Полунорма

В математике , особенно в функциональном анализе , полунорма — это норма , которая не обязательно должна быть положительно определенной . Полунормы тесно связаны с выпуклыми множествами : каждая полунорма является функционалом Минковского некоторого поглощающего диска и, наоборот, функционал Минковского любого такого множества является полунормой.

Топологическое векторное пространство является локально выпуклым тогда и только тогда, когда его топология индуцирована семейством полунорм.

Определение

Позволять $X$ быть векторным пространством над действительными числами $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$ функция Действительнозначная $p:X\to \mathbb {R}$ называется полунормой, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Субаддитивность / Неравенство треугольника : $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ для всех $x,y\in X.$
2. Абсолютная однородность : $p(sx)=|s|p(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s.$

Эти два условия подразумевают, что $p(0)=0$ и что каждая полунорма $p$ также имеет следующее свойство:

3. Неотрицательность : $p(x)\geq 0$ для всех $x\in X.$

Некоторые авторы включают неотрицательность в определение «полунормы» (а иногда и «нормы»), хотя в этом нет необходимости, поскольку она следует из двух других свойств.

определению норма По $X$ является полунормой, которая также разделяет точки, а это значит, что она обладает следующим дополнительным свойством:

4. Положительно определенный / Положительный / Разделение точек : всякий раз, когда $x\in X$ удовлетворяет $p(x)=0,$ затем $x=0.$

А полунормированное пространство — это пара $(X,p)$ состоящий из векторного пространства $X$ и полунорма $p$ на $X.$ Если полунорма $p$ также является нормой, то полунормированное пространство $(X,p)$ называется нормированным пространством .

Поскольку абсолютная однородность подразумевает положительную однородность, каждая полунорма представляет собой тип функции, называемой сублинейной функцией . Карта $p:X\to \mathbb {R}$ называется сублинейной функцией, если она субаддитивна и положительно однородна . В отличие от полунормы, сублинейная функция не обязательно неотрицательна. Сублинейные функции часто встречаются в контексте теоремы Хана-Банаха . Действительнозначная функция $p:X\to \mathbb {R}$ является полунормой тогда и только тогда, когда это сублинейная и сбалансированная функция .

Примеры

• Тривиальная полунорма на $X,$ что относится к константе $0$ карта на $X,$ индуцирует недискретную топологию на $X.$
• Позволять $\mu$ быть мерой пространства $\Omega$. Для произвольной константы $c\geq 1$, позволять $X$ быть набором всех функций $f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ для чего $$\lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}$$существует и конечен. Можно показать, что $X$ является векторным пространством, а функционал $\lVert \cdot \rVert _{c}$ является полунормой по $X$. Однако это не всегда является нормой (например, если $\Omega =\mathbb {R}$ и $\mu$ является мерой Лебега ), поскольку $\lVert h\rVert _{c}=0$ не всегда подразумевает $h=0$. Сделать $\lVert \cdot \rVert _{c}$ норма, частное $X$ замкнутым подпространством функций $h$ с $\lVert h\rVert _{c}=0$. пространство Получившееся , $L^{c}(\mu )$, имеет норму, индуцированную $\lVert \cdot \rVert _{c}$.
• Если $f$ любая линейная форма в векторном пространстве, то ее абсолютное значение $|f|,$ определяется $x\mapsto |f(x)|,$ является полунормой.
• функция Сублинейная $f:X\to \mathbb {R}$ в реальном векторном пространстве $X$ является полунормой тогда и только тогда, когда это симметричная функция , а это означает, что $f(-x)=f(x)$ для всех $x\in X.$
• Каждая вещественная сублинейная функция $f:X\to \mathbb {R}$ в реальном векторном пространстве $X$ вызывает полунорму $p:X\to \mathbb {R}$ определяется $p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.$
• Любая конечная сумма полунорм является полунормой. Ограничение полунормы (соответственно нормы) на векторное подпространство снова является полунормой (соответственно нормой).
• Если $p:X\to \mathbb {R}$ и $q:Y\to \mathbb {R}$ являются полунормами (соответственно нормами) на $X$ и $Y$ тогда карта $r:X\times Y\to \mathbb {R}$ определяется $r(x,y)=p(x)+q(y)$ является полунормой (соответственно нормой) на $X\times Y.$ В частности, карты на $X\times Y$ определяется $(x,y)\mapsto p(x)$ и $(x,y)\mapsto q(y)$ обе полунормы на $X\times Y.$
• Если $p$ и $q$ являются полунормами по $X$ тогда тоже $$(p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}$$ и $$(p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}$$где $p\wedge q\leq p$ и $p\wedge q\leq q.$
• Пространство полунорм на $X$ вообще не является дистрибутивной решеткой по отношению к указанным выше операциям. Например, более $\mathbb {R} ^{2}$, $p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|$ таковы, что $$((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}$$ пока $(p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)$
• Если $L:X\to Y$ является линейной картой и $q:Y\to \mathbb {R}$ является полунормой по $Y,$ затем $q\circ L:X\to \mathbb {R}$ является полунормой по $X.$ Полунорма $q\circ L$ будет нормой для $X$ тогда и только тогда, когда $L$ является инъективным, а ограничение $q{\big \vert }_{L(X)}$ это норма для $L(X).$

