Неограниченный оператор

В математике , а точнее в функциональном анализе и теории операторов , понятие неограниченного оператора обеспечивает абстрактную основу для работы с дифференциальными операторами , неограниченными наблюдаемыми в квантовой механике и другими случаями.

Термин «неограниченный оператор» может ввести в заблуждение, поскольку

• «неограниченный» иногда следует понимать как «не обязательно ограниченный»;
• под «оператором» следует понимать « линейный оператор » (как в случае «ограниченного оператора»);
• областью определения оператора является линейное подпространство , а не обязательно все пространство;
• это линейное подпространство не обязательно замкнуто ; часто (но не всегда) его считают плотным ;
• в частном случае ограниченного оператора тем не менее обычно предполагается, что областью определения является все пространство.

В отличие от ограниченных операторов , неограниченные операторы в данном пространстве не образуют ни алгебры , ни даже линейного пространства, поскольку каждый из них определен в своей области определения.

Термин «оператор» часто означает «ограниченный линейный оператор», но в контексте данной статьи он означает «неограниченный оператор» с оговорками, сделанными выше. Данное пространство предполагается гильбертовым . некоторые обобщения на банаховы пространства и более общие топологические векторные пространства Возможны .

Краткая история

Теория неограниченных операторов развивалась в конце 1920-х — начале 1930-х годов как часть разработки строгой математической основы квантовой механики . Развитие теории принадлежит Джону фон Нейману. и Маршалл Стоун . Фон Нейман ввел использование графов для анализа неограниченных операторов в 1932 году.

Определения и основные свойства

Пусть X , Y — банаховы пространства . Неограниченный оператор (или просто оператор ) T : D ( T ) → Y это линейное отображение T линейного подпространства D ( T ) ⊆ X — области определения T — в пространство Y. — Вопреки обычному соглашению, не может быть определен на всем пространстве X. T

Оператор T называется замкнутым , если его график Γ( T ) является замкнутым множеством . (Здесь граф Γ( T ) представляет собой линейное подпространство прямой суммы X ⊕ Y , определенное как множество всех пар ( x , Tx ) , где x пробегает область определения T .) Явно это означает, что для каждой последовательности { xn _Для } точек из области определения T такой, что → _. x и Txn → _, y y справедливо, что принадлежит области определения T и Tx = xn x Замкнутость также можно сформулировать через норму графа : оператор T замкнут тогда и только тогда, когда его область определения D ( T ) является полным пространством относительно нормы:

$\|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.$

Оператор T называется плотно определенным если его область определения плотна в X. , Сюда также входят операторы, определенные на всем пространстве X , поскольку все пространство само по себе плотно. Плотность области необходима и достаточна для существования сопряженного (если X и Y — гильбертовы пространства) и транспонирования; см. разделы ниже.

Если T : X → Y замкнуто, плотно определено и непрерывно в своей области определения, то ее областью определения является вся область X .

Плотно определенный симметрический оператор T в гильбертовом пространстве H называется ограниченным снизу, если T + a — положительный оператор для некоторого действительного числа a . То есть ⟨ Tx | Икс ⟩ ≥ - а || х || ² для всех x в области T (или, альтернативно, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ a || x || ² поскольку а произвольно). Если и T , и −T T ограничены снизу, то ограничено .

Пример

Пусть C ([0, 1]) обозначает пространство непрерывных функций на единичном интервале, и пусть C ¹ ([0, 1]) обозначают пространство непрерывно дифференцируемых функций. Мы оборудуем $C([0,1])$ с высшей нормой, $\|\cdot \|_{\infty }$, что делает его банаховым пространством. Определим классический оператор дифференцирования д / дх : С ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) по обычной формуле:

$\left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].$

Любая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Мы утверждаем, что d / dx : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) — корректно определенный неограниченный оператор с областью определения C ¹ ([0, 1]) . Для этого нам нужно показать, что ${\frac {d}{dx}}$ является линейным и тогда, например, демонстрирует некоторую $\{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])$ такой, что $\|f_{n}\|_{\infty }=1$ и $\sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty$.

