Элементарная алгебра

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Квадратная формула , являющаяся решением квадратного уравнения

ax^{2}+bx+c=0

где

a\neq 0

. Здесь символы

a

,

b

и

c

обозначают произвольные числа, а

x

— переменная, представляющая решение уравнения.

Двумерный график (красная кривая) алгебраического уравнения $y=x^{2}-x-2$ .

Элементарная алгебра , также известная как студенческая алгебра , ^[1]охватывает основные понятия алгебры . Ее часто противопоставляют арифметике : арифметика имеет дело с заданными числами . ^[2] тогда как алгебра вводит переменные (величины без фиксированных значений). ^[3]

Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраических обозначений и понимание общих правил операций , введенных в арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление и т. д. В отличие от абстрактной алгебры , элементарная алгебра не имеет дело с алгебраическими структурами вне области реальных чисел. и комплексные числа .

Обычно его преподают учащимся средних школ и на начальном уровне в колледжах США . ^[4]и основывается на их понимании арифметики . Использование переменных для обозначения величин позволяет формально и кратко выразить общие отношения между величинами и, таким образом, решить более широкий круг задач. Многие количественные отношения в науке и математике выражаются в виде алгебраических уравнений .

Алгебраические операции [ править ]

В математике базовая алгебраическая операция — это любая из распространенных операций элементарной алгебры, к которым относятся сложение , вычитание , умножение , деление целого числа , возведение в степень и извлечение корня ( дробная степень). ^[5]Эти операции могут выполняться над числами , и в этом случае их часто называют арифметическими операциями . Аналогичным образом они также могут выполняться над переменными , алгебраическими выражениями , ^[6] и, в более общем плане, об элементах алгебраических структур , таких как группы и поля . ^[7] Алгебраическую операцию также можно определить просто как функцию от декартовой степени множества . к тому же множеству ^[8]

Термин «алгебраическая операция» также может использоваться для операций, которые могут быть определены путем объединения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение . В исчислении и математическом анализе алгебраические операции также используются для операций, которые могут быть определены чисто алгебраическими методами . Например, возведение в степень с целым или рациональным показателем является алгебраической операцией, но не общее возведение в степень с действительным или комплексным показателем. Кроме того, производная — это операция, которая не является алгебраической.

Алгебраические обозначения [ править ]

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения по написанию математических выражений , а также терминологию, используемую для обсуждения частей выражений. Например, выражение $3x^{2}-2xy+c$ имеет следующие компоненты:

Коэффициент — это числовое значение или буква , обозначающая числовую константу, на которую умножается переменная (оператор опущен). Термин . — это сложение или слагаемое , группа коэффициентов, переменных, констант и показателей степени, которые могут быть отделены от других членов с помощью операторов плюс и минус ^[9]Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению буквы в начале алфавита (например, $a,b,c$ ) обычно используются для представления констант , а также констант, находящихся в конце алфавита (например, $x,y$ и $z$ ) используются для представления переменных . ^[10] Обычно они печатаются курсивом. ^[11]

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции . ^[12] такие как сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . ^[13]и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда между двумя переменными или членами нет пробела или когда коэффициент используется . Например, $3\times x^{2}$ написано как $3x^{2}$ , и $2\times x\times y$ может быть написано $2xy$ . ^[14]

Обычно члены, имеющие наибольшую степень ( показатель степени ), пишутся слева, например, $x^{2}$ пишется слева от $x$ . Если коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, $1x^{2}$ написано $x^{2}$ ). ^[15] Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, $3x^{1}$ написано $3x$ ). ^[16] Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, $x^{0}$ всегда переписывается в $1$ ). ^[17] Однако $0^{0}$ , будучи неопределенным, не должен появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в показателях степени.

Альтернативное обозначение [ править ]

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации можно отметить, что показатели степени обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, например: $x^{2}$ , в обычном тексте и в TeX языке разметки каретки символ ^ представляет возведение в степень, поэтому $x^{2}$ записывается как «x^2». ^[18]^[19]Это также относится к некоторым языкам программирования, таким как Lua. В таких языках программирования, как Ада , ^[20] Фортран , ^[21] Перл , ^[22] Питон ^[23] и Руби , ^[24] используется двойная звездочка, поэтому $x^{2}$ записывается как «х**2». Во многих языках программирования и калькуляторах для обозначения символа умножения используется одна звездочка. ^[25] и его необходимо явно использовать, например, $3x$ написано "3*x".

Концепции [ править ]

Переменные [ править ]

Пример переменных, показывающих связь между диаметром круга и его длиной. Для любого круга его длина $c$ , деленная на его диаметр $d$ , равна постоянной пи , $\pi$ (приблизительно 3,14).