Функционалы и полунормы Минковского.

Основная статья: функционал Минковского

Полунормы в векторном пространстве $X$ тесно связаны через функционалы Минковского с подмножествами $X$ которые являются выпуклыми , сбалансированными и поглощающими . Учитывая такое подмножество $D$ из $X,$ функционал Минковского $D$ является полунормой. Обратно, учитывая полунорму $p$ на $X,$ наборы $\{x\in X:p(x)<1\}$ и $\{x\in X:p(x)\leq 1\}$ являются выпуклыми, уравновешенными и поглощающими, и, кроме того, функционал Минковского этих двух множеств (как и любого множества, лежащего «между ними») равен $p.$

Алгебраические свойства

Каждая полунорма является сублинейной функцией и, таким образом, удовлетворяет всем свойствам сублинейной функции , включая выпуклость , $p(0)=0,$ и для всех векторов $x,y\in X$:обратное неравенство треугольника : $$|p(x)-p(y)|\leq p(x-y)$$а также ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ и $p(x)-p(y)\leq p(x-y).$

Для любого вектора $x\in X$ и позитив настоящий $r>0:$$$x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}$$и более того, $\{x\in X:p(x)<r\}$ представляет поглощающий диск собой $X.$

Если $p$ является сублинейной функцией в действительном векторном пространстве. $X$ то существует линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f\leq p$ и более того, для любого линейного функционала $g$ на $X,$ $g\leq p$ на $X$ тогда и только тогда, когда $g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .$

Другие свойства полунорм

Каждая полунорма является сбалансированной функцией . Полунорма $p$ это норма для $X$ тогда и только тогда, когда $\{x\in X:p(x)<1\}$ не содержит нетривиального векторного подпространства.

Если $p:X\to [0,\infty )$ является полунормой по $X$ затем $\ker p:=p^{-1}(0)$ является векторным подпространством $X$ и для каждого $x\in X,$ $p$ постоянно на множестве $x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}$ и равен $p(x).$

Более того, для любого реального $r>0,$$$r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.$$

Если $D$ это набор, удовлетворяющий $\{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}$ затем $D$ поглощает ​ ​ $X$ и $p=p_{D}$ где $p_{D}$ обозначает функционал Минковского, связанный с $D$ (то есть калибр $D$). В частности, если $D$ как указано выше и $q$ есть ли полунорма на $X,$ затем $q=p$ тогда и только тогда, когда $\{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.$

Если $(X,\|\,\cdot \,\|)$ является нормированным пространством и $x,y\in X$ затем $\|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|$ для всех $z$ в интервале $[x,y].$

Каждая норма является выпуклой функцией , и, следовательно, найти глобальный максимум целевой функции , основанной на норме , иногда легко.

Связь с другими нормоподобными концепциями

Позволять $p:X\to \mathbb {R}$ быть неотрицательной функцией. Следующие действия эквивалентны:

1. $p$ является полунормой.
2. $p$ является выпуклым $F$- полунорма .
3. $p$ является выпуклой сбалансированной G -полунормой .

Если какое-либо из вышеперечисленных условий выполняется, то следующие условия эквивалентны:

1. $p$ это норма;
2. $\{x\in X:p(x)<1\}$ не содержит нетривиального векторного подпространства.
3. Существует норма о $X,$ относительно которого, $\{x\in X:p(x)<1\}$ ограничен.