Это линейный оператор, поскольку линейная комбинация a f + bg двух непрерывно дифференцируемых функций   f , g также непрерывно дифференцируема, и

$\left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).$

Оператор не ограничен. Например,

${\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}$

удовлетворить

$\left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,$

но

$\left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty$

как $n\to \infty$.

Оператор плотно определен и замкнут.

Один и тот же оператор можно рассматривать как оператор Z → Z для многих вариантов банахова пространства Z и он не может быть ограничен ни одним из них. В то же время он может быть ограничен как оператор X → Y для других пар банаховых пространств X , Y , а также как оператор Z → Z для некоторых топологических векторных Z. пространств В качестве примера пусть I ⊂ R — открытый интервал и рассмотрим

${\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),$

где:

$\|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.$

Заместитель

Сопряженный к неограниченному оператору можно определить двумя эквивалентными способами. Позволять $T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}$ — неограниченный оператор между гильбертовыми пространствами.

Во-первых, его можно определить аналогично тому, как определяют сопряженный оператор ограниченного оператора. А именно, сопряженный $T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}$ T : определяется как оператор со свойством

$$\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).$$

Точнее, $T^{*}y$ определяется следующим образом. Если $y\in H_{2}$ таков, что $x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle$ является непрерывным линейным функционалом в области определения T , то $y$ объявляется элементом $D\left(T^{*}\right),$ и после распространения линейного функционала на все пространство с помощью теоремы Хана–Банаха можно найти некоторые $z$ в $H_{1}$ такой, что

$$\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),$$

поскольку теорема о представлении Рисса допускает непрерывное двойственное гильбертово пространство $H_{1}$ быть отождествлен с набором линейных функционалов, заданных внутренним продуктом. Этот вектор $z$ однозначно определяется $y$ тогда и только тогда, когда линейный функционал $x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle$ плотно определен; или, что то же самое, если T плотно определено. Наконец, позволив $T^{*}y=z$ завершает строительство $T^{*},$ которое обязательно является линейным отображением. Сопряженный $T^{*}y$ существует тогда и только тогда, когда T плотно определено.

По определению, область $T^{*}$ состоит из элементов $y$ в $H_{2}$ такой, что $x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle$ непрерывен в области определения T . Следовательно, область $T^{*}$ может быть что угодно; оно может быть тривиальным (то есть содержать только ноль). Может случиться так, что область $T^{*}$ является замкнутой гиперплоскостью и $T^{*}$ исчезает повсюду в домене. Таким образом, ограниченность $T^{*}$ на своей области определения не означает ограниченности T . С другой стороны, если $T^{*}$ определен на всем пространстве, то T ограничен в своей области определения и, следовательно, может быть расширен по непрерывности до ограниченного оператора на всем пространстве. Если домен $T^{*}$ плотно, то оно имеет сопряженное $T^{**}.$ Замкнутый плотно определенный оператор T ограничен тогда и только тогда, когда $T^{*}$ ограничен.

Другое эквивалентное определение сопряженного можно получить, заметив общий факт. Определите линейный оператор $J$ следующее:

$${\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}$$

С $J$ является изометрической сюръекцией, она унитарна. Следовательно: $J(\Gamma (T))^{\bot }$ это график некоторого оператора $S$ тогда и только тогда, когда T плотно определено. Простой расчет показывает, что это «некоторые» $S$ удовлетворяет:

$$\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},$$

для каждого x в области T . Таким образом $S$ является сопряженным к T .

Из приведенного выше определения непосредственно следует, что сопряженный $T^{*}$ закрыт. В частности, самосопряженный оператор (т.е. $T=T^{*}$) закрыто. Оператор T замкнут и плотно определен тогда и только тогда, когда $T^{**}=T.$

Некоторые хорошо известные свойства ограниченных операторов обобщаются на замкнутые плотно определенные операторы. Ядро закрытого оператора закрыто. При этом ядро ​​замкнутого плотно определенного оператора $T:H_{1}\to H_{2}$ совпадает с ортогональным дополнением образа сопряженного. То есть,

$$\operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.$$

Теорема фон Неймана утверждает, что $T^{*}T$ и $TT^{*}$ самосопряжены, и это $I+T^{*}T$ и $I+TT^{*}$ оба имеют ограниченные обратные. Если $T^{*}$ имеет тривиальное ядро, T имеет плотный диапазон (по приведенному выше тождеству). Более того:

