Проблема искажений

В функциональном анализе , разделе математики, проблема искажения состоит в том, чтобы определить, насколько можно исказить единичную сферу в данном банаховом пространстве, используя эквивалентную норму. В частности, банахово пространство X называется λ-искажаемым, если существует эквивалентная норма | х | на X такое, что для всех бесконечномерных подпространств Y в X ,

\sup _{y_{1},y_{2}\in Y,\|y_{i}\|=1}{\frac {|y_{1}|}{|y_{2}|}}\geq \lambda

(см. искажение (математика) ). Заметим, что любое банахово пространство тривиально 1-искажаемо. Банахово пространство называется искажаемым, если оно λ-искажаемо для некоторого λ > 1, и произвольно искажаемым, если оно λ-искажаемо для любого λ. Искажение впервые стало важным свойством банаховых пространств в 1960-х годах, когда его изучали Джеймс (1964) и Милман (1971) .

Джеймс доказал, что c ₀ и ℓ ¹ не являются искажаемыми. Милман показал, что если X — банахово пространство, не содержащее изоморфной копии c ₀ или ℓ ^п для некоторого 1 ≤ p < ∞ (см. пространство последовательностей ), то некоторое бесконечномерное подпространство X искажается. Таким образом, проблема искажений теперь представляет интерес в первую очередь для пространств ℓ ^п, все из которых сепарабельны и равномерно выпуклы, при 1 < p < ∞ .

В сепарабельных и однородных выпуклых пространствах искажаемость, как легко видеть, эквивалентна якобы более общему вопросу о том, стабилизируется ли каждая действительнозначная функция Липшица ƒ, определенная на сфере в X , на сфере бесконечномерного подпространства, т.е. существует действительное число a ∈ R такое, что для любого δ > 0 существует бесконечномерное подпространство Y пространства X , так что |a − ƒ ( y )| < δ, для всех y ∈ Y , причем || й || = 1. Но из результата Оделла и Шлумпрехта (1994) следует , что на ℓ ¹ существуют липшицевы функции, которые не стабилизируются, хотя Джеймс (1964) не искажает это пространство . В сепарабельном гильбертовом пространстве проблема искажения эквивалентна вопросу о том, существуют ли подмножества единичной сферы, разделенные положительным расстоянием и при этом пересекающие каждое бесконечномерное замкнутое подпространство. В отличие от многих свойств банаховых пространств, проблема искажений в гильбертовых пространствах кажется такой же сложной, как и в других банаховых пространствах. В сепарабельном гильбертовом пространстве и для другого ℓ ^п-пространства, 1 <p < ∞, проблема искажения была положительно решена Оделлом и Шлумпрехтом (1994) , которые показали, что ℓ ² произвольно искажается, используя первое известное произвольно искажаемое пространство, построенное Шлумпрехт (1991) .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Джеймс, Р.К. (1964), «Равномерно неквадратные банаховы пространства», Annals of Mathematics , 80 (2): 542–550, doi : 10.2307/1970663 .
Мильман, В.Д. (1971), «Геометрия банаховых пространств II, геометрия единичной сферы», Российские математические обзоры , 26 : 79–163, Bibcode : 1971RuMaS..26...79M , doi : 10.1070/RM1971v026n06ABEH001273 .
Оделл, Э .; Шлумпрехт, Т. (2003), «Искажение и асимптотическая структура», Джонсон; Линденштраусс (ред.), Справочник по геометрии банаховых пространств, Том 2 , Elsevier, ISBN 978-0-444-51305-2 .
Оделл, Э.; Шлумпрехт, Т. (1993), «Проблема искажения гильбертова пространства», Геометрический и функциональный анализ , 3 : 201–207, doi : 10.1007/BF01896023 , ISSN 1016-443X , MR 1209302 .
Оделл, Э.; Шлумпрехт, Т. (1994), «Проблема искажения», Acta Mathematica , 173 : 259–281, doi : 10.1007/BF02398436 , ISSN 0001-5962 , MR 1301394 .
Шлумпрехт, Т. (1991), «Произвольное искажаемое банахово пространство», Израильский журнал математики , 76 : 81–95, arXiv : math/9201225 , doi : 10.1007/bf02782845 , ISSN 0021-2172 .