Пустой продукт

Чтобы узнать о непустом продукте, равном нулю, см. свойство нулевого продукта .

В математике , пустой продукт или нулевой продукт , или пустой продукт , является результатом умножения каких-либо факторов . По соглашению оно равно мультипликативному тождеству (при условии, что для рассматриваемой операции умножения есть тождество), точно так же, как пустая сумма — результат без сложения чисел — по соглашению равна нулю или аддитивному тождеству. Когда подразумеваются числа, пустой продукт становится единицей.

Термин «пустой продукт» чаще всего используется в указанном выше смысле при обсуждении арифметических операций. Однако этот термин иногда используется при обсуждении теоретико-множественных пересечений, категориальных продуктов и продуктов компьютерного программирования .

Нулевое арифметическое произведение

Определение

Пусть a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... — последовательность чисел, и пусть

$P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}$

быть произведением первых m элементов последовательности. Затем

$P_{m}=P_{m-1}a_{m}$

для всех m = 1, 2, ... при условии, что мы используем соглашение $P_{0}=1$. Другими словами, «продукт» без каких-либо факторов оценивается как 1. Разрешение «произведения» с нулевыми коэффициентами уменьшает количество случаев, которые необходимо учитывать во многих математических формулах . Такой «продукт» является естественной отправной точкой в ​​индукционных доказательствах , а также в алгоритмах . По этим причинам соглашение «пустой продукт равен единице» является обычной практикой в ​​математике и компьютерном программировании.

Актуальность определения пустых продуктов

Идея пустого произведения полезна по той же причине, по которой полезно число ноль и пустое множество : хотя они кажутся совершенно неинтересными понятиями, их существование позволяет гораздо короче математическое представление многих предметов.

Например, пустые товары 0! = 1 ( факториал нуля) и x ⁰ = 1 сокращает обозначение ряда Тейлора ( = 0 см. в разделе « ноль в нулевой степени» обсуждение случая x ). Аналогично, если M — матрица размера n × n , то M ⁰ — n × n единичная матрица размера , отражающая тот факт, что применение линейной карты нулевое значение имеет тот же эффект, что и применение единичной карты .

Другой пример: фундаментальная теорема арифметики гласит, что каждое положительное целое число больше 1 можно однозначно записать как произведение простых чисел. Однако если мы не допустим произведения только с 0 или 1 множителем, то теорема (и ее доказательство) станут длиннее.

Дополнительные примеры использования пустого произведения в математике можно найти в биномиальной теореме (которая предполагает и подразумевает, что x ⁰ = 1 для всех x ), число Стирлинга , теорема Кенига , биномиальный тип , биномиальный ряд , разностный оператор и символ Похгаммера .

Логарифмы и экспоненты

Поскольку логарифмы отображают произведения в суммы:

$\ln \prod _{i}x_{i}=\sum _{i}\ln x_{i}$

они отображают пустой продукт в пустую сумму .

И наоборот, показательная функция отображает суммы в произведения:

$e^{\sum _{i}x_{i}}=\prod _{i}e^{x_{i}}$

и сопоставляет пустую сумму с пустым произведением.

декартово

Рассмотрим общее определение декартова произведения :

$\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.$

Если I пуст, единственной такой g является пустая функция $f_{\varnothing }$, которое является уникальным подмножеством $\varnothing \times \varnothing$ это функция $\varnothing \to \varnothing$, а именно пустое подмножество $\varnothing$ (единственное подмножество, которое $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$ имеет):

$\prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.$

Таким образом, мощность декартова произведения без множеств равна 1.

Согласно, возможно, более знакомой интерпретации n - кортежей ,

$\prod _{\varnothing }{}=\{()\},$

то есть одноэлементный набор, содержащий пустой кортеж . Обратите внимание, что в обоих представлениях мощность пустого продукта равна 1 — количество всех способов произвести 0 выходов из 0 входов равно 1.

Нулевой категориальный продукт

В любой категории продукт конечным пустого семейства является объектом этой категории. Это можно продемонстрировать, используя определение предела продукта. -кратное категориальное n произведение можно определить как предел по отношению к диаграмме , заданной дискретной категорией с n объектами. Пустой продукт тогда задается пределом относительно пустой категории, которая является конечным объектом категории, если она существует. Это определение специализируется на получении результатов, указанных выше. Например, в категории множеств категориальным продуктом является обычное декартово произведение, а конечным объектом является одноэлементное множество. В категории групп категориальным произведением является декартово произведение групп, а терминальным объектом является тривиальная группа с одним элементом. Чтобы получить обычное арифметическое определение пустого произведения, мы должны провести декатегорификацию пустого произведения в категорию конечных множеств.

Двойственно , копроизведение пустого семейства является исходным объектом . Нулевые категориальные продукты или сопутствующие продукты могут не существовать в данной категории; например, в категории полей ни того, ни другого не существует.

В логике

Классическая логика определяет операцию конъюнкции , которая обобщается на универсальную квантификацию в исчислении предикатов и широко известна как логическое умножение, поскольку мы интуитивно идентифицируем истину с 1 и ложь с 0, и наша конъюнкция ведет себя как обычный множитель. Умножители могут иметь произвольное количество входов. В случае 0 входов мы имеем пустое соединение , которое тождественно равно true.

Это связано с другой концепцией логики, «пустой истиной» , которая говорит нам, что пустой набор объектов может иметь любое свойство. Это можно объяснить тем, что союз (как часть логики в целом) имеет дело со значениями, меньшими или равными 1. Это означает, что чем длиннее союз, тем выше вероятность получить 0. Союз просто проверяет предложения и возвращает результат. 0 (или ложь), как только одно из предложений оказывается ложным. Уменьшение количества связанных предложений увеличивает вероятность пройти проверку и остаться с 1. В частности, если есть 0 тестов или членов для проверки, ни один из них не может потерпеть неудачу, поэтому по умолчанию мы всегда должны добиться успеха независимо от того, какие предложения или свойства члена должны были быть проверены. быть протестирован.

В компьютерном программировании

Многие языки программирования, такие как Python , допускают прямое выражение списков чисел и даже функций, допускающих произвольное количество параметров. Если в таком языке есть функция, возвращающая произведение всех чисел в списке, обычно она работает следующим образом:

>>>  математика  .   prod  ([  2  ,   3  ,   5  ]) 
 30 
 >>>  math  .   prod  ([  2  ,   3  ]) 
 6 
 >>>  math  .   prod  ([  2  ]) 
 2 
 >>>  математика  .   продукт  ([]) 
 1 

(Пожалуйста, обрати внимание: prod не доступен в math модуль до версии 3.8.)

Это соглашение помогает избежать необходимости кодирования особых случаев, таких как «если длина списка равна 1» или «если длина списка равна нулю».

Умножение — это инфиксный оператор и, следовательно, бинарный оператор, усложняющий запись пустого произведения. Некоторые языки программирования решают эту проблему, реализуя вариативные функции . Например, префиксная запись в скобках в языках Лиспа порождает естественную запись для нулевых функций:

(* 2 2 2) ;  оценивается в 8
 (* 2 2) ;  оценивается в 4
 (* 2) ;  оценивается в 2
 (*) ;  оценивается в 1
 

См. также

• Итерированная бинарная операция
• Пустая функция

Внешние ссылки

• Статья PlanetMath о пустом продукте