T сюръективно тогда и только тогда, когда существует $K>0$ такой, что $\|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}$ для всех $f$ в $D\left(T^{*}\right).$ (По сути, это вариант так называемой теоремы о замкнутом диапазоне .) В частности, T имеет замкнутый диапазон тогда и только тогда, когда $T^{*}$ имеет закрытый диапазон.

В отличие от ограниченного случая, не обязательно, чтобы $(TS)^{*}=S^{*}T^{*},$ поскольку, например, возможно даже, что $(TS)^{*}$ не существует. Однако это имеет место, если, например, T ограничено.

Плотно определенный замкнутый оператор T называется нормальным , если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

• $T^{*}T=TT^{*}$;
• домен T равен домену $T^{*},$ и $\|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|$ для каждого x в этом домене;
• существуют самосопряженные операторы $A,B$ такой, что $T=A+iB,$$T^{*}=A-iB,$ и $\|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}$ для каждого x в области T .

Любой самосопряженный оператор является нормальным.

Транспонировать

См. также: Транспонирование линейной карты.

Позволять $T:B_{1}\to B_{2}$ — оператор между банаховыми пространствами. Тогда транспонирование (или двойственное ) ${}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}$ из $T$ является линейным оператором, удовлетворяющим:

$$\langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle$$

для всех $x\in B_{1}$ и $y\in B_{2}^{*}.$ Здесь мы использовали обозначения: $\langle x,x'\rangle =x'(x).$

Необходимое и достаточное условие транспонирования $T$ существовать - это $T$ плотно определен (по сути, по той же причине, что и сопряженные, как обсуждалось выше).

Для любого гильбертова пространства $H,$ существует антилинейный изоморфизм:

$$J:H^{*}\to H$$

данный $Jf=y$ где $f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).$ Благодаря этому изоморфизму транспонирование ${}^{t}T$ относится к присоединенному $T^{*}$ следующим образом:

$$T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},$$

где $J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}$. (Для конечномерного случая это соответствует тому факту, что сопряженная матрица является ее сопряженной транспозицией.) Обратите внимание, что это дает определение сопряженной матрицы в терминах транспонирования.

Замкнутые линейные операторы

Основная статья: Закрытый линейный оператор

Замкнутые линейные операторы — класс линейных операторов в банаховых пространствах . Они более общие, чем ограниченные операторы , и поэтому не обязательно непрерывны , но все же сохраняют достаточно хорошие свойства, позволяющие определить спектр и (при определенных предположениях) функциональное исчисление для таких операторов. Многие важные линейные операторы, которые не могут быть ограничены, оказываются замкнутыми, например производная и большой класс дифференциальных операторов .

Пусть X , Y — два банаховых пространства . Линейный оператор A : D ( A ⊆ X → Y замкнут сходящейся , если для каждой последовательности { xn _} → в D ( A ), к x в X , такой, что Axn _→ ) y ∈ Y при n ∞, имеет место x ∈ D ( А ) и Ах знак равно у . Эквивалентно, замкнута , если ее график замкнут A в прямой сумме X ⊕ Y .

Для линейного оператора A , не обязательно замкнутого, если замыкание его графика в ⊕ Y оказывается графиком некоторого оператора, этот оператор называется замыканием A , A и мы говорим, что замыкаем X . Обозначим замыкание A через A . Отсюда следует, A является ограничением A D на A ( что ) .

Ядро такое , (или область ) замыкаемого оператора — это подмножество C в D ( A ), что замыкание ограничения A на C есть A. существенная

Пример

Рассмотрим производной оператор A = d / dx , где X = Y = C ([ a , b ]) — банахово пространство всех непрерывных функций на интервале [ a , b ] . Если взять область определения D ( A ) за C ¹ ([ a , b ]) , то A — замкнутый оператор, который не ограничен. С другой стороны, если D ( A ) = C ^∞ ([ a , b ]) , то A больше не будет замкнутым, но будет закрываемым, при этом замыкание будет его расширением, определенным на C ¹ ([ а , б ]) .