Если $p$ является сублинейной функцией в действительном векторном пространстве. $X$ то следующие условия эквивалентны:

1. $p$ – линейный функционал ;
2. $p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ for every }}x\in X$;
3. $p(x)+p(-x)=0{\text{ for every }}x\in X$;

Неравенства с полунормами

Если $p,q:X\to [0,\infty )$ являются полунормами по $X$ затем:

• $p\leq q$ тогда и только тогда, когда $q(x)\leq 1$ подразумевает $p(x)\leq 1.$
• Если $a>0$ и $b>0$ таковы, что $p(x)<a$ подразумевает $q(x)\leq b,$ затем $aq(x)\leq bp(x)$ для всех $x\in X.$
• Предполагать $a$ и $b$ являются положительными действительными числами и $q,p_{1},\ldots ,p_{n}$ являются полунормами по $X$ такой, что для каждого $x\in X,$ если $\max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a$ затем $q(x)<b.$ Затем $aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right).$
• Если $X$ представляет собой векторное пространство над действительными числами и $f$ является ненулевым линейным функционалом на $X,$ затем $f\leq p$ тогда и только тогда, когда $\varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.$

Если $p$ является полунормой по $X$ и $f$ является линейным функционалом от $X$ затем:

• $|f|\leq p$ на $X$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Re} f\leq p$ на $X$ (доказательство см. в сноске).
• $f\leq p$ на $X$ тогда и только тогда, когда $f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.$
• Если $a>0$ и $b>0$ таковы, что $p(x)<a$ подразумевает $f(x)\neq b,$ затем $a|f(x)|\leq bp(x)$ для всех $x\in X.$

Теорема Хана–Банаха для полунорм

Полунормы предлагают особенно четкую формулировку теоремы Хана – Банаха :

Если $M$ является векторным подпространством полунормированного пространства $(X,p)$ и если $f$ является непрерывным линейным функционалом на $M,$ затем $f$ может быть продолжено до непрерывного линейного функционала $F$ на $X$ имеет ту же норму, что и $f.$

Аналогичное свойство расширения справедливо и для полунорм:

Теорема  (Расширение полунорм) — Если $M$ является векторным подпространством $X,$ $p$ является полунормой по $M,$ и $q$ является полунормой по $X$ такой, что $p\leq q{\big \vert }_{M},$ тогда существует полунорма $P$ на $X$ такой, что $P{\big \vert }_{M}=p$ и $P\leq q.$

Доказательство : Пусть $S$ быть выпуклой оболочкой $\{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.$ Затем $S$ представляет поглощающий диск собой $X$ и поэтому функционал Минковского $P$ из $S$ является полунормой по $X.$ Эта полунорма удовлетворяет $p=P$ на $M$ и $P\leq q$ на $X.$ $\blacksquare$

Топологии полунормированных пространств.

Псевдометрика и индуцированная топология

Полунорма $p$ на $X$ порождает топологию, называемую топологией, индуцированной полунормой , через каноническую трансляционно-инвариантную псевдометрику $d_{p}:X\times X\to \mathbb {R}$; $d_{p}(x,y):=p(x-y)=p(y-x).$ Эта топология хаусдорфова тогда и только тогда, когда $d_{p}$ является метрикой, которая возникает тогда и только тогда, когда $p$ это норма . Эта топология делает $X$ в локально выпуклое псевдометризуемое топологическое векторное пространство , имеющее ограниченную окрестность начала координат и базис окрестностей в начале координат, состоящий из следующих открытых шаров (или замкнутых шаров) с центром в начале координат: $$\{x\in X:p(x)<r\}\quad {\text{ or }}\quad \{x\in X:p(x)\leq r\}$$как $r>0$ колеблется в пределах положительных реалов. Каждое полунормированное пространство $(X,p)$ следует считать наделенным этой топологией, если не указано иное. Топологическое векторное пространство, топология которого индуцирована некоторой полунормой, называется полунормируемым .

Эквивалентно, каждое векторное пространство $X$ с полунормой $p$ индуцирует фактор векторного пространства $X/W,$ где $W$ является подпространством $X$ состоящий из всех векторов $x\in X$ с $p(x)=0.$ Затем $X/W$ несет в себе норму, определенную $p(x+W)=p(x).$ Результирующая топология, возвращенная к $X,$ это именно топология, индуцированная $p.$

Любая топология, индуцированная полунормой, делает $X$ локально выпуклая следующим образом. Если $p$ является полунормой по $X$ и $r\in \mathbb {R} ,$ позвонить на съемочную площадку $\{x\in X:p(x)<r\}$ открытый шар радиуса $r$ о происхождении ; аналогично закрытый шар радиуса $r$ является $\{x\in X:p(x)\leq r\}.$ Набор всех открытых (соответственно закрытых) $p$-шары в начале координат образуют базис окрестности выпуклых сбалансированных множеств, открытых (соответственно закрытых) в $p$-топология на $X.$