Элементарная алгебра основывается на арифметике и расширяет ее. ^[26]вводя буквы, называемые переменными, для обозначения общих (неуказанных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

Переменные могут представлять числа, значения которых еще не известны . Например, если температура текущего дня C на 20 градусов выше температуры предыдущего дня P, то задачу можно алгебраически описать как $C=P+20$ . ^[27]
Переменные позволяют описывать общие проблемы, ^[4]без указания значений участвующих величин. Например, можно конкретно сказать, что 5 минут эквивалентны $60\times 5=300$ секунды. Более общее (алгебраическое) описание может утверждать, что количество секунд, $s=60\times m$ , где m — количество минут.
Переменные позволяют описывать математические отношения между величинами, которые могут меняться. ^[28] Например, соотношение между длиной окружности c и диаметром d круга описывается выражением $\pi =c/d$ .
Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность , которая гласит, что порядок сложения чисел не имеет значения. Коммутативность выражается алгебраически как $(a+b)=(b+a)$ . ^[29]

Упрощение выражений [ править ]

Алгебраические выражения можно оценивать и упрощать на основе основных свойств арифметических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень ). Например,

Добавленные термины упрощаются с помощью коэффициентов. Например, $x+x+x$ можно упростить как $3x$ (где 3 – числовой коэффициент).
Умноженные члены упрощаются с помощью показателей степени. Например, $x\times x\times x$ представлен как $x^{3}$
Подобно тому, как термины складываются вместе, ^[30] например, $2x^{2}+3ab-x^{2}+ab$ написано как $x^{2}+4ab$ , поскольку члены, содержащие $x^{2}$ складываются вместе, и члены, содержащие $ab$ складываются вместе.
Скобки можно «умножать», используя распределительное свойство . Например, $x(2x+3)$ можно записать как $(x\times 2x)+(x\times 3)$ который можно записать как $2x^{2}+3x$
Выражения можно факторизовать. Например, $6x^{5}+3x^{2}$ , разделив оба члена на $3x^{2}$ можно записать как $3x^{2}(2x^{3}+1)$

Уравнения [ править ]

Уравнение утверждает, что два выражения равны, используя символ равенства = ( знак равенства ). ^[31] Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора, связывающий длины сторон прямоугольного треугольника : ^[32]

c^{2}=a^{2}+b^{2}

Это уравнение утверждает, что $c^{2}$ , представляющий квадрат длины стороны, которая является гипотенузой, стороной, противоположной прямому углу, равна сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены $a$ и $b$ .

Уравнение — это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например, $a+b=b+a$ ); такие уравнения называются тождествами . Условные уравнения верны только для некоторых значений участвующих переменных, например $x^{2}-1=8$ верно только для $x=3$ и $x=-3$ . Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены путем решения уравнения .

Другой тип уравнения — неравенство. Неравенства используются, чтобы показать, что одна часть уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: $a>b$ где $>$ представляет собой «больше чем», и $a<b$ где $<$ представляет собой «меньше чем». Как и стандартные уравнения равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственным исключением является то, что при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства необходимо перевернуть.

Свойства равенства [ править ]

По определению, равенство — это отношение эквивалентности , то есть оно рефлексивно (т. е. $b=b$ ), симметричный (т.е. если $a=b$ затем $b=a$ ) и транзитивный (т.е. если $a=b$ и $b=c$ затем $a=c$ ). ^[33]Он также удовлетворяет тому важному свойству, что если два символа используются для обозначения одинаковых вещей, то один символ можно заменить другим в любом истинном высказывании о первом, и это утверждение останется истинным. Это подразумевает следующие свойства:

если $a=b$ и $c=d$ затем $a+c=b+d$ и $ac=bd$ ;
если $a=b$ затем $a+c=b+c$ и $ac=bc$ ;
в более общем смысле, для любой функции $f$ , если $a=b$ затем $f(a)=f(b)$ .

неравенства Свойства

Отношения менее $<$ и больше, чем $>$ обладают свойством транзитивности: ^[34]

Если $a<b$ и $b<c$ затем $a<c$ ;
Если $a<b$ и $c<d$ затем $a+c<b+d$ ; ^[35]
Если $a<b$ и $c>0$ затем $ac<bc$ ;
Если $a<b$ и $c<0$ затем $bc<ac$ .

Обращая неравенство, $<$ и $>$ можно поменять местами, ^[36] например:

$a<b$ эквивалентно $b>a$

Замена [ править ]

Замена — это замена членов выражения для создания нового выражения. Замена a на 3 $a$ в выражении $* 5$ дает новое выражение $3*5$ со значением $15$ . Замена условий утверждения создает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное путем подстановок, также истинно. Следовательно, определения могут быть сделаны в символических терминах и интерпретированы посредством замены: если $a^{2}:=a\times a$ имеется в виду определение $a^{2},$ как произведение $a$ на самого себя, замена a $3$ на $сообщает$ читателю об этом утверждении, что $3^{2}$ означает $3 \times 3 = 9$ . Часто неизвестно, верно ли утверждение, независимо от значений терминов. А замена позволяет получить ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, если взять утверждение $x + 1 = 0$ , то если $x$ заменить на $1$ , это подразумевает $1 + 1 = 2 = 0$ , что неверно, а это означает, что если $x + 1 = 0$ , то $x$ не может быть $1$ .