Симметричные операторы и самосопряженные операторы

Основная статья: Самосопряженный оператор

Оператор T в гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда, когда для каждых x и y в области определения T выполнено равенство $\langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle$. Плотно определенный оператор T симметричен тогда и только тогда, когда он согласуется со своим сопряженным T ^∗ ограничено областью определения T , другими словами, когда T ^∗ расширением Т. является

В общем случае, если T плотно определен и симметричен, область определения присоединенного T ^∗ не обязательно равен домену T . Если T симметричен и область определения T и область определения сопряженного совпадают, то мы говорим, T самосопряженный что . Обратите внимание, что когда T самосопряженный, из существования сопряженного следует, что T плотно определен, и поскольку T ^∗ обязательно замкнуто, T замкнуто.

Плотно определенный оператор T является симметричным , если подпространство Γ( T ) (определенное в предыдущем разделе) ортогонально его образу J (Γ( T )) относительно J (где J ( x , y ):=( y ,- х )).

Эквивалентно, оператор T является самосопряженным , если он плотно определен, замкнут, симметричен и удовлетворяет четвертому условию: оба оператора T – i , T + i сюръективны, то есть отображают область определения T на все пространство H. . Другими словами: для каждого x в H существуют y и z в области определения T такие, что Ty – iy = x и Tz + iz = x .

Оператор T называется самосопряженным , если два подпространства Γ( T ) , J (Γ( T )) ортогональны и их сумма равна всему пространству $H\oplus H.$

Этот подход не распространяется на неплотно определенные закрытые операторы. Неплотно определенные симметричные операторы могут быть определены непосредственно или через графы, но не через сопряженные операторы.

Симметричный оператор часто изучается через его преобразование Кэли .

Оператор T в комплексном гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда, когда число $\langle Tx\mid x\rangle$ действительно для всех x в области T .

Плотно определенный замкнутый симметрический оператор T самосопряжен тогда и только тогда, когда T ^∗ является симметричным. Может случиться так, что это не так.

Плотно определенный оператор T называется положительным. (или неотрицательный ), если его квадратичная форма неотрицательна, т. е. $\langle Tx\mid x\rangle \geq 0$ для всех x в области T . Такой оператор обязательно симметричен.

Оператор Т ^∗ T самосопряженный и позитивный для каждого плотно определенного замкнутого T .

Спектральная теорема применима к самосопряженным операторам и причём нормальным операторам, но не для плотно определенных, замкнутых операторов вообще, поскольку в этом случае спектр может быть пустым.

Симметричный оператор, определенный всюду, замкнут, а значит, ограничен: что является теоремой Хеллингера-Тёплица .

Связанные с расширением

См. также: Расширения симметричных операторов.

По определению оператор T является расширением оператора S, если Γ( S ) ⊆ Γ( T ) . Эквивалентное прямое определение: для каждого x в области определения S , x принадлежит области определения T и Sx = Tx .

Обратите внимание, что для каждого оператора существует везде определенное расширение, что является чисто алгебраическим фактом, объясненным в разделе «Разрывное линейное отображение § Общая теорема существования» и основанным на аксиоме выбора . Если данный оператор не ограничен, то расширение представляет собой разрывное линейное отображение . От него мало пользы, поскольку он не может сохранить важные свойства данного оператора (см. ниже) и обычно весьма неоднозначен.

Оператор Т называется замыкающим, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

• T имеет закрытое расширение;
• замыкание графика T является графиком некоторого оператора;
• для любой последовательности ( x _n ) точек из области определения T такой, что x _n → 0, а также Tx _n → y, справедливо y = 0 .

Не все операторы являются закрывающимися.

Замыкаемый оператор T имеет наименьшее замкнутое расширение ${\overline {T}}$ называется замыканием ​ T . Замыкание графика T равно графику ${\overline {T}}.$ Могут существовать и другие, неминимальные закрытые расширения.

