Асимметричная норма

В математике в асимметричная норма векторном пространстве является обобщением понятия нормы .

Определение

Асимметричная норма в вещественном векторном пространстве $X$ это функция $p:X\to [0,+\infty )$ который имеет следующие свойства:

• Субаддитивность , или неравенство треугольника : $p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X.$
• Неотрицательная однородность : $p(rx)=rp(x){\text{ for all }}x\in X$ и каждое неотрицательное действительное число $r\geq 0.$
• Положительная определенность : $p(x)>0{\text{ unless }}x=0$

Асимметричные нормы отличаются от норм тем, что они не обязаны удовлетворять равенству $p(-x)=p(x).$

Если условие положительной определенности опустить, то $p$ является асимметричной полунормой . Более слабым условием, чем положительная определенность, является невырожденность : $x\neq 0,$ хотя бы одно из двух чисел $p(x)$ и $p(-x)$ не равен нулю.

Примеры

На реальной линии $\mathbb {R} ,$ функция $p$ предоставлено $$p(x)={\begin{cases}|x|,&x\leq 0;\\2|x|,&x\geq 0;\end{cases}}$$является асимметричной нормой, но не нормой.

В реальном векторном пространстве $X,$ Минковского функционал $p_{B}$ выпуклого подмножества $B\subseteq X$ содержащая начало координат, определяется формулой $$p_{B}(x)=\inf \left\{r\geq 0:x\in rB\right\}\,$$ для $x\in X$.Этот функционал является асимметричной полунормой, если $B$ является поглощающим множеством, а это означает, что $\bigcup _{r\geq 0}rB=X,$ и гарантирует, что $p(x)$ конечно для каждого $x\in X.$

Соответствие асимметричных полунорм и выпуклых подмножеств двойственного пространства

Если $B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ — выпуклое множество , содержащее начало координат, а затем асимметричную полунорму $p$ можно определить на $\mathbb {R} ^{n}$ по формуле $$p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\langle \varphi ,x\rangle .$$Например, если $B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ это квадрат с вершинами $(\pm 1,\pm 1),$ затем $p$ это норма такси $x=\left(x_{0},x_{1}\right)\mapsto \left|x_{0}\right|+\left|x_{1}\right|.$ Различные выпуклые множества дают разные полунормы, и каждая асимметричная полунорма на $\mathbb {R} ^{n}$ может быть получено из некоторого выпуклого множества, называемого его двойственным единичным шаром . Следовательно, асимметричные полунормы находятся во взаимно однозначном соответствии с выпуклыми множествами, содержащими начало координат. Полунорма $p$ является

• положительно определенное тогда и только тогда, когда $B^{*}$ содержит начало координат в своей топологической внутренности ,
• вырождено тогда и только тогда, когда $B^{*}$ содержится в линейном подпространстве размерности меньше $n,$ и
• симметричен тогда и только тогда, когда $B^{*}=-B^{*}.$

В более общем смысле, если $X$ является конечномерным вещественным векторным пространством и $B^{*}\subseteq X^{*}$ является компактным выпуклым подмножеством двойственного пространства $X^{*}$ который содержит начало координат, тогда $p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\varphi (x)$ является асимметричной полунормой на $X.$

См. также

• Финслерово многообразие - Обобщение римановых многообразий
• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.

Ссылки

• Кобзаш, С. (2006). «Компактные операторы в пространствах с асимметричной нормой». Стад. унив. Бабеш-Бойяи Математика . 51 (4): 69–87. arXiv : math/0608031 . Бибкод : 2006math......8031C . ISSN   0252-1938 . МР   2314639 .
• С. Кобзас, Функциональный анализ в асимметричных нормированных пространствах , Границы математики, Базель: Биркхойзер, 2013; ISBN   978-3-0348-0477-6 .