Кокернел
![]() | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( февраль 2013 г. ) |
Коядро отображения линейного - векторных пространств f : X → Y — это пространство Y im( f ) кодобласти f фактор f по образу / . Размерность коядра корангом f . называется
Коядра двойственны ядрам теории категорий , отсюда и название: ядро — это подобъект домена (оно отображается в домен), тогда как коядро — это фактор-объект кодомена (оно отображается из кодомена).
Интуитивно, учитывая уравнение f ( x ) = y , которое нужно решить, коядро измеряет ограничения , которым y должно удовлетворять, чтобы это уравнение имело решение (препятствия на пути к решению), в то время как ядро измеряет степени свободы в решение, если оно существует. Это развито интуитивно , ниже.
В более общем смысле, коядро морфизма f : X → Y в некоторой категории (например, гомоморфизм между группами или ограниченный линейный оператор между гильбертовыми пространствами ) — это объект Q и морфизм q : Y → Q такие, что композиция qf является нулевой морфизм категории, причем относительно этого q универсален свойства. отображение q Часто понимают , а само Q называют коядром f .
Во многих ситуациях в абстрактной алгебре например, для групп , векторных пространств или модулей , коядро гомоморфизма f : X → Y является фактором Y абелевых по образу f . , В топологических условиях, например, с ограниченными линейными операторами между гильбертовыми пространствами, перед переходом к фактору обычно приходится замыкать изображение .
Формальное определение [ править ]
Коядро можно определить в общих рамках теории категорий . Чтобы определение имело смысл, рассматриваемая категория должна иметь нулевые морфизмы . Коядро . морфизма морфизма f : X → Y определяется коэквалайзер f → нулевого 0 XY : X Y и как
В явном виде это означает следующее. Коядро f : X → Y — это объект Q вместе с морфизмом q : Y → Q таким, что диаграмма
ездит на работу . Более того, морфизм q должен быть универсальным для этой диаграммы, т.е. любой другой такой q ′ : Y → Q ′ можно получить, составив q с единственным морфизмом u : Q → Q ′ :
Как и во всех универсальных конструкциях, коядро, если оно существует, уникально с точностью до единственного изоморфизма , или, точнее: если q : Y → Q и q ′ : Y → Q ′ являются двумя коядрами f : X → Y , то существует единственный изоморфизм u : Q → Q ′ с q' = u q .
Как и все коэквалайзеры, коядро q : Y → Q обязательно является эпиморфизмом . И наоборот, эпиморфизм называется нормальным (или конормальным ), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной , если каждый эпиморфизм нормален (например, категория групп конормальна).
Примеры [ править ]
В категории групп коядром гомоморфизма f : G → H является фактор H . по нормальному замыканию образа f группового В случае абелевых групп , поскольку каждая подгруппа нормальна, коядро — это просто H по модулю образа f :
Особые случаи [ править ]
В преаддитивной категории имеет смысл добавлять и вычитать морфизмы. В такой категории коэквалайзер двух морфизмов f и g (если он существует) является всего лишь коядром их разности:
В абелевой категории (специальный вид предаддитивной категории) образ и кообраз морфизма f задаются формулой
В частности, каждая абелева категория нормальна (а также конормальна). То есть каждый мономорфизм m можно записать как ядро некоторого морфизма. В частности, m — это ядро собственного коядра:
Интуиция [ править ]
Коядро можно рассматривать как пространство ограничений , которым должно удовлетворять уравнение, как пространство препятствий , точно так же, как ядро — это пространство решений.
Формально ядро и коядро отображения T : V → W можно связать точной последовательностью
Их можно интерпретировать следующим образом: учитывая линейное уравнение T ( v ) = w , которое нужно решить,
- ядро — это пространство решений однородного , если они уравнения T ( v ) = 0 , а его размерность — число степеней свободы решений T ( v ) = w существуют;
- коядро — это пространство ограничений на w , которые должны быть удовлетворены, чтобы уравнение имело решение, а его размерность — это количество независимых ограничений, которые должны быть удовлетворены, чтобы уравнение имело решение.
Размерность коядра плюс размерность изображения (ранг) в сумме дают размерность целевого пространства, поскольку размерность факторпространства W / T ( V ) — это просто размерность пространства минус размерность изображение.
В качестве простого примера рассмотрим отображение T : R 2 → Р 2 , заданный формулой Т ( Икс , y ) знак равно (0, y ) . Тогда для того, чтобы уравнение T ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решения равно ( x , b ) или, что то же самое, ( 0, b ) + ( x , 0) , (одна степень свободы). Ядро можно выразить как подпространство ( x , 0) ⊆ V : значение x — это свобода решения. Коядро может быть выражено через действительнозначное отображение W : ( a , b ) → ( a ) : для данного вектора ( a , b ) значение a является препятствием для существования решения.
Кроме того, коядро можно рассматривать как нечто, что «обнаруживает» сюръективы точно так же, как ядро «обнаруживает» инъекции . Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро тривиально, а отображение сюръективно тогда и только тогда, когда его коядро тривиально, или, другими словами, если W = im( T ) .
Ссылки [ править ]
- Сондерс Мак Лейн : Категории для работающего математика , второе издание, 1978, стр. 64
- Эмили Риль : Теория категорий в контексте , Aurora Modern Math Originals , 2014, с. 82, с. 139 сноска 8.