Свойство нулевого продукта

Чтобы узнать о произведении нулевых коэффициентов, см. пустой продукт .

В алгебре свойство нулевого произведения утверждает, что произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Другими словами, ${\text{if }}ab=0,{\text{ then }}a=0{\text{ or }}b=0.$

Это свойство также известно как правило нулевого произведения , закон нулевого фактора , свойство умножения нуля , отсутствие нетривиальных делителей нуля или одно из двух свойств нулевого фактора . Все системы счисления , изучаемые в элементарной математике , — целые числа. $\mathbb {Z}$, рациональные числа $\mathbb {Q}$, реальные цифры $\mathbb {R}$, и комплексные числа $\mathbb {C}$ — удовлетворять свойству нулевого произведения. В общем, кольцо , которое удовлетворяет свойству нулевого произведения, называется областью .

контекст

Предполагать $A$ является алгебраической структурой. Мы могли бы спросить, действительно ли $A$ обладают свойством нулевого произведения? Чтобы этот вопрос имел смысл, $A$ должна иметь как аддитивную, так и мультипликативную структуру. Обычно полагают, что $A$ — это кольцо , хотя это может быть что-то другое, например, набор неотрицательных целых чисел $\{0,1,2,\ldots \}$ с обычным сложением и умножением, которое представляет собой лишь (коммутативное) полукольцо .

Обратите внимание, что если $A$ удовлетворяет свойству нулевого произведения, и если $B$ является подмножеством $A$, затем $B$ также удовлетворяет свойству нулевого произведения: если $a$ и $b$ являются элементами $B$ такой, что $ab=0$, то либо $a=0$ или $b=0$ потому что $a$ и $b$ также можно рассматривать как элементы $A$.

Примеры

• Кольцо, в котором выполняется свойство нулевого произведения, называется областью . область Коммутативная с мультипликативным единичным элементом называется областью целостности . Любое поле является целостной областью; Фактически, любое подкольцо поля является областью целостности (пока оно содержит 1). Аналогично любое подкольцо тела определения является областью . Таким образом, свойство нулевого произведения справедливо для любого подкольца тела.
• Если $p$ — простое число , то кольцо целых чисел по модулю $p$ имеет свойство нулевого произведения (фактически это поле).
• Гауссовы целые числа представляют собой область целостности , поскольку они являются подкольцом комплексных чисел.
• В строго теле кватернионов . сохраняется свойство нулевого произведения Это кольцо не является областью целостности, поскольку умножение некоммутативно.
• Набор неотрицательных целых чисел $\{0,1,2,\ldots \}$ не является кольцом (вместо этого являясь полукольцом ), но оно удовлетворяет свойству нулевого произведения.

Непримеры

• Позволять $\mathbb {Z} _{n}$ обозначим кольцо целых чисел по модулю $n$. Затем $\mathbb {Z} _{6}$ не удовлетворяет свойству нулевого произведения: 2 и 3 — ненулевые элементы, но $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$.
• В общем, если $n$ является составным числом , то $\mathbb {Z} _{n}$ не удовлетворяет свойству нулевого произведения. А именно, если $n=qm$ где $0<q,m<n$, затем $m$ и $q$ являются ненулевым модулем $n$, еще $qm\equiv 0{\pmod {n}}$.
• Кольцо $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$ 2×2 матриц с целочисленными элементами не удовлетворяет свойству нулевого произведения: если
  $$M={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$$
  и $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ затем
  $$MN={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}=0,$$
  но ни то, ни другое $M$ ни $N$ равен нулю.
• Кольцо всех функций $f:[0,1]\to \mathbb {R}$, от единичного интервала до действительных чисел , имеет нетривиальные делители нуля: существуют пары функций, которые не тождественно равны нулю, но произведение которых является нулевой функцией. В самом деле, нетрудно для любого n ≥ 2 построить функции $f_{1},\ldots ,f_{n}$, ни один из которых не равен тождественному нулю, такой, что $f_{i}\,f_{j}$ тождественно равен нулю всякий раз, когда $i\neq j$.
• То же самое верно, даже если мы рассматриваем только непрерывные функции или даже только бесконечно гладкие функции . С другой стороны, аналитические функции обладают свойством нулевого произведения.

Приложение для поиска корней многочленов

Предполагать $P$ и $Q$ являются одномерными полиномами с действительными коэффициентами и $x$ действительное число такое, что $P(x)Q(x)=0$. (На самом деле, мы можем допустить, чтобы коэффициенты и $x$ происходить из любой области целостности.) Из свойства нулевого произведения следует, что либо $P(x)=0$ или $Q(x)=0$. Другими словами, корни $PQ$ именно являются корнями $P$ вместе с корнями $Q$.

Таким образом, можно использовать факторизацию для нахождения корней многочлена. Например, полином $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ факторизуется как $(x-3)(x-1)(x+2)$; следовательно, его корни равны ровно 3, 1 и −2.

В общем, предположим $R$ является целостной областью и $f$ представляет собой унитарный одномерный многочлен степени $d\geq 1$ с коэффициентами в $R$. Предположим также, что $f$ имеет $d$ отдельные корни $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$. Отсюда следует (но мы здесь не доказываем), что $f$ факторизуется как $f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d})$. Из свойства нулевого произведения следует, что $r_{1},\ldots ,r_{d}$ являются единственными корнями $f$: любой корень $f$ должен быть корнем $(x-r_{i})$ для некоторых $i$. В частности, $f$ имеет не более $d$ отдельные корни.

Если однако $R$ не является областью целостности, то вывод не обязательно верен. Например, кубический полином $x^{3}+3x^{2}+2x$ имеет шесть корней $\mathbb {Z} _{6}$ (хотя оно имеет только три корня в $\mathbb {Z}$).

См. также

• Основная теорема алгебры
• Интегральный домен и домен
• Главный идеал
• Делитель нуля

Ссылки

• Дэвид С. Даммит и Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра (3-е изд.), Wiley, 2003, ISBN   0-471-43334-9 .

Внешние ссылки

• PlanetMath: правило нулевого продукта