Более сильные, слабые и эквивалентные полунормы

Понятия более сильных и более слабых полунорм родственны понятиям более сильных и более слабых норм . Если $p$ и $q$ являются полунормами по $X,$ тогда мы говорим это $q$ сильнее , чем $p$ и это $p$ слабее , чем $q$ если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Топология на $X$ вызванный $q$ тоньше, чем топология, индуцированная $p.$
2. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $X,$ затем $q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ в $\mathbb {R}$ подразумевает $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ в $\mathbb {R} .$
3. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $X,$ затем $q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to 0$ в $\mathbb {R}$ подразумевает $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ в $\mathbb {R} .$
4. $p$ ограничен $\{x\in X:q(x)<1\}.$
5. Если $\inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0$ затем $p(x)=0$ для всех $x\in X.$
6. Существует настоящий $K>0$ такой, что $p\leq Kq$ на $X.$

Полунормы $p$ и $q$ называются эквивалентными, если они оба слабее (или оба сильнее) друг друга. Это происходит, если они удовлетворяют любому из следующих условий:

1. Топология на $X$ вызванный $q$ то же самое, что топология, индуцированная $p.$
2. $q$ сильнее, чем $p$ и $p$ сильнее, чем $q.$
3. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $X$ затем $q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ тогда и только тогда, когда $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0.$
4. Существуют положительные действительные числа $r>0$ и $R>0$ такой, что $rq\leq p\leq Rq.$

Нормируемость и полунормируемость

См. Также: Нормированное пространство и Локальная ограниченность § локально ограниченное топологическое векторное пространство.

Топологическое векторное пространство (ТВП) называется полунормируемое пространство (соответственно нормируемое пространство ), если его топология индуцирована одной полунормой (соответственно одной нормой). TVS нормируемо тогда и только тогда, когда оно полунормируемо и хаусдорфово, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда оно полунормируемо и T ₁ (поскольку TVS является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является T ₁ пространством ). А локально ограниченное топологическое векторное пространство — это топологическое векторное пространство, обладающее ограниченной окрестностью начала координат.

Нормируемость топологических векторных пространств характеризуется критерием нормируемости Колмогорова . ТВС полунормируема тогда и только тогда, когда она имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. Таким образом, локально выпуклая ТВС полунормируема тогда и только тогда, когда она имеет непустое ограниченное открытое множество. TVS нормируемо тогда и только тогда, когда оно является T ₁ пространством и допускает ограниченную выпуклую окрестность начала координат.

Если $X$ является хаусдорфовой локально выпуклой TVS, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ это нормально.
2. $X$ является полунормируемым.
3. $X$ имеет ограниченную окрестность начала координат.
4. Сильный дуал $X_{b}^{\prime }$ из $X$ это нормально.
5. Сильный дуал $X_{b}^{\prime }$ из $X$ является метризуемым .

Более того, $X$ конечномерно тогда и только тогда, когда $X_{\sigma }^{\prime }$ является нормальным (здесь $X_{\sigma }^{\prime }$ обозначает $X^{\prime }$ наделен топологиейweak- * ).

Произведение бесконечного числа полунормируемых пространств снова полунормируемо тогда и только тогда, когда все эти пространства, кроме конечного числа, тривиальны (т. е. 0-мерны).

Топологические свойства

• Если $X$ это ТВС и $p$ является непрерывной полунормой на $X,$ затем закрытие $\{x\in X:p(x)<r\}$ в $X$ равно $\{x\in X:p(x)\leq r\}.$
• Закрытие $\{0\}$ в локально выпуклом пространстве $X$ топология которого определяется семейством непрерывных полунорм ${\mathcal {P}}$ равно $\bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).$
• Подмножество $S$ в полунормированном пространстве $(X,p)$ ограничен когда тогда и только тогда, $p(S)$ ограничен.
• Если $(X,p)$ является полунормированным пространством, то локально выпуклая топология, которая $p$ вызывает $X$ делает $X$ в псевдометризуемую ТВС с канонической псевдометрикой, заданной формулой $d(x,y):=p(x-y)$ для всех $x,y\in X.$
• Произведение бесконечного числа полунормируемых пространств снова полунормируемо тогда и только тогда, когда все эти пространства, кроме конечного числа, тривиальны (т. е. 0-мерны).