Если $x$ и $y$ являются целыми , рациональными или действительными числами , то $xy = 0$ подразумевает $x = 0$ или $y = 0$ . Рассмотрим $abc = 0$ . Затем, подставив $a$ вместо $x$ и $bc$ вместо $y$ , мы узнаем $a = 0$ или $bc = 0$ . Затем мы можем снова заменить, полагая $x = b$ и $y = c$ , чтобы показать, что если $bc = 0,$ то $b = 0$ или $c = 0$ . Следовательно, если $abc = 0$ , то $a = 0$ или ( $b = 0$ или $c = 0$ ), поэтому $abc = 0$ подразумевает $a = 0$ , или $b = 0$ , или $c = 0$ .

Если бы исходный факт был сформулирован как « $ab = 0$ подразумевает $a = 0$ или $b = 0$ », то, говоря «рассмотрим $abc = 0$ », у нас возник бы конфликт терминов при замене. Тем не менее, приведенная выше логика по-прежнему справедлива и показывает, что если $abc = 0$ , то $a = 0$ , или $b = 0$ , или $c = 0$ , если вместо того, чтобы позволить $a = a$ и $b = bc$ , заменить $a$ вместо $a$ и $b$ вместо $bc$ (и с $bc = 0$ , заменяя $b$ вместо $a$ и $c$ вместо $b$ ). Это показывает, что замена терминов в утверждении не всегда означает, что термины из утверждения равны замененным терминам. В этой ситуации ясно, что если мы подставим выражение $a$ в $член$ исходного уравнения, $замененное a$ не будет относиться к $a$ в утверждении « $ab = 0$ подразумевает $a = 0$ или $b = 0$ ».

Решение алгебраических уравнений [ править ]

В следующих разделах приводятся примеры некоторых типов алгебраических уравнений, с которыми можно столкнуться.

Линейные уравнения с одной переменной [ править ]

Линейные уравнения называются так потому, что при их построении они описывают прямую линию. Простейшими уравнениями для решения являются линейные уравнения , имеющие только одну переменную. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Задача словами: если удвоить возраст ребенка и прибавить 4, в результате получится 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение:

2x+4=12

где

x

представляет возраст ребенка

Чтобы решить уравнение такого типа, используется метод сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же число, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Как только переменная изолирована, другой стороной уравнения является значение переменной. ^[37] Данная проблема и ее решение заключаются в следующем:

1. Уравнение, которое нужно решить:	$2x+4=12$
2. Вычтите 4 с обеих сторон:	$2x+4-4=12-4$
3. Это упрощает:	$2x=8$
4. Разделите обе части на 2:	${\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}$
5. Это упрощает решение:	$x=4$

Прописью: ребенку 4 года.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной можно записать как: $ax+b=c$

Следуя той же процедуре (т.е. вычтя $b$ из обеих частей, а затем разделив на $a$ ), общее решение дается как $x={\frac {c-b}{a}}$

Линейные уравнения с двумя переменными [ править ]

Решение двух линейных уравнений с единственным решением в точке их пересечения.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (то есть бесконечное количество) решений. ^[38] Например:

Проблема словами: Отец старше сына на 22 года. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение:

y=x+22

где

y

– возраст отца,

x

– возраст сына.

Это невозможно решить само собой. Если бы возраст сына стал известен, то двух неизвестных (переменных) уже не было бы. Тогда проблема превращается в линейное уравнение всего с одной переменной, которое можно решить, как описано выше.

Чтобы решить линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными), требуются два связанных уравнения. Например, если также выяснилось, что:

Проблема словами: Через 10 лет отец будет вдвое старше сына.
Эквивалентное уравнение: ${\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&&{\text{Subtract 10 from both sides}}\\y&=2x+20-10&&{\text{Multiple out brackets}}\\y&=2x+10&&{\text{Simplify}}\end{aligned}}$

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет составить линейное уравнение только с одной переменной путем вычитания одной из другой (так называемый метод исключения): ^[39]

{\begin{cases}y=x+22&{\text{First equation}}\\y=2x+10&{\text{Second equation}}\end{cases}}

{\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}

Другими словами, сыну 12 лет, а поскольку отец на 22 года старше, ему должно быть 34. Через 10 лет сыну будет 22, а отцу будет вдвое больше, 44. Эта проблема иллюстрируется на рисунке. связанный график уравнений.

Другие способы решения такого рода уравнений см. ниже в разделе « Система линейных уравнений» .

Квадратные уравнения [ править ]

График квадратного уравнения $y=x^{2}+3x-10$ показывая свои корни в $x=-5$ и $x=2$ , и что квадратичное уравнение можно переписать как $y=(x+5)(x-2)$

Квадратное уравнение – это уравнение, в состав которого входит член с показателем степени 2, например: $x^{2}$ , ^[40]и нет члена с более высоким показателем. Название происходит от латинского Quadrus , что означает квадрат. ^[41] В общем случае квадратное уравнение можно выразить в виде $ax^{2}+bx+c=0$ , ^[42]где $а$ не равно нулю (если бы оно было равно нулю, то уравнение было бы не квадратным, а линейным). Поэтому квадратное уравнение должно содержать член $ax^{2}$ , который известен как квадратичный член. Следовательно $a\neq 0$ , поэтому мы можем разделить на $a$ и привести уравнение к стандартной форме

x^{2}+px+q=0

где $p={\frac {b}{a}}$ и $q={\frac {c}{a}}$ . Решение этой задачи с помощью процесса, известного как завершение квадрата , приводит к квадратичной формуле

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

где символ «±» означает, что оба

x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также можно решать с помощью факторизации (обратный процесс которой — разложение , но для двух линейных членов иногда называют фольгированием ). Пример факторинга:

x^{2}+3x-10=0,

это то же самое, что

(x+5)(x-2)=0.

следует, Из свойства нулевого произведения что либо $x=2$ или $x=-5$ являются решениями, так как ровно один из сомножителей должен быть равен нулю . Все квадратные уравнения имеют два решения в комплексной системе счисления , но не обязательно имеют их в действительной системе счисления. Например,

x^{2}+1=0

не имеет решения в действительных числах, поскольку ни одно вещественное число в квадрате не равно -1. Иногда квадратное уравнение имеет корень кратности 2, например:

(x+1)^{2}=0.

Для этого уравнения -1 является корнем кратности 2. Это означает, что -1 появляется дважды, поскольку уравнение можно переписать в факторизованной форме как

[x-(-1)][x-(-1)]=0.

Комплексные числа [ править ]

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в комплексных числах (но они могут быть равны друг другу), категории, которая включает действительные числа , мнимые числа и суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают при обучении квадратным уравнениям и квадратным формулам. Например, квадратное уравнение

x^{2}+x+1=0

имеет решения

x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.

С ${\sqrt {-3}}$ не является действительным числом, оба эти решения для x являются комплексными числами.

Экспоненциальные и логарифмические уравнения [ править ]

Показательное уравнение – это уравнение, которое имеет вид $a^{x}=b$ для $a>0$ , ^[43] который имеет решение

X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}

когда $b>0$ . Элементарные алгебраические методы используются для переписывания данного уравнения указанным выше способом перед тем, как прийти к решению. Например, если

3\cdot 2^{x-1}+1=10

затем, вычитая 1 из обеих частей уравнения, а затем разделив обе части на 3, получаем

2^{x-1}=3

откуда

x-1=\log _{2}3

или

x=\log _{2}3+1.

Логарифмическое уравнение – это уравнение вида $log_{a}(x)=b$ для $a>0$ , которое имеет решение

X=a^{b}.

Например, если

4\log _{5}(x-3)-2=6

затем, добавив 2 к обеим частям уравнения, а затем разделив обе части на 4, мы получим

\log _{5}(x-3)=2

откуда

x-3=5^{2}=25

из чего мы получаем

x=28.

Радикальные уравнения [ править ]

{\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}

Радикальное уравнение, показывающее два способа представления одного и того же выражения. Тройная черта означает, что уравнение верно для всех значений x.

Радикальное уравнение — это уравнение, включающее знак корня, включающий квадратные корни , ${\sqrt {x}},$ кубические корни , ${\sqrt[{3}]{x}}$ , и n- ные корни , ${\sqrt[{n}]{x}}$ . Напомним, что корень n- й степени можно переписать в экспоненциальном формате, так что ${\sqrt[{n}]{x}}$ эквивалентно $x^{\frac {1}{n}}$ . В сочетании с обычными показателями (степеньями) тогда ${\sqrt[{2}]{x^{3}}}$ (квадратный корень из $куба x$ ), можно переписать как $x^{\frac {3}{2}}$ . ^[44] Таким образом, распространенная форма радикального уравнения имеет вид ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a$ (эквивалентно $x^{\frac {m}{n}}=a$ ), где $m$ и $n$ — целые числа . У него есть реальные решения:

$n$ нечетно	$n$ четное и $a\geq 0$	$n$ и $m$ четные и $a<0$	$n$ четное , $m$ нечетное и $a<0$
$x={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ эквивалентно $x=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}$	$x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ эквивалентно $x=\pm \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}$	$x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}$	нет настоящего решения

Например, если:

(x+5)^{2/3}=4

затем

{\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}

и поэтому

x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13

Система линейных уравнений [ править ]

Существуют различные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Метод устранения [ править ]

Пример решения системы линейных уравнений — методом исключения:

{\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}

Умножив члены второго уравнения на 2:

4x+2y=14

4x-2y=2.

