Искажение (математика)

В математике искажение — это мера того, насколько функция от евклидовой плоскости до самой себя искажает круги в эллипсы. Если искажение функции равно единице, то она конформна ; если искажение ограничено и функция является гомеоморфизмом , то она квазиконформна . Искажение функции ƒ плоскости определяется выражением

$H(z,f)=\limsup _{r\to 0}{\frac {\max _{|h|=r}|f(z+h)-f(z)|}{\min _{|h|=r}|f(z+h)-f(z)|}}$

который является предельным эксцентриситетом эллипса, полученного путем применения ƒ к маленьким кругам с центром в точке z . С этим геометрическим определением часто очень сложно работать, и необходимые аналитические характеристики можно экстраполировать к следующему определению. Отображение ƒ : Ω → R ² из открытой области на плоскости на плоскость имеет конечное искажение в точке x ∈ Ω, если ƒ находится в пространстве Соболева W ^1,1
_лок (О, Р ² ), определитель якобиана J( x ,ƒ) локально интегрируем и не меняет знак в Ω, и существует измеримая функция K ( x ) ≥ 1 такая, что

$|Df(x)|^{2}\leq K(x)|J(x,f)|$

почти везде. Здесь Df — слабая производная ƒ, а | Дф | – норма Гильберта–Шмидта .

Для функций в многомерном евклидовом пространстве R ^н , существует больше мер искажения, поскольку существует более двух главных осей симметричного тензора. Поточечная информация содержится в тензоре искажений

$G(x,f)={\begin{cases}|J(x,f)|^{-2/n}D^{T}f(x)Df(x)&{\text{if }}J(x,f)\not =0\\I&{\text{if }}J(x,f)=0.\end{cases}}$

Внешнее искажение K _O и внутреннее искажение K _I определяются через коэффициенты Рэлея.

$K_{O}(x)=\sup _{\xi \not =0}{\frac {\langle G(x)\xi ,\xi \rangle ^{n/2}}{|\xi |^{n}}},\quad K_{I}(x)=\sup _{\xi \not =0}{\frac {\langle G^{-1}(x)\xi ,\xi \rangle ^{n/2}}{|\xi |^{n}}}.$

Внешнее искажение также можно охарактеризовать с помощью неравенства, аналогичного приведенному в двумерном случае. Если Ω — открытое множество в R ^н , то функция ƒ ∈ W ^1,1
_лок (О, Р ^н ) имеет конечное искажение, если его якобиан локально интегрируем и не меняет знак и существует измеримая функция K _O (внешнее искажение) такая, что

$|Df(x)|^{n}\leq K_{O}(x)|J(x,f)|$

почти везде.

См. также

• Деформация (механика)

Ссылки

• Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2001), Геометрическая теория функций и нелинейный анализ , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850929-5 , МР   1859913 .
• Решетняк, Ю. Г. (1989), Пространственные отображения с ограниченным искажением , Переводы математических монографий, вып. 73, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-4526-4 , МР   0994644 .