Полиномиально рефлексивное пространство

В математике полиномиально рефлексивное пространство — это банахово пространство X , на котором пространство всех многочленов каждой степени является рефлексивным пространством .

Учитывая полилинейный функционал M _n степени n (т. е. M _n является n -линейным), мы можем определить многочлен p как

$p(x)=M_{n}(x,\dots ,x)$

(т. е. применяя M _n к диагонали ) или любую их конечную сумму. Если в сумму входят только n -линейных функционалов, то многочлен называется n -однородным.

Определим пространство Pn _{как состоящее из} всех n -однородных многочленов.

P1 таким образом , _, идентично дуальному пространству рефлексивно для всех рефлексивных X. и Это означает, что рефлексивность является предпосылкой полиномиальной рефлексивности.

Отношение к непрерывности форм

В конечномерном линейном пространстве квадратичная форма x ↦ f ( x ) всегда является (конечной) линейной комбинацией произведений x ↦ g ( x ) h ( x ) двух линейных функционалов g и h . Следовательно, предполагая, что скаляры являются комплексными числами, каждая последовательность x _n , удовлетворяющая g ( x _n ) → 0 для всех линейных функционалов g , также удовлетворяет f ( x _n ) → 0 для всех квадратичных форм f .

В бесконечном измерении ситуация иная. Например, в гильбертовом пространстве последовательность ортонормированная n x _f удовлетворяет условию g ( x _n для всех линейных функционалов g и, тем не менее, f ( x _n ) = 1, где ) → 0 - квадратичная форма f ( x ) = || х || ² . Говоря более техническими словами, эта квадратичная форма не может быть слабо секвенциально непрерывной в начале координат.

В рефлексивном банаховом пространстве со свойством аппроксимации следующие два условия эквивалентны:

• каждая квадратичная форма слабо секвенциально непрерывна в начале координат;
• Банахово пространство всех квадратичных форм рефлексивно.

Квадратичные формы представляют собой 2-однородные многочлены. Упомянутая выше эквивалентность справедлива и для n -однородных многочленов, n =3,4,...

Примеры

Для $\ell ^{p}$ пространствах , P _n рефлексивно тогда и только тогда, когда n < p . Таким образом, нет $\ell ^{p}$ является полиномиально рефлексивным. ( $\ell ^{\infty }$ исключено, поскольку оно не рефлексивно.)

Таким образом, если банахово пространство допускает $\ell ^{p}$ как факторпространство оно не является полиномиально рефлексивным. Это делает полиномиально рефлексивные пространства редкими.

Пространство Цирельсона T * полиномиально рефлексивно.

Ссылки

• Аленкар Р., Арон Р. и С. Дайнин (1984), «Рефлексивное пространство голоморфных функций от бесконечного числа переменных», Proc. амер. Математика. Соц. 90 : 407–411.
• Фармер, Джефф Д. (1994), «Полиномиальная рефлексивность в банаховых пространствах», Израильский математический журнал 87 : 257–273. МИСТЕР 1286830
• Харамильо Дж. и Мораес Л. (2000), «Двойственность и рефлексивность в пространствах многочленов», Arch. Математика. (Базель) 74 : 282–293. МИСТЕР 1742640
• Мухика, Хорхе (2001), «Рефлексивные пространства однородных многочленов», Bull. Польский акад. наук. Математика. 49 :3, 211–222. МИСТЕР 1863260