Сложив два уравнения, получим:

8x=16

что упрощается до

x=2.

Поскольку тот факт, что $x=2$ известно, то можно сделать вывод, что $y=3$ любым из двух исходных уравнений (используя 2 вместо $x$ ). Тогда полное решение этой проблемы будет

{\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; $y$ можно было решить до $x$ .

Метод замены [ править ]

Другой способ решения той же системы линейных уравнений — путем замены.

{\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}

Эквивалент для $y$ можно получить, используя одно из двух уравнений. Используя второе уравнение:

2x-y=1

Вычитание $2x$ с каждой стороны уравнения:

{\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}

и умножив на −1:

y=2x-1.

Используя это $значение y$ в первом уравнении исходной системы:

{\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}

Добавляем по 2 в каждую сторону уравнения:

{\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}

что упрощается до

x=2

Используя это значение в одном из уравнений, получается то же решение, что и в предыдущем методе.

{\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; и в этом случае $y$ можно было решить до $x$ .

Другие типы систем линейных уравнений [ править ]

Несовместимые системы [ править ]

График квадратного уравнения (красный) и линейного уравнения (синий), которые не пересекаются и, следовательно, не имеют общего решения.

В приведенном выше примере решение существует. Однако существуют системы уравнений, не имеющие решения. Такая система называется несовместной . Очевидным примером является

{\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}

Поскольку 0≠2, второе уравнение системы не имеет решения. Следовательно, система не имеет решения. Однако не все противоречивые системы распознаются с первого взгляда. В качестве примера рассмотрим систему

{\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}

Умножив на 2 обе части второго уравнения и прибавив его к первому, получим

0x+0y=4\,,

которая явно не имеет решения.

Неопределенные системы [ править ]

Существуют также системы, которые имеют бесконечно много решений, в отличие от системы с единственным решением (то есть уникальной парой значений $x$ и $y$ ). Например:

{\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}

Изолирование $y$ во втором уравнении:

y=-2x+6

И используя это значение в первом уравнении системы:

{\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}

Равенство верно, но оно не дает значения $x$ . Действительно, можно легко проверить (просто заполнив некоторые значения $x$ ), что для любого $x$ существует решение, если $y=-2x+6$ . Существует бесконечное множество решений этой системы.

Пере- и недоопределенные системы [ править ]

Системы, в которых переменных больше, чем число линейных уравнений, называются недоопределенными . Такая система, если и имеет какие-либо решения, то не единственное, а их бесконечное множество. Примером такой системы является

{\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}

При попытке ее решения приходится выражать некоторые переменные как функции других, если какие-либо решения существуют, но он не может выразить все решения численно, поскольку их бесконечное количество, если таковые имеются.

Система, в которой число уравнений превышает число переменных, называется переопределенной . Если переопределенная система имеет решения, то некоторые уравнения обязательно являются линейными комбинациями других.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Леонард Эйлер , Элементы алгебры , 1770. Английский перевод Tarquin Press , 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , также оцифрованные онлайн-издания. ^[45] 2006, ^[46] 1822.
Чарльз Смит, Трактат по алгебре , в монографиях по исторической математике библиотеки Корнелльского университета .
Редден, Джон. Элементарная алгебра. Архивировано 10 июня 2016 г. в Wayback Machine . Знания о плоском мире, 2011 г.