Преемственность полунорм

Если $p$ является полунормой в топологическом векторном пространстве $X,$ то следующие условия эквивалентны:

1. $p$ является непрерывным.
2. $p$ является непрерывным в 0;
3. $\{x\in X:p(x)<1\}$ открыт в $X$;
4. $\{x\in X:p(x)\leq 1\}$ является закрытой окрестностью 0 в $X$;
5. $p$ равномерно непрерывен на $X$;
6. Существует непрерывная полунорма $q$ на $X$ такой, что $p\leq q.$

В частности, если $(X,p)$ является полунормированным пространством, то полунорма $q$ на $X$ непрерывно тогда и только тогда, когда $q$ преобладает положительное скалярное кратное $p.$

Если $X$ это настоящий ТВС, $f$ является линейным функционалом от $X,$ и $p$ является непрерывной полунормой (или, в более общем смысле, сублинейной функцией) на $X,$ затем $f\leq p$ на $X$ подразумевает, что $f$ является непрерывным.

Непрерывность линейных карт

Если $F:(X,p)\to (Y,q)$ является отображением полунормированных пространств, тогда пусть $$\|F\|_{p,q}:=\sup\{q(F(x)):p(x)\leq 1,x\in X\}.$$

Если $F:(X,p)\to (Y,q)$ является линейным отображением полунормированных пространств, то следующие условия эквивалентны:

1. $F$ является непрерывным;
2. $\|F\|_{p,q}<\infty$;
3. Существует настоящий $K\geq 0$ такой, что $p\leq Kq$;
   • В этом случае, $\|F\|_{p,q}\leq K.$

Если $F$ является непрерывным, тогда $q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)$ для всех $x\in X.$

Пространство всех непрерывных линейных отображений $F:(X,p)\to (Y,q)$ между полунормированными пространствами само по себе является полунормированным пространством относительно полунормы $\|F\|_{p,q}.$ Эта полунорма является нормой, если $q$ это норма.

Обобщения

Понятие нормы в композиционных алгебрах не обладает обычными свойствами нормы.

Композиционная алгебра $(A,*,N)$ состоит из алгебры над полем $A,$ инволюция ​ $\,*,$ и квадратичная форма $N,$ что называется «норма». В нескольких случаях $N$ является изотропной квадратичной формой, так что $A$ имеет хотя бы один нулевой вектор , что противоречит разделению точек, требуемому для обычной нормы, обсуждаемой в этой статье.

Ультрасеминорма . или неархимедова полунорма - это полунорма $p:X\to \mathbb {R}$ это также удовлетворяет $p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.$

Ослабление субаддитивности: квазиполунормы

Карта $p:X\to \mathbb {R}$ называется квазиполунормой, если она (абсолютно) однородна и существует некоторая $b\leq 1$ такой, что $p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.$Наименьшее значение $b$ для которого это справедливо, называется множителем $p.$

Квазиполунорма, разделяющая точки, называется квазинормой на $X.$

Ослабление однородности - $k$-полунормы

Карта $p:X\to \mathbb {R}$ называется $k$-семинорма, если она субаддитивна и существует $k$ такой, что $0<k\leq 1$ и для всех $x\in X$ и скаляры $s,$$$p(sx)=|s|^{k}p(x)$$ А $k$-полунорма, разделяющая точки, называется $k$-норма включена $X.$

Мы имеем следующую связь между квазиполунормами и $k$-полунормы:

Предположим, что $q$ является квазиполунормой в векторном пространстве $X$ с множителем $b.$ Если $0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b$ тогда существует $k$-полунорма $p$ на $X$ эквивалентно $q.$

См. также

• Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы.
• Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.
• Картирование сжатия — функция, уменьшающая расстояние между всеми точками.
• Наилучшая локально выпуклая топология - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Теорема Хана-Банаха – Теорема о расширении ограниченных линейных функционалов. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Норма Гауэрса
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Расстояние Махаланобиса - Статистическая мера расстояния
• Матричная норма - Норма векторного пространства матриц.
• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
• Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
• Нормированное векторное пространство - векторное пространство, в котором определено расстояние.
• Связь норм и показателей – математическое пространство с понятием расстояния. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Сублинейная функция - тип функции в линейной алгебре.

Примечания

Доказательства

Ссылки

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN  978-0-8176-4998-2 . OCLC   710154895 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Пруговечки, Эдуард (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Академическая пресса. п. 20. ISBN  0-12-566060-Х .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .

Внешние ссылки

• Сублинейные функции
• Сэндвич-теорема для сублинейных и суперлинейных функционалов