Строго сингулярный оператор

В функциональном анализе , разделе математики , строго сингулярный оператор — это ограниченный линейный оператор между нормированными пространствами, который не ограничен снизу ни в одном бесконечномерном подпространстве.

Определения.

Пусть X и Y — линейные нормированные пространства обозначим , а через B(X,Y) пространство ограниченных операторов вида $T:X\to Y$. Позволять $A\subseteq X$ быть любым подмножеством. Мы говорим, что T ограничено снизу на $A$ всякий раз, когда есть константа $c\in (0,\infty )$ такой, что для всех $x\in A$, неравенство $\|Tx\|\geq c\|x\|$ держит. Если A=X , мы просто говорим, что T ограничено снизу .

Теперь предположим, что X и Y — банаховы пространства, и пусть $Id_{X}\in B(X)$ и $Id_{Y}\in B(Y)$ обозначают соответствующие тождественные операторы. Оператор $T\in B(X,Y)$ называется несущественным всякий раз, когда $Id_{X}-ST$ является оператором Фредгольма для каждого $S\in B(Y,X)$. Эквивалентно, T несущественно тогда и только тогда, когда $Id_{Y}-TS$ подходит ли Фредхольм каждому $S\in B(Y,X)$. Обозначим через ${\mathcal {E}}(X,Y)$ множество всех несущественных операторов в $B(X,Y)$.

Оператор $T\in B(X,Y)$ называется строго сингулярным , если оно не ограничено снизу ни в одном бесконечномерном подпространстве X . Обозначим через ${\mathcal {SS}}(X,Y)$ множество всех строго сингулярных операторов в $B(X,Y)$. Мы говорим, что $T\in B(X,Y)$ конечно строго сингулярна, если для каждого $\epsilon >0$ существует $n\in \mathbb {N}$ такой, что для любого подпространства E пространства X, удовлетворяющего ${\text{dim}}(E)\geq n$, есть $x\in E$ такой, что $\|Tx\|<\epsilon \|x\|$. Обозначим через ${\mathcal {FSS}}(X,Y)$ множество всех конечно строго сингулярных операторов в $B(X,Y)$.

Позволять $B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ обозначим замкнутый единичный шар в X . Оператор $T\in B(X,Y)$ компактен всякий раз , когда $TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}$ является относительно компактным по норме подмножеством Y и обозначается через ${\mathcal {K}}(X,Y)$ множество всех таких компактных операторов.

Характеристики.

Строго сингулярные операторы можно рассматривать как обобщение компактных операторов , поскольку каждый компактный оператор строго сингулярен. Эти два класса имеют некоторые общие свойства. Например, если X — банахово пространство , а T — строго сингулярный оператор в B(X), то его спектр $\sigma (T)$ удовлетворяет следующим свойствам: (i мощность ) $\sigma (T)$ не более чем счетно; (ii) $0\in \sigma (T)$ (за исключением, возможно, тривиального случая, когда X конечномерно); (iii) ноль является единственной возможной предельной точкой $\sigma (T)$; и (iv) каждое ненулевое $\lambda \in \sigma (T)$ является собственным значением. Эта же самая «спектральная теорема», состоящая из (i)-(iv), выполняется для несущественных операторов в B(X) .

Классы ${\mathcal {K}}$, ${\mathcal {FSS}}$, ${\mathcal {SS}}$, и ${\mathcal {E}}$ , замкнутые по норме все они образуют операторные идеалы . Это означает, что всякий раз, когда X и Y являются банаховыми пространствами, пространства компонент ${\mathcal {K}}(X,Y)$, ${\mathcal {FSS}}(X,Y)$, ${\mathcal {SS}}(X,Y)$, и ${\mathcal {E}}(X,Y)$ являются замкнутыми подпространствами (в операторной норме) B(X,Y) , такие, что классы инвариантны относительно композиции с произвольными ограниченными линейными операторами.

В общем, у нас есть ${\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)$, и каждое из включений может быть или не быть строгим, в зависимости от выбора X и Y .

Примеры.

Любое ограниченное линейное отображение $T:\ell _{p}\to \ell _{q}$, для $1\leq q,p<\infty$, $p\neq q$, строго сингулярна. Здесь, $\ell _{p}$ и $\ell _{q}$ являются пространствами последовательностей . Аналогично, каждое ограниченное линейное отображение $T:c_{0}\to \ell _{p}$ и $T:\ell _{p}\to c_{0}$, для $1\leq p<\infty$, строго сингулярна. Здесь $c_{0}$ — банахово пространство последовательностей, сходящихся к нулю. Это следствие теоремы Питта, которая утверждает, что такие T при q < p компактны.

Если $1\leq p<q<\infty$ тогда формальный тождественный оператор $I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})$ конечно строго сингулярна, но не компактна. Если $1<p<q<\infty$ то существуют «операторы Пельчинского» в $B(\ell _{p},\ell _{q})$ которые равномерно ограничены снизу на копиях $\ell _{2}^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, и, следовательно, строго сингулярны, но не конечно строго сингулярны. В этом случае мы имеем ${\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})$. Однако каждый несущественный оператор с кодоменом $\ell _{q}$ строго сингулярна, так что ${\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})$. С другой стороны, если X — любое сепарабельное банахово пространство, то существует ограниченный снизу оператор $T\in B(X,\ell _{\infty })$ любой из которых несущественен, но не является строго единичным. Так, в частности, ${\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })$ для всех $1<p<\infty$.

Двойственность.

Компактные операторы образуют симметричный идеал , что означает $T\in {\mathcal {K}}(X,Y)$ тогда и только тогда, когда $T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})$. Однако это не относится к классам. ${\mathcal {FSS}}$, ${\mathcal {SS}}$, или ${\mathcal {E}}$. Для установления отношений двойственности введем дополнительные классы.

Если Z — замкнутое подпространство банахова пространства Y , то существует «каноническая» сюръекция $Q_{Z}:Y\to Y/Z$ определяется посредством естественного отображения $y\mapsto y+Z$. Оператор $T\in B(X,Y)$ называется строго косингулярным , если задано бесконечно-комерное замкнутое подпространство Z в Y , отображение $Q_{Z}T$ не может быть сюръективным. Обозначим через ${\mathcal {SCS}}(X,Y)$ подпространство строго косингулярных операторов в B(X,Y) .

Теорема 1. Пусть X и Y — банаховы пространства и пусть $T\in B(X,Y)$. Если Т* строго сингулярно (соответственно строго кососингулярно), то Т строго кососингулярно (соответственно строго сингулярно).

Заметим, что существуют примеры строго сингулярных операторов, сопряженные к которым не являются ни строго сингулярными, ни строго косингулярными (см. Пличко, 2004). Аналогично существуют строго косингулярные операторы, сопряженные которых не являются строго сингулярными, например отображение включения $I:c_{0}\to \ell _{\infty }$. Так ${\mathcal {SS}}$ не находится в полной дуальности с ${\mathcal {SCS}}$.

Теорема 2. Пусть X и Y — банаховы пространства и пусть $T\in B(X,Y)$. Если T* несущественно, то и T тоже .

Ссылки

Айена, Пьетро, ​​Фредгольм и локальная спектральная теория с приложениями к множителям (2004), ISBN   1-4020-1830-4 .

Пличко, Анатолий, «Суперстрого сингулярные и суперстрого коссингулярные операторы», North-Holland Mathematics Studies 197 (2004), стр. 239–255.