Ограниченный оператор

Не путать с ограниченной функцией (теория множеств).

В функциональном анализе и теории операторов ограниченный линейный оператор — это линейное преобразование. $L:X\to Y$ между топологическими векторными пространствами (ТВП) $X$ и $Y$ который отображает ограниченные подмножества $X$ ограниченным подмножествам $Y.$ Если $X$ и $Y$ являются нормированными векторными пространствами (особый тип ТВП), то $L$ ограничен тогда и только тогда, когда существует некоторое $M>0$ такой, что для всех $x\in X,$$$\|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.$$Самый маленький такой $M$ называется операторной нормой $L$ и обозначается $\|L\|.$ Ограниченный оператор между нормированными пространствами непрерывен , и наоборот.

Понятие ограниченного линейного оператора было распространено с нормированных пространств на все топологические векторные пространства.

Вне функционального анализа, когда функция $f:X\to Y$ называется « ограниченным », то это обычно означает, что его образ $f(X)$ является ограниченным подмножеством своей кодомена. Линейное отображение обладает этим свойством тогда и только тогда, когда оно тождественно $0.$ Следовательно, в функциональном анализе, когда линейный оператор называется «ограниченным», он никогда не подразумевается в этом абстрактном смысле (имеющего ограниченный образ).

В нормированных векторных пространствах

Всякий ограниченный оператор липшицев непрерывен в точке $0.$

Эквивалентность ограниченности и непрерывности

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен .

Доказательство

Предположим, что $L$ ограничен. Тогда для всех векторов $x,h\in X$ с $h$ ненулевое у нас есть $$\|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.$$Сдача в аренду $h$ переход к нулю показывает, что $L$ является непрерывным в $x.$ Более того, поскольку константа $M$ не зависит от $x,$ это показывает, что на самом деле $L$ равномерно непрерывна и даже липшицева .

Обратно, из непрерывности на нулевом векторе следует, что существует $\varepsilon >0$ такой, что $\|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1$ для всех векторов $h\in X$ с $\|h\|\leq \varepsilon .$ Таким образом, для всех ненулевых $x\in X,$ у одного есть $$\|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \varepsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.$$Это доказывает, что $L$ ограничен. КЭД

В топологических векторных пространствах

Линейный оператор $F:X\to Y$ между двумя топологическими векторными пространствами (TVS) называется ограниченным линейным оператором или просто ограниченным , если всякий раз, когда $B\subseteq X$ ограничен ​ ​ $X$ затем $F(B)$ ограничен $Y.$ Подмножество ТВС называется ограниченным (точнее, ограниченным по фон Нейману ), если каждая окрестность начала координат его поглощает . В нормированном пространстве (и даже в полунормированном пространстве ) подмножество ограничено по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме. Следовательно, для нормированных пространств понятие ограниченного множества фон Неймана идентично обычному понятию подмножества, ограниченного по норме.

Непрерывность и ограниченность

Каждый секвенциально непрерывный линейный оператор между TVS является ограниченным оператором. Отсюда следует, что каждый непрерывный линейный оператор между метризуемыми TVS ограничен. Однако, вообще говоря, ограниченный линейный оператор между двумя ТВС не обязательно должен быть непрерывным.

Эта формулировка позволяет определить ограниченные операторы между общими топологическими векторными пространствами как оператор, переводящий ограниченные множества в ограниченные множества. В этом контексте по-прежнему верно, что каждое непрерывное отображение ограничено, однако обратное неверно; ограниченный оператор не обязательно должен быть непрерывным. Это также означает, что в этом контексте ограниченность больше не эквивалентна липшицевой непрерывности.

Если область определения является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS , пространством Фреше , нормированным пространством ), то линейный оператор в любые другие локально выпуклые пространства ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Для LF-пространств справедливо более слабое обращение; любое ограниченное линейное отображение из пространства ЛФ секвенциально непрерывно .

Если $F:X\to Y$ — линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами, и если существует окрестность $U$ происхождения в $X$ такой, что $F(U)$ является ограниченным подмножеством $Y,$ затем $F$ является непрерывным. Этот факт часто резюмируют, говоря, что линейный оператор, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, обязательно непрерывен. В частности, любой линейный функционал, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, непрерывен (даже если его область определения не является нормированным пространством ).

Борнологические пространства

Основная статья: Борнологическое пространство

Борнологические пространства — это именно те локально-выпуклые пространства, для которых каждый ограниченный линейный оператор в другое локально-выпуклое пространство обязательно непрерывен. То есть локально выпуклая TVS $X$ является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда для любого локально выпуклого TVS $Y,$ линейный оператор $F:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено.

Каждое нормированное пространство является борнологическим.