^ Пирс, Р., Студенческая алгебра , Математика - это весело , по состоянию на 28 августа 2023 г.
^ HE Slaught и NJ Lennes, Элементарная алгебра , Publ. Аллин и Бэкон, 1915, стр. 1 (переиздано Forgotten Books)
^ Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с помощью геометрии: курс для студентов колледжей , Издательство: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 страницы, стр. 2
^ Перейти обратно: ^а ^б Лоуренс С. Лефф, Студенческая алгебра: Ключи к изучению Barron's Ez-101 , Издатель: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147 , 9780764129148, 230 страниц, стр. 2
^ «Алгебраическая операция | Энциклопедия.com» . www.энциклопедия.com . Проверено 27 августа 2020 г.
^ Уильям Смит, Элементарная алгебра: для школ и академий , издательство Бейли и Нойес, 1864, « Алгебраические операции »
^ Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержащая основы науки для школ и академий , Айвисон, Финни, Блейкман и компания, 1866, стр. 7
^ «Алгебраическая операция — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 27 августа 2020 г.
^ Ричард Н. Ауфманн, Джоан Локвуд, Вводная алгебра: прикладной подход , Издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042 , 9781439046043, стр. 78
^ Уильям Л. Хош (редактор), Британское руководство по алгебре и тригонометрии , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, стр. 71.
^ Джеймс Э. Джентл, Численная линейная алгебра для приложений в статистике , Издательство: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 страница, [Джеймс Э. Джентл, стр. 184]
^ Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержащая основы науки для школ и академий , Айвисон, Финни, Блейкман и компания, 1866, стр. 7
^ Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Брюс Х. Эдвардс, Алгебра и тригонометрия: графический подход , Издательство: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X , 9780618851959, 1114 страниц, стр. 6
^ Син Квай Мэн, Чип Вай Лунг, Нг Сон Бенг, «Алгебраическая запись», в учебнике Mathematics Matters Secondary 1 Express , Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827 , 9789812738820, стр. 68
^ Дэвид Алан Херцог, Научитесь визуально алгебре , Издательство John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 страницы, стр. 72
^ Джон К. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, стр. 31
^ Джером Э. Кауфманн, Карен Л. Швиттерс, Алгебра для студентов колледжей , Издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 страницы, стр. 222
^ Рамеш Бангиа, Словарь информационных технологий , издательство Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153 , 9789380298153, стр. 212
^ Джордж Гретцер, Первые шаги в LaTeX , издательство Springer, 1999, ISBN 0817641327 , 9780817641320, стр. 17
^ С. Такер Тафт, Роберт А. Дафф, Рэндалл Л. Брукардт, Эрхард Плёдередер, Паскаль Лерой, Справочное руководство Ada 2005 , том 4348 конспектов лекций по информатике, издательство Springer, 2007, ISBN 3540693351 , 9783540693352, стр. 13
^ К. Ксавьер, Фортран 77 и численные методы , издательство New Age International, 1994, ISBN 812240670X , 9788122406702, стр. 20
^ Рэндал Шварц, Брайан Фой, Том Феникс, Learning Perl , Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140 , 9781449313142, стр. 24
^ Мэтью А. Теллес, Сила Python!: Комплексное руководство , PTR для издателей, 2008, ISBN 1598631586 , 9781598631586, стр. 46
^ Кевин К. Бэрд, Рубин на примере: концепции и код , Издательство No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484 , 9781593271480, стр. 72.
^ Уильям П. Берлингхофф, Фернандо К. Гувеа, Математика на протяжении веков: нежная история для учителей и других , Издательство MAA, 2004, ISBN 0883857367 , 9780883857366, стр. 75
^ Томас Зоннабенд, Математика для учителей: интерактивный подход для классов K-8 , Издательство: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665 , 9780495561668, 759 страниц, страница xvii
^ Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с помощью геометрии: курс для студентов колледжей , Издательство: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 страницы, стр. 48
^ Рон Ларсон, Кимберли Нолтинг, Элементарная алгебра , Издательство: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275 , 9780547102276, 622 страницы, стр. 210
^ Чарльз П. МакКиг, Элементарная алгебра , Издательство: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217 , 9780840064219, 571 страница, стр. 49
^ Эндрю Маркс, Сокращённая алгебра I: быстрый и простой способ улучшить свои знания по алгебре I и результаты тестов , Издательство Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880 , 9781419552885, 288 страниц, стр. 51
^ Марк Кларк, Синтия Анфинсон, Начало алгебры: соединение концепций через приложения , Издательство Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380 , 9780534419387, 793 страницы, стр. 134
^ Алан С. Тусси, Р. Дэвид Густафсон, Элементарная и промежуточная алгебра , Издательство Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689 , 9781111567682, 1163 страницы, стр. 493
^ Дуглас Даунинг, Легкий путь к алгебре , образовательная серия издателя Бэррона, 2003, ISBN 0764119729 , 9780764119729, 392 страницы, стр. 20
^ Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Промежуточная алгебра , издательство Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524 , 9780618753529, 857 страниц, стр. 96
^ «Как называется следующее свойство неравенства?» . Обмен стеками . 29 ноября 2014 года . Проверено 4 мая 2018 г.
^ Крис Картер, Физика: факты и практика для уровня , Издательство Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X , 9780199147687, 144 страницы, стр. 50
^ Славин, Стив (1989). Вся математика, которая вам когда-либо понадобится . Джон Уайли и сыновья . п. 72 . ISBN 0-471-50636-2 .
^ Синха, Руководство Pearson по количественным оценкам для CAT 2 / e Издатель: Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723666 , 9788131723661, 599 страниц, стр. 195
^ Синтия Ю. Янг , Precalculus , John Wiley & Sons Publishers, 2010, ISBN 0471756849 , 9780471756842, 1175 страниц, 699 стр.
^ Мэри Джейн Стерлинг, Алгебра II для чайников , Издательство: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819 , 9780471775812, 384 страницы, стр. 37
^ Джон Т. Ирвин, От тайны к разгадке: По, Борхес и аналитический детектив , Издательство JHU Press, 1996, ISBN 0801854660 , 9780801854668, 512 страниц, стр. 372
^ Шарма/Хаттар, Руководство Pearson по объективной математике для вступительных экзаменов по инженерным специальностям, 3/E , Издательство Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631 , 9788131723630, 1248 страниц, 621 страница.
^ Авен Чу, Руководство по пересмотру дополнительной математики LMAN OL 3 , Pearson Education Publishers, Южная Азия, 2007, ISBN 9810600011 , 9789810600013, стр. 105
^ Джон К. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, страница 525
↑ Элементы алгебры Эйлера. Архивировано 13 апреля 2011 г. в Wayback Machine.
^ Эйлер, Леонард; Хьюлетт, Джон; Хорнер, Фрэнсис; Бернулли, Жан; Лагранж, Жозеф Луи (4 мая 2018 г.). «Элементы алгебры» . Лонгман, Орм . Проверено 4 мая 2018 г. - через Google Книги.

