовлетворяющее свойству, которое для каждого $\epsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что если $x,y\in X$ с $\|x\|=1$ и $\|y\|\leq \delta$ затем

\|x+y\|+\|x-y\|\leq 2+\epsilon \|y\|.

Модуль гладкости нормированного пространства X — это функция ρ _X, определенная для каждого t > 0 по формуле ^[1]

\rho _{X}(t)=\sup {\Bigl \{}{\frac {\|x+y\|+\|x-y\|}{2}}-1\,:\,\|x\|=1,\;\|y\|=t{\Bigr \}}.

Неравенство треугольника дает то, что ρ _X ( t ) ≤ t . Нормированное пространство X является равномерно гладким тогда и только тогда, когда ρ _X ( t )/ t стремится к 0, когда t стремится к 0.

Характеристики

Всякое равномерно гладкое пространство рефлексивно банахово . ^[2]
Банахово пространство $X$ является равномерно гладким тогда и только тогда, когда его непрерывный двойственный $X^{*}$ ( равномерно выпукло и наоборот, за счет рефлексивности). ^[3] Модули выпуклости и гладкости связаны соотношением

\rho _{X^{*}}(t)=\sup\{t\varepsilon /2-\delta _{X}(\varepsilon ):\varepsilon \in [0,2]\},\quad t\geq 0,

а максимальная выпуклая функция, мажорируемая модулем выпуклости δ _X, имеет вид ^[4]

{\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )=\sup\{\varepsilon t/2-\rho _{X^{*}}(t):t\geq 0\}.

Более того, ^[5]

\delta _{X}(\varepsilon /2)\leq {\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )\leq \delta _{X}(\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].

Банахово пространство равномерно гладко тогда и только тогда, когда предел

\lim _{t\to 0}{\frac {\|x+ty\|-\|x\|}{t}}

существует единообразно для всех

x,y\in S_{X}

(где

S_{X}

обозначает сферу единичную

X

).

Когда 1 < p < ∞ , L ^п-пространства равномерно гладкие (и равномерно выпуклые).

Энфло доказал ^[6] что класс банаховых пространств, допускающих эквивалентную равномерно выпуклую норму, совпадает с классом суперрефлексивных банаховых пространств, введенным Робертом К. Джеймсом . ^[7] Поскольку пространство является суперрефлексивным тогда и только тогда, когда его двойственное суперрефлексивно, отсюда следует, что класс банаховых пространств, допускающих эквивалентную равномерно выпуклую норму, совпадает с классом пространств, допускающих эквивалентную равномерно гладкую норму. Теорема Пизье о перенормировке ^[8] утверждает, что суперрефлексивное пространство X допускает эквивалентную равномерно гладкую норму, для которой модуль гладкости ρ _X удовлетворяет, для некоторой константы C и некоторого p > 1

\rho _{X}(t)\leq C\,t^{p},\quad t>0.

Отсюда следует, что каждое суперрефлексивное пространство Y допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет, для некоторой постоянной c > 0 и некоторого положительного действительного q

\delta _{Y}(\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].

Если нормированное пространство допускает две эквивалентные нормы: одну равномерно выпуклую и одну равномерно гладкую, то метод усреднения Асплунда ^[9] порождает другую эквивалентную норму, одновременно равномерно выпуклую и равномерно гладкую.

См. также

Равномерно выпуклое пространство

Примечания

^ см. определение 1.e.1, с. 59 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ Предложение 1.e.3, с. 61 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ Предложение 1.e.2, с. 61 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ Предложение 1.e.6, с. 65 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ Лемма 1.д.7 и 1.д.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ Энфло, Пер (1973), «Банаховые пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму», Israel Journal of Mathematics , 13 (3–4): 281–288, doi : 10.1007/BF02762802
^ Джеймс, Роберт К. (1972), «Суперрефлексивные банаховы пространства», Canadian Journal of Mathematics , 24 (5): 896–904, doi : 10.4153/CJM-1972-089-7
^ Пизье, Жиль (1975), «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах», Israel Journal of Mathematics , 20 (3–4): 326–350, doi : 10.1007/BF02760337
^ Асплунд, Эдгар (1967), «Усредненные нормы», Израильский математический журнал , 5 (4): 227–233, doi : 10.1007/BF02771611

Ссылки

Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и ряды в банаховых пространствах , Тексты для аспирантов по математике, том. 92, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii+261, ISBN. 0-387-90859-5
Ито, Киёси (1993), Энциклопедический математический словарь, Том 1 , MIT Press, ISBN 0-262-59020-4 [1]
Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II Функциональные пространства , Результаты по математике и ее пограничным областям [Результаты по математике и смежным областям], вып. 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+243, ISBN. 3-540-08888-1 .

[1] см. определение 1.e.1, с. 59 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[2] Предложение 1.e.3, с. 61 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[3] Предложение 1.e.2, с. 61 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[4] Предложение 1.e.6, с. 65 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[5] Лемма 1.д.7 и 1.д.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[6] Энфло, Пер (1973), «Банаховые пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму», Israel Journal of Mathematics , 13 (3–4): 281–288, doi : 10.1007/BF02762802

[7] Джеймс, Роберт К. (1972), «Суперрефлексивные банаховы пространства», Canadian Journal of Mathematics , 24 (5): 896–904, doi : 10.4153/CJM-1972-089-7

[8] Пизье, Жиль (1975), «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах», Israel Journal of Mathematics , 20 (3–4): 326–350, doi : 10.1007/BF02760337

[9] Асплунд, Эдгар (1967), «Усредненные нормы», Израильский математический журнал , 5 (4): 227–233, doi : 10.1007/BF02771611

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics