Подобъект

В теории категорий , разделе математики , подобъект — это, грубо говоря, объект , который находится внутри другого объекта той же категории . Это понятие является обобщением таких понятий, как подмножества из теории множеств , подгруппы из теории групп , ^[1] и подпространства из топологии . Поскольку подробная структура объектов не имеет значения в теории категорий, определение подобъекта опирается на морфизм , который описывает, как один объект находится внутри другого, а не на использование элементов.

Двойственная концепция подобъекта – это факторный объект . Это обобщает такие понятия, как фактормножества , факторгруппы , факторпространства , факторграфы и т. д.

Определения [ править ]

Соответствующее категориальное определение «субобъекта» может варьироваться в зависимости от контекста и цели. Одно из распространенных определений заключается в следующем.

Подробно, пусть $A$ быть объектом некоторой категории. Учитывая два мономорфизма

u:S\to A\ {\text{and}}\ v:T\to A

с кодоменом $A$ , мы определяем отношение эквивалентности как $u\equiv v$ если существует изоморфизм $\phi :S\to T$ с $u=v\circ \phi$ .

Эквивалентно пишем $u\leq v$ если $u$ факторы через $v$ - то есть, если существует $\phi :S\to T$ такой, что $u=v\circ \phi$ . Бинарное отношение $\equiv$ определяется

u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{and}}\ v\leq u

является отношением эквивалентности на мономорфизмах с кодобластью $A$ , а соответствующие классы эквивалентности этих мономорфизмов подобъектами являются $A$ .

Отношение ≤ индуцирует частичный порядок в совокупности подобъектов $A$ .

Коллекция подобъектов объекта на самом деле может быть собственным классом ; это означает, что данное обсуждение несколько расплывчато. Если коллекция подобъектов каждого объекта представляет собой множество , категория называется полнофункциональной или, реже, локально малой (это противоречит другому использованию термина локально малый , а именно, что между любыми двумя объектами существует набор морфизмов). ).

Чтобы получить двойственное понятие факторобъекта , замените «мономорфизм» на « эпиморфизм » выше и поменяйте местами стрелки. Тогда фактор-объект A является классом эквивалентности эпиморфизмов с областью определения A.

Однако в некоторых контекстах эти определения неадекватны, поскольку они не согласуются с устоявшимися представлениями о субобъекте или фактор-объекте. В категории топологических пространств мономорфизмы — это в точности инъективные непрерывные функции; но не все инъективные непрерывные функции являются вложениями в подпространства. В категории колец включение $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ является эпиморфизмом, но не является фактором $\mathbb {Z}$ двусторонним идеалом. Чтобы получить карты, которые действительно ведут себя как вложения или факторы подобъектов, а не как произвольные инъективные функции или карты с плотным образом, необходимо ограничиться мономорфизмами и эпиморфизмами, удовлетворяющими дополнительным гипотезам. Следовательно, можно определить «подобъект» как класс эквивалентности так называемых «регулярных мономорфизмов» (мономорфизмов, которые могут быть выражены как эквалайзер двух морфизмов), а «фактор-объект» как любой класс эквивалентности «регулярных эпиморфизмов». " (морфизмы, которые можно выразить как коэквалайзер двух морфизмов)

Интерпретация [ править ]

Это определение соответствует обычному пониманию подобъекта вне теории категорий. Когда объекты категории являются множествами (возможно, с дополнительной структурой, такой как групповая структура), а морфизмы являются функциями множества (сохраняющими дополнительную структуру), мономорфизм рассматривается с точки зрения его образа. Класс эквивалентности мономорфизмов определяется образом каждого мономорфизма в классе; то есть два мономорфизма f и g в объект T эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы являются одним и тем же подмножеством (таким образом, подобъектом) T . В этом случае имеет место изоморфизм $g^{-1}\circ f$ своих областей, при которых соответствующие элементы областей отображаются посредством f и g соответственно в один и тот же элемент T ; это объясняет определение эквивалентности.

Примеры [ править ]

В Set , категории множеств , подобъект A соответствует подмножеству B из A совокупности всех карт из множеств, равносильных B , с изображением точно B. , или, скорее , Частичный порядок подобъектов множества в Set его подмножеств — это просто решетка .

В Grp , групп подобъекты A соответствуют подгруппам A. категории ,

Учитывая частично упорядоченный класс P = ( P , ≤ ), мы можем сформировать категорию с элементами P в качестве объектов и одной стрелкой от p к q тогда и только тогда, когда p ≤ q . Если P имеет наибольший элемент, частичный порядок подобъекта этого наибольшего элемента будет P. самим Частично это связано с тем, что все стрелки в такой категории будут мономорфизмами.

Подобъект терминального объекта называется субтерминальным объектом .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Мак Лейн, с. 126

Ссылки [ править ]

Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике , том. 5 (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8 , Збл 0906.18001
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7 . Збл 1034.18001 .

[Mac_Lane-1] Мак Лейн, с. 126

[1]