Пространство Цирельсона

В математике , особенно в функциональном анализе , пространство Цирельсона является первым примером банахова пространства , в котором ни ℓ  ^п пространство не c ₀ и пространство могут быть вложены. Пространство Цирельсона рефлексивно .

Он был введен Б.С. Цирельсоном в 1974 году. В том же году Фигил и Джонсон опубликовали соответствующую статью ( Фигель и Джонсон (1974) ), где они использовали обозначение T для двойственного примера Цирельсона. Сегодня буква Т является стандартным обозначением. для двойственного исходному примеру, а исходный пример Цирельсона обозначается Т *. В T * или в T ни одно подпространство не изоморфно , как банахово пространство, ℓ  ^п пространство, 1 ≤ p < ∞, или c ₀ .

Все классические банаховые пространства, известные Банаху (1932) , пространства непрерывных функций , дифференцируемых функций или интегрируемых функций , а также все банаховы пространства, используемые в функциональном анализе в течение следующих сорока лет, содержат некоторые ℓ  ^п или с ₀ . Кроме того, новые попытки в начале 70-х гг. продвижение геометрической теории банаховых пространств привело к вопросу имеет ли каждое бесконечномерное банахово пространство подпространство, изоморфное некоторому ℓ  ^п или с ₀ . Более того, было показаноБодье, Лансьен и Шлумпрехт, что ℓ  ^п и с ₀ даже не грубо встроить в Т*.

Радикально новая конструкция Цирельсона лежит в основе нескольких дальнейших разработок теории банаховых пространств: произвольно искажаемого пространства Томаса Шлумпрехта ( Schlumprecht (1991) ), от которого зависит решение Гауэрса проблемы Банаха о гиперплоскости. и решение Оделла-Шлумпрехта проблемы искажений . Кроме того, несколько результатов Argyros et al. основаны на порядковых уточнениях конструкции Цирельсона, кульминацией которых стало решение Аргироса-Хейдона задачи скалярного плюс компакта.

Конструкция Цирельсона

В векторном пространстве ℓ ^∞ ограниченных скалярных последовательностей   x = { x _j } _{j ∈ N} , пусть P _n обозначает линейный оператор , который обнуляет все координаты x _j из x, для которых j ≤ n .

Конечная последовательность $\{x_{n}\}_{n=1}^{N}$ векторов в ℓ ^∞ называется блочно-непересекающимся, если существуют натуральные числа $\textstyle \{a_{n},b_{n}\}_{n=1}^{N}$ так что $a_{1}\leq b_{1}<a_{2}\leq b_{2}<\cdots \leq b_{N}$, и так что $(x_{n})_{i}=0$ когда $i<a_{n}$ или $i>b_{n}$, для каждого n 1 до N. от

Единичный шар   B _∞ из ℓ ^∞ компактен ) и метризуем для топологии поточечной сходимости ( топологии произведения . Важнейший шаг в конструкции Цирельсона — позволить K быть наименьшим поточечно замкнутым подмножеством B _∞, удовлетворяющим следующим двум свойствам:

а. Для каждого целого числа j в N единичный вектор e _j и все кратные $\lambda e_{j}$, для |λ| ≤ 1, принадлежат K .

б. Для любого целого числа N ≥ 1, если $\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{N})$ является блочно-непересекающейся последовательностью в K , то $\textstyle {{1 \over 2}P_{N}(x_{1}+\cdots +x_{N})}$ принадлежит К. ​

Это множество K удовлетворяет следующему свойству устойчивости:

в. Вместе с каждым элементом x из K множество K содержит все векторы y из ℓ ^∞ такой, что | й | ≤ | х | (для точечного сравнения).

Затем показано, что K на самом деле является подмножеством c ₀ , банаховым подпространством ℓ ^∞ состоящая из скалярных последовательностей, стремящихся к нулю на бесконечности. Это делается путем доказательства того, что

d: для каждого элемента x в K существует целое число n такое, что 2 P _n ( x ) принадлежит K ,

и повторение этого факта. Поскольку K точечно компактен и содержится в он _, слабо компактен в c0 _c0 . Пусть V замкнутая выпуклая K оболочка в c0 _. — Это также слабо компактное множество в c ₀ . Показано, что V удовлетворяет условиям b , c и d .

Пространство Цирельсона T * — это банахово пространство, шаром которого является V. единичным Базис единичного вектора является безусловным базисом для T *, а T * является рефлексивным. Следовательно, T изоморфной копии c0 _{* не содержит} . Другой ℓ  ^п пространства, 1 ⩽ p < ∞, исключаются условием b .

Свойства

Пространство Цирельсона T* рефлексивно C ( Цирельсон (1974) ) и конечно универсально , что означает, что для некоторой константы ≥ 1 пространство T* содержит C -изоморфные копии всякого конечномерного нормированного пространства, а именно для каждого В конечномерном нормированном пространстве X существует подпространство Y пространства Цирельсона с мультипликативным расстоянием Банаха–Мазура до X меньше C . Действительно, каждое конечно универсальное банахово пространство содержит почти изометрические копии любого конечномерного нормированного пространства: это означает, что C можно заменить на 1 + ε для любого ε > 0 . Кроме того, каждое бесконечномерное подпространство Т* конечно универсально. С другой стороны, каждое бесконечномерное подпространство в двойственном T к T* содержит почти изометрические копии $\scriptstyle {\ell _{n}^{1}}$, n -мерный ℓ ¹ -пространство для всех n .

Пространство Цирельсона T искажаемо оно , но неизвестно, искажаемо ли произвольно .

Пространство Т* является минимальным банаховым пространством. Это означает, что каждое бесконечномерное банахово подпространство в T* содержит дополнительное подпространство, изоморфное T* . До построения T* единственными известными примерами минимальных пространств были ℓ  ^п и с ₀ . Двойственное пространство T не является минимальным.

Пространство Т* рефлексивно полиномиально .

Производные пробелы

Симметричное пространство Цирельсона S ( T ) полиномиально рефлексивно и обладает свойством аппроксимации . Как и в случае с T , он рефлексивен и не имеет ℓ  ^п пространство может быть встроено в него.

Поскольку оно симметрично, его можно определить даже на несчетном опорном множестве, давая пример несепарабельного полиномиально рефлексивного банахова пространства .

См. также

• Проблема искажений
• Пространство последовательностей , основа содрогания
• пространство Джеймса

Ссылки

• Цирельсон Б.С. (1974), « Не каждое банахово пространство содержит вложение ℓ  ^п или с ₀ ", Функциональный анализ и его приложения , 8 : 138–141, doi : 10.1007/BF01078599 , MR   0350378 .
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Фигель, Т.; Джонсон, ВБ (1974), «Равномерно выпуклое банахово пространство, не содержащее ℓ  ^п » , Математический состав , 29 : 179–190 , МР   0355537 .
• Касацца, Питер Г.; Шура, Таддеус Дж. (1989), Пространство Цирельсона , Конспект лекций по математике, том. 1363, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-50678-0 , МР   0981801 .
• Джонсон, Уильям Б.; Дж. Линденштраусс, Йорам, ред. (2001), Справочник по геометрии банаховых пространств , вып. 1, Эльзевир .
• Джонсон, Уильям Б.; Дж. Линденштраусс, Йорам, ред. (2003), Справочник по геометрии банаховых пространств , вып. 2, Эльзевир .
• Линденштраусс, Йорам (1970), «Некоторые аспекты теории банаховых пространств», Успехи в математике , 5 : 159–180, doi : 10.1016/0001-8708(70)90032-0 .
• Линденштраусс, Йорам (1971), «Геометрическая теория классических банаховых пространств», Actes du Congrès Intern. Математика, Ницца, 1970 : 365–372 .
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей , Результаты математики и ее границ, том. 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-08072-4 .
• Мильман В.Д. (1970), "Геометрическая теория банаховых пространств. I. Теория основных и минимальных систем", Успехи матем. Наук , 25 вып. 3: 113–174 . Английский перевод на русский язык Математика. Обзоры 25 (1970), 111–170.
• Шлумпрехт, Томас Б. (1991), «Произвольное искажаемое банахово пространство», Израильский математический журнал , 76 : 81–95, arXiv : math/9201225 , doi : 10.1007/bf02782845 , MR   1177333 .
• Бодье, Флоран; Лансьен, Жиль; Шлумпрехт, Томас Б. (2018), «Грубая геометрия пространства Цирельсона и приложения», Журнал Американского математического общества , 31 : 699–717, arXiv : 1705.06797 , doi : 10.1090/jams/899 , MR   3787406 .

Внешние ссылки

• Воспоминания Бориса Цирельсона на его странице