Характеризации ограниченных линейных операторов

Позволять $F:X\to Y$ быть линейным оператором между топологическими векторными пространствами (не обязательно Хаусдорфом). Следующие действия эквивалентны:

1. $F$ является (локально) ограниченным;
2. (Определение): $F$ отображает ограниченные подмножества своей области определения в ограниченные подмножества своей кодомена;
3. $F$ отображает ограниченные подмножества своей области определения в ограниченные подмножества своего изображения $\operatorname {Im} F:=F(X)$;
4. $F$ отображает каждую нулевую последовательность в ограниченную последовательность;
   • Нулевая последовательность по определению — это последовательность, которая сходится к началу координат.
   • Таким образом, любое линейное отображение, секвенциально непрерывное в начале координат, обязательно является ограниченным линейным отображением.
5. $F$ отображает каждую сходящуюся нулевую последовательность Макки в ограниченное подмножество $Y.$
   • Последовательность $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ называется сходящейся по Макки к началу координат в $X$ если существует расходящаяся последовательность $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ положительного действительного числа такого, что $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ является ограниченным подмножеством $X.$

если $X$ и $Y$ , локально выпуклы то к этому списку можно добавить:

6. $F$ отображает ограниченные диски в ограниченные диски.
7. $F^{-1}$ отображает родоядных диски $Y$ в бороядные диски в $X.$

если $X$ представляет собой борнологическое пространство и $Y$ локально выпукла, то к этому списку можно добавить следующее:

8. $F$ секвенциально непрерывна в некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения.
   • Секвенциально -непрерывное линейное отображение между двумя ТВС всегда ограничено, но обратное требует выполнения дополнительных предположений (например, борнологическая область и локальная выпуклость кодомена).
   • Если домен $X$ также является секвенциальным пространством , то $F$ тогда секвенциально непрерывна и только тогда, когда она непрерывна.
9. $F$ секвенциально непрерывна в начале координат .

Примеры

• Любой линейный оператор между двумя конечномерными нормированными пространствами ограничен, и такой оператор можно рассматривать как умножение на некоторую фиксированную матрицу .
• Любой линейный оператор, определенный в конечномерном нормированном пространстве, ограничен.
• В пространстве последовательностей $c_{00}$ нулевых последовательностей действительных чисел, рассматриваемых с помощью $\ell ^{1}$ норме линейный оператор действительных чисел, который возвращает сумму последовательности, ограничен с нормой оператора 1. Если то же пространство рассматривается с $\ell ^{\infty }$ норме тот же оператор не ограничен.
• Многие интегральные преобразования являются ограниченными линейными операторами. Например, если $$K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}$$— непрерывная функция, то оператор $L$ определенное на пространстве $C[a,b]$ непрерывных функций на $[a,b]$ наделены единой нормой и ценностями в пространстве $C[c,d]$ с $L$ заданной формулой $$(Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,$$ограничен. Этот оператор на самом деле является компактным оператором . Компактные операторы образуют важный класс ограниченных операторов.
• Оператор Лапласа $$\Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,$$(его областью определения является пространство Соболева и оно принимает значения в пространстве функций, интегрируемых с квадратом ) ограничено.
• Оператор сдвига в пространстве Lp $\ell ^{2}$ из всех последовательностей $\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)$ действительных чисел с $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,$$$L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)$$ ограничен. Его операторная норма, как легко видеть, равна $1.$

Неограниченные линейные операторы

Позволять $X$ — пространство всех тригонометрических полиномов на $[-\pi ,\pi ],$ с нормой

$$\|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.$$

Оператор $L:X\to X$ который отображает полином в его производную, не ограничен. Действительно, для $v_{n}=e^{inx}$ с $n=1,2,\ldots ,$ у нас есть $\|v_{n}\|=2\pi ,$ пока $\|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty$ как $n\to \infty ,$ так $L$ не ограничен.

Свойства пространства ограниченных линейных операторов

Пространство всех ограниченных линейных операторов из $X$ к $Y$ обозначается $B(X,Y)$.

• $B(X,Y)$ является нормированным векторным пространством.
• Если $Y$ Банах, то и так $B(X,Y)$; в частности, двойственные пространства банаховы.
• Для любого $A\in B(X,Y)$ ядро $A$ является замкнутым линейным подпространством $X$.
• Если $B(X,Y)$ это Банах и $X$ нетривиально, то $Y$ является Банах.

См. также

• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Сжатие (теория операторов) - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистая линейная карта
• Непрерывный линейный оператор
• Локальная ограниченность
• Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
• Операторная алгебра - Раздел функционального анализа.
• Норма оператора - мера «размера» линейных операторов.
• Теория операторов - Математическая область исследования
• Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Неограниченный оператор - линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве.

Библиография

• «Ограниченный оператор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Крейциг, Эрвин: Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989 г.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .