Теорема о главной оси

В геометрии и линейной алгебре главная ось — определенная линия в евклидовом пространстве связанная с эллипсоидом или гиперболоидом , обобщающая большую и малую оси эллипса , или гиперболы . Теорема о главной оси утверждает, что главные оси перпендикулярны, и дает конструктивную процедуру их нахождения.

Математически теорема о главной оси является обобщением метода дополнения квадрата из элементарной алгебры . В линейной алгебре и функциональном анализе теорема о главной оси является геометрическим аналогом спектральной теоремы . Он имеет приложения к статистике анализа главных компонент и разложения по сингулярным числам . В физике эта теорема имеет фундаментальное значение для изучения углового момента и двойного лучепреломления .

Мотивация

Уравнения в декартовой плоскости R ² :

${\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{25}}&=1\\[3pt]{\frac {x^{2}}{9}}-{\frac {y^{2}}{25}}&=1\end{aligned}}$

определяют соответственно эллипс и гиперболу. В каждом случае оси x и y являются главными осями. Это легко увидеть, учитывая, что ни в одном из выражений нет перекрестных членов , включающих произведения xy . Однако ситуация сложнее для уравнений типа

$5x^{2}+8xy+5y^{2}=1.$

это Здесь требуется какой-то метод, чтобы определить, эллипс или гипербола . Основное наблюдение состоит в том, что если, заполнив квадрат, квадратное выражение можно свести к сумме двух квадратов, тогда уравнение определяет эллипс, тогда как если оно сводится к разнице в два квадрата, тогда уравнение представляет собой гиперболу:

${\begin{aligned}u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(ellipse)}}\\u(x,y)^{2}-v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(hyperbola)}}.\end{aligned}}$

Таким образом, в нашем примере выражения проблема состоит в том, как включить коэффициент перекрестного члена 8 xy в функции u и v . Формально эта задача аналогична задаче диагонализации матрицы , где пытаются найти подходящую систему координат, в которой матрица линейного преобразования является диагональной. Первый шаг — найти матрицу, в которой можно применить технику диагонализации.

Хитрость заключается в том, чтобы записать квадратичную форму как

$5x^{2}+8xy+5y^{2}={\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&4\\4&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x}$

где перекрестный термин разделен на две равные части. Матрица A в приведенном выше разложении является симметричной матрицей . В частности, по спектральной теореме он имеет вещественные собственные значения и диагонализируем ортогональной матрицей ( ортогонализируемый ).

Чтобы ортогонально диагонализировать A , нужно сначала найти его собственные значения, а затем найти ортонормированный собственный базис . Расчет показывает, что собственные значения A равны

$\lambda _{1}=1,\quad \lambda _{2}=9$

с соответствующими собственными векторами

$\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$

Разделив их на соответствующие длины, получим ортонормированный собственный базис:

$\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.$

Теперь матрица S = [ u ₁ u ₂ ] является ортогональной матрицей, поскольку она имеет ортонормированные столбцы, а A диагонализуется следующим образом:

$A=SDS^{-1}=SDS^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&9\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.$

Это относится и к настоящей проблеме «диагонализации» квадратичной формы посредством наблюдения, что

$5x^{2}+8xy+5y^{2}=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\left(SDS^{\textsf {T}}\right)\mathbf {x} =\left(S^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)^{\textsf {T}}D\left(S^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)=1\left({\frac {x-y}{\sqrt {2}}}\right)^{2}+9\left({\frac {x+y}{\sqrt {2}}}\right)^{2}.$

Таким образом, уравнение $5x^{2}+8xy+5y^{2}=1$ является эллипсом, поскольку левую часть можно записать как сумму двух квадратов.

Соблазнительно упростить это выражение, убрав из него множители 2. Однако важно этого не делать. Количества

$c_{1}={\frac {x-y}{\sqrt {2}}},\quad c_{2}={\frac {x+y}{\sqrt {2}}}$

имеют геометрический смысл. Они определяют ортонормированную систему координат на R ² . Другими словами, они получаются из исходных координат путем применения вращения (и, возможно, отражения). Следовательно, можно использовать координаты c ₁ и c ₂ для формулирования утверждений о длине и углах (особенно длине), что в противном случае было бы сложнее при другом выборе координат (например, путем их изменения масштаба). Например, максимальное расстояние от начала координат на эллипсе c ₁ ² + 9 с ₂ ² = 1 возникает, когда c ₂ = 0, то есть в точках c ₁ = ±1. Аналогично, минимальное расстояние равно c ₂ = ±1/3.

Теперь можно считать большую и малую оси этого эллипса. Это в точности отдельные собственные пространства матрицы A , поскольку именно там c ₂ = 0 или c ₁ = 0. Символически главные оси равны

$E_{1}={\text{span}}\left({\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\right),\quad E_{2}={\text{span}}\left({\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\right).$

Подводя итог:

• Уравнение относится к эллипсу, поскольку оба собственных значения положительны. (Иначе, если бы одно было положительным, а другое отрицательным, это была бы гипербола.)
• Главные оси — это линии, через которые проходят собственные векторы.
• Минимальное и максимальное расстояния до начала координат можно прочитать из уравнения в диагональной форме.

Используя эту информацию, можно получить четкое геометрическое представление эллипса: например, построить его график.

Официальное заявление

Теорема о главной оси касается квадратичных форм в R ^н , которые являются однородными полиномами степени 2. Любую квадратичную форму можно представить в виде

$Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x}$

где A — симметричная матрица.

Первая часть теоремы содержится в следующих утверждениях, гарантированных спектральной теоремой:

• Собственные значения A действительны.
• A диагонализуема, а собственные пространства A взаимно ортогональны.

В частности, A , ортогонально диагонализуемо поскольку можно взять основу каждого собственного пространства и применить процесс Грама-Шмидта отдельно внутри собственного пространства, чтобы получить ортонормированный собственный базис.

Во второй части предположим, что собственные значения A — это λ ₁ , ..., λ _n (возможно, повторяющиеся в соответствии с их алгебраическими кратностями ), а соответствующий ортонормированный собственный базис — это 1 _, ..., un _u . Затем,

$\mathbf {c} =[\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}]^{\textsf {T}}\mathbf {x} ,$

и

$Q(\mathbf {x} )=\lambda _{1}c_{1}^{2}+\lambda _{2}c_{2}^{2}+\dots +\lambda _{n}c_{n}^{2},$

где c _i — i -я запись c . Более того,

главная i -я ось — это линия, определяемая равенством c _j =0 для всех $j=1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,n$. - я i главная ось — это размах вектора u _i .

См. также

• Закон инерции Сильвестра

Ссылки

• Стрэнг, Гилберт (1994). Введение в линейную алгебру . Уэлсли-Кембридж Пресс. ISBN  0-9614088-5-5 .