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с элементарной алгеброй, на Викискладе?

[1] Пирс, Р., Студенческая алгебра , Математика - это весело , по состоянию на 28 августа 2023 г.

[2] HE Slaught и NJ Lennes, Элементарная алгебра , Publ. Аллин и Бэкон, 1915, стр. 1 (переиздано Forgotten Books)

[3] Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с помощью геометрии: курс для студентов колледжей , Издательство: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 страницы, стр. 2

[leff-4] Перейти обратно: ^а ^б Лоуренс С. Лефф, Студенческая алгебра: Ключи к изучению Barron's Ez-101 , Издатель: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147 , 9780764129148, 230 страниц, стр. 2

[5] «Алгебраическая операция | Энциклопедия.com» . www.энциклопедия.com . Проверено 27 августа 2020 г.

[6] Уильям Смит, Элементарная алгебра: для школ и академий , издательство Бейли и Нойес, 1864, « Алгебраические операции »

[7] Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержащая основы науки для школ и академий , Айвисон, Финни, Блейкман и компания, 1866, стр. 7

[8] «Алгебраическая операция — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 27 августа 2020 г.

[9] Ричард Н. Ауфманн, Джоан Локвуд, Вводная алгебра: прикладной подход , Издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042 , 9781439046043, стр. 78

[10] Уильям Л. Хош (редактор), Британское руководство по алгебре и тригонометрии , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, стр. 71.

[11] Джеймс Э. Джентл, Численная линейная алгебра для приложений в статистике , Издательство: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 страница, [Джеймс Э. Джентл, стр. 184]

[12] Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержащая основы науки для школ и академий , Айвисон, Финни, Блейкман и компания, 1866, стр. 7

[13] Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Брюс Х. Эдвардс, Алгебра и тригонометрия: графический подход , Издательство: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X , 9780618851959, 1114 страниц, стр. 6

[14] Син Квай Мэн, Чип Вай Лунг, Нг Сон Бенг, «Алгебраическая запись», в учебнике Mathematics Matters Secondary 1 Express , Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827 , 9789812738820, стр. 68

[15] Дэвид Алан Херцог, Научитесь визуально алгебре , Издательство John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 страницы, стр. 72

[16] Джон К. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, стр. 31

[17] Джером Э. Кауфманн, Карен Л. Швиттерс, Алгебра для студентов колледжей , Издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 страницы, стр. 222

[18] Рамеш Бангиа, Словарь информационных технологий , издательство Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153 , 9789380298153, стр. 212

[19] Джордж Гретцер, Первые шаги в LaTeX , издательство Springer, 1999, ISBN 0817641327 , 9780817641320, стр. 17

[20] С. Такер Тафт, Роберт А. Дафф, Рэндалл Л. Брукардт, Эрхард Плёдередер, Паскаль Лерой, Справочное руководство Ada 2005 , том 4348 конспектов лекций по информатике, издательство Springer, 2007, ISBN 3540693351 , 9783540693352, стр. 13

[21] К. Ксавьер, Фортран 77 и численные методы , издательство New Age International, 1994, ISBN 812240670X , 9788122406702, стр. 20

[22] Рэндал Шварц, Брайан Фой, Том Феникс, Learning Perl , Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140 , 9781449313142, стр. 24

[23] Мэтью А. Теллес, Сила Python!: Комплексное руководство , PTR для издателей, 2008, ISBN 1598631586 , 9781598631586, стр. 46

[24] Кевин К. Бэрд, Рубин на примере: концепции и код , Издательство No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484 , 9781593271480, стр. 72.

