Дискретная категория
В математике , в области теории категорий , дискретная категория — это категория, единственными морфизмами которой являются тождественные морфизмы :
- hom C ( X , X ) = {id X } для всех объектов X
- hom C ( X , Y ) = ∅ для всех объектов X ≠ Y
Поскольку по аксиомам всегда существует тождественный морфизм между одним и тем же объектом, мы можем выразить вышесказанное как условие мощности hom-множества.
- | hom C ( Икс , Y ) | равен 1, когда X = Y когда X не равен Y. , и 0 ,
Некоторые авторы предпочитают более слабое понятие, согласно которому дискретная категория просто должна быть эквивалентна такой категории.
Простые факты [ править ]
Любой класс объектов определяет дискретную категорию, если дополнить его картами идентичности.
Любая подкатегория дискретной категории является дискретной. Кроме того, категория является дискретной тогда и только тогда, когда все ее подкатегории полны .
Предел произведением любого функтора из дискретной категории в другую категорию называется , а копредел — копроизведением . Так, например, дискретная категория, содержащая всего два объекта, может использоваться как диаграмма или диагональный функтор для определения произведения или копродукции двух объектов. Альтернативно, для общей категории C и дискретной категории 2 можно рассмотреть категорию функтора C 2 . Диаграммы 2 в этой категории представляют собой пары объектов, а предел диаграммы — произведение.
Функтор , из Set в Cat который отправляет набор в соответствующую дискретную категорию, остается присоединенным слева к функтору, отправляющему небольшую категорию в свой набор объектов. (Что касается правого сопряженного, см. Недискретную категорию .)
Ссылки [ править ]
- Роберт Голдблатт (1984). Топои, Категориальный анализ логики (Очерки по логике и основам математики, 98). Северная Голландия. Перепечатано в 2006 году издательством Dover Publications и доступно в Интернете на домашней странице Роберта Голдблатта .