Плотно определенный оператор T замыкается тогда и только тогда, когда T ^∗ плотно определен. В этом случае ${\overline {T}}=T^{**}$ и $({\overline {T}})^{*}=T^{*}.$

Если S плотно определен и T является расширением S , то S ^∗ является расширением T ^∗ .

Любой симметричный оператор замыкаем.

Симметричный оператор называется максимально симметричным, если он не имеет симметричных расширений, кроме самого себя. Любой самосопряженный оператор максимально симметричен. Обратное неверно.

Оператор называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряжено. Оператор по существу является самосопряженным тогда и только тогда, когда он имеет одно и только одно самосопряженное расширение.

Симметричный оператор может иметь более одного самосопряженного расширения и даже их континуум.

Плотно определенный симметричный оператор T по существу самосопряженный тогда и только тогда, когда оба оператора T – i , T + i имеют плотный диапазон.

Пусть T — плотно определенный оператор. Обозначая отношение « T является расширением S » через S ⊂ T (обычное сокращение для Γ( S ) ⊆ Γ( T )) имеем следующее.

• Если T симметричен, то T ⊂ T ^∗∗ ⊂ Т ^∗ .
• Если T замкнут и симметричен, то T = T ^∗∗ ⊂ Т ^∗ .
• Если T самосопряженный, то T = T ^∗∗ = Т ^∗ .
• Если T существенно самосопряжен, то T ⊂ T ^∗∗ = Т ^∗ .

самосопряженных

Класс самосопряженных операторов особенно важен в математической физике. Каждый самосопряженный оператор плотно определен, замкнут и симметричен. Обратное утверждение справедливо для ограниченных операторов, но в общем случае неверно. Самосопряженность существенно более ограничительна, чем эти три свойства. Знаменитая спектральная теорема справедлива для самосопряженных операторов. В сочетании с теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах он показывает, что самосопряженные операторы являются в точности бесконечно малыми генераторами сильно непрерывных однопараметрических унитарных групп, см. Самосопряженный оператор § Самосопряженные расширения в квантовой механике . Такие унитарные группы особенно важны для описания эволюции во времени в классической и квантовой механике.

См. также

• Гильбертово пространство § Неограниченные операторы
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Ограниченный оператор

Ссылки

Библиография

• Березанский Ю.М.; Шефтель, З.Г.; Ус, Г.Ф. (1996), Функциональный анализ , вып. II, Биркхойзер (см. главу 12 «Общая теория неограниченных операторов в гильбертовых пространствах»).
• Брезис, Хаим (1983), Функциональный анализ - теория и приложения (на французском языке), Париж: Мейсон
• «Неограниченный оператор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Холл, Британская Колумбия (2013), «Глава 9. Неограниченные самосопряженные операторы», Квантовая теория для математиков , Тексты для аспирантов по математике, том. 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Като, Тосио (1995), «Глава 5. Операторы в гильбертовом пространстве», Теория возмущений для линейных операторов , Классика математики, Springer-Verlag, ISBN  3-540-58661-Х
• Крейциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями . США: Джон Уайли и сыновья. Инк. ISBN  0-471-50731-8 .
• Педерсен, Герт К. (1989), Анализ сейчас , Springer (см. главу 5 «Неограниченные операторы»).
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Методы современной математической физики , том. 1: Функциональный анализ (переработанное и дополненное издание), Academic Press (см. главу 8 «Неограниченные операторы»).
• Стоун, Маршалл Харви (1932). Линейные преобразования в гильбертовом пространстве и их приложения к анализу. Перепечатка изд . 1932 г. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-7452-3 .
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4660-5 .
• фон Нейман, Дж. (1930), «Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов (Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов)», Mathematical Annals , 102 (1), doi : 10.1007/BF01782338 , S2CID   121249803
• фон Нейман, Дж. (1932), «О сопряженных функциональных операторах (о сопряженных функциональных операторах)», Анналы математики , вторая серия, 33 (2), doi : 10.2307/1968331 , JSTOR   1968331
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

В эту статью включены материалы закрытого оператора PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .