Категория групп

В математике категория Grp Gp или ( ^[1]) имеет класс всех групп объектов и групповых морфизмов гомоморфизмов . По существу, это конкретная категория . Исследование этой категории известно как теория групп .

Связь с другими категориями [ править ]

Есть два функтора забывания из Grp , M: Grp → Mon из групп в моноиды и U: Grp → Set из групп в множества . M имеет два сопряженных : один правый, I: Mon → Grp , и один левый, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp — это функтор, отправляющий каждый моноид в подмоноид обратимых элементов, а K: Mon → Grp — функтор, отправляющий каждый моноид в группу Гротендика этого моноида. Функтор забывания U: Grp → Set имеет левый сопряженный, заданный составным KF: Set → Mon → Grp , где F — свободный функтор ; этот функтор присваивает каждому множеству S свободную группу на S.

Категориальные свойства [ править ]

Мономорфизмы сюръективные в Grp — это в точности инъективные гомоморфизмы, эпиморфизмы — это в точности гомоморфизмы , а изоморфизмы — это в точности биективные гомоморфизмы.

Категория Grp является одновременно полной и сополной . Теоретико -категорный продукт в Grp — это просто прямой продукт групп, тогда как теоретико-категорный копродукт в Grp — это свободный продукт групп. Нулевые объекты в Grp — это тривиальные группы (состоящие только из единичного элемента).

Каждый морфизм f : G → H в Grp имеет теоретико-категорное ядро (задаваемое обычным ядром алгебры ker f = { x in G | f ( x ) = e }), а также теоретико-категорное коядро (задаваемое формулой фактор группа - H путем нормального замыкания f H ( G ) в ) . В отличие от абелевых категорий, неверно, что каждый мономорфизм в Grp является ядром своего коядра.

Не аддитивен и, следовательно абелев не ,

Категория абелевых групп Ab является подкатегорией Grp . полной Ab — абелева категория , а Grp — нет. Действительно, Grp даже не является аддитивной категорией , поскольку не существует естественного способа определить «сумму» двух групповых гомоморфизмов. в следующем. Множество морфизмов симметрической группы S3 _{Доказательство этого состоит} третьего порядка в себя, $E=\operatorname {Hom} (S_{3},S_{3})$ , имеет десять элементов: элемент z , произведение которого по обе стороны с каждым элементом E равно z (гомоморфизм, приводящий каждый элемент к тождеству), три элемента такие, что их произведение на одной фиксированной стороне всегда является самим собой (проекции на три подгруппы второго порядка) и шесть автоморфизмов. Если бы Grp была аддитивной категорией, то это множество E из десяти элементов было бы кольцом . В любом кольце нулевой элемент выделяется тем свойством, что 0 x = x 0=0 для всех x в кольце, и поэтому z должен быть нулем E . не существует двух ненулевых элементов, Однако в E произведение которых равно z , поэтому это конечное кольцо не будет иметь делителей нуля . Конечное кольцо без делителей нуля является полем по малой теореме Веддерберна , но не существует поля с десятью элементами, потому что каждое конечное поле имеет своим порядком степень простого числа.

Точные последовательности [ править ]

Понятие точной последовательности имеет смысл в Grp , и некоторые результаты теории абелевых категорий, такие как девятая лемма , пятая лемма и их следствия, справедливы и в Grp . Однако лемма о змее неверна в Grp . ^{[ сомнительно – обсудить ]}^{[ нужна ссылка ]}

Grp — обычная категория .

Ссылки [ править ]

^ Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Спрингер. п. 20. ISBN 1-4020-1961-0 .

Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-45026-1 . Проверено 25 ноября 2009 г.

[1] Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Спрингер. п. 20. ISBN 1-4020-1961-0 .

[1]