[25] Уильям П. Берлингхофф, Фернандо К. Гувеа, Математика на протяжении веков: нежная история для учителей и других , Издательство MAA, 2004, ISBN 0883857367 , 9780883857366, стр. 75

[26] Томас Зоннабенд, Математика для учителей: интерактивный подход для классов K-8 , Издательство: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665 , 9780495561668, 759 страниц, страница xvii

[27] Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с помощью геометрии: курс для студентов колледжей , Издательство: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 страницы, стр. 48

[28] Рон Ларсон, Кимберли Нолтинг, Элементарная алгебра , Издательство: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275 , 9780547102276, 622 страницы, стр. 210

[29] Чарльз П. МакКиг, Элементарная алгебра , Издательство: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217 , 9780840064219, 571 страница, стр. 49

[30] Эндрю Маркс, Сокращённая алгебра I: быстрый и простой способ улучшить свои знания по алгебре I и результаты тестов , Издательство Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880 , 9781419552885, 288 страниц, стр. 51

[31] Марк Кларк, Синтия Анфинсон, Начало алгебры: соединение концепций через приложения , Издательство Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380 , 9780534419387, 793 страницы, стр. 134

[32] Алан С. Тусси, Р. Дэвид Густафсон, Элементарная и промежуточная алгебра , Издательство Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689 , 9781111567682, 1163 страницы, стр. 493

[33] Дуглас Даунинг, Легкий путь к алгебре , образовательная серия издателя Бэррона, 2003, ISBN 0764119729 , 9780764119729, 392 страницы, стр. 20

[34] Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Промежуточная алгебра , издательство Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524 , 9780618753529, 857 страниц, стр. 96

[35] «Как называется следующее свойство неравенства?» . Обмен стеками . 29 ноября 2014 года . Проверено 4 мая 2018 г.

[36] Крис Картер, Физика: факты и практика для уровня , Издательство Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X , 9780199147687, 144 страницы, стр. 50

[37] Славин, Стив (1989). Вся математика, которая вам когда-либо понадобится . Джон Уайли и сыновья . п. 72 . ISBN 0-471-50636-2 .

[38] Синха, Руководство Pearson по количественным оценкам для CAT 2 / e Издатель: Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723666 , 9788131723661, 599 страниц, стр. 195

[39] Синтия Ю. Янг , Precalculus , John Wiley & Sons Publishers, 2010, ISBN 0471756849 , 9780471756842, 1175 страниц, 699 стр.

[40] Мэри Джейн Стерлинг, Алгебра II для чайников , Издательство: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819 , 9780471775812, 384 страницы, стр. 37

[41] Джон Т. Ирвин, От тайны к разгадке: По, Борхес и аналитический детектив , Издательство JHU Press, 1996, ISBN 0801854660 , 9780801854668, 512 страниц, стр. 372

[42] Шарма/Хаттар, Руководство Pearson по объективной математике для вступительных экзаменов по инженерным специальностям, 3/E , Издательство Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631 , 9788131723630, 1248 страниц, 621 страница.

[43] Авен Чу, Руководство по пересмотру дополнительной математики LMAN OL 3 , Pearson Education Publishers, Южная Азия, 2007, ISBN 9810600011 , 9789810600013, стр. 105

[44] Джон К. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, страница 525

[45] Элементы алгебры Эйлера. Архивировано 13 апреля 2011 г. в Wayback Machine.

[46] Эйлер, Леонард; Хьюлетт, Джон; Хорнер, Фрэнсис; Бернулли, Жан; Лагранж, Жозеф Луи (4 мая 2018 г.). «Элементы алгебры» . Лонгман, Орм . Проверено 4 мая 2018 г. - через Google Книги.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

v т Это Алгебра
Outline History
Areas	Abstract algebra Algebraic geometry Algebraic number theory Category theory Commutative algebra Elementary algebra Homological algebra K-theory Linear algebra Multilinear algebra Noncommutative algebra Order theory Representation theory Universal algebra
Basic concepts	Algebraic expression Equation (Linear equation, Quadratic equation) Function (Polynomial function) Inequality (Linear inequality) Operation (Addition, Multiplication) Relation (Equivalence relation) Variable
Algebraic structures	Field (theory) Group (theory) Module (theory) Ring (theory) Vector space (Vector)
Linear and multilinear algebra	Basis Determinant Eigenvalues and eigenvectors Inner product space (Dot product) Hilbert space Linear map (Matrix) Linear subspace (Affine space) Norm (Euclidean norm) Orthogonality (Orthogonal complement) Rank Trace
Algebraic constructions	Composition algebra Exterior algebra Free object (Free group, ...) Geometric algebra (Multivector) Polynomial ring (Polynomial) Quotient object (Quotient group, ...) Symmetric algebra Tensor algebra
Topic lists	Algebraic structures
Glossaries	Field theory Linear algebra Order theory Ring theory
Category

v т Это Основные математики области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject