подчастное

В математических областях теории категорий абстрактной алгебры подфактор и является объектом подобъекта фактор - . Подчастные особенно важны в абелевых категориях и в теории групп , где они также известны как секции , хотя это противоречит другому значению в теории категорий.

Итак, в алгебраической структуре групп $H$ является подчастным $G$ если существует подгруппа $G'$ из $G$ и нормальная подгруппа $G''$ из $G'$ так что $H$ изоморфен ​ ​ $G'/G''$.

В литературе о спорадических группах встречаются такие формулировки, как « $H$ участвует в $G$“ можно найти с очевидным значением „ $H$ является подчастным $G$“.

Как и в контексте подгрупп, в контексте подчастных термин тривиальный может использоваться для двух подчастных. $G$ и $\{1\}$ которые присутствуют в каждой группе $G$.

Фактор подпредставления представления (скажем, группы) можно назвать подчастным представлением; е. например, теорема Хариш-Чандры о субчастном.

Пример

Существуют подфакторы групп, которые не являются ни подгруппой, ни ее фактором. Например, согласно статье «Спорадическая группа» , Fi ₂₂ имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi ₂₃ , поэтому является подгруппой Fi _23, но не является ее подгруппой или фактором.

Отношение порядка

отношения Подчастное является отношением порядка , которое будет обозначаться $\preceq$. Это будет доказано для групп.

Обозначения

Для группы $G$, подгруппа $G'$ из $G$ $(\Leftrightarrow :G'\leq G)$ и нормальная подгруппа $G''$ из $G'$ $(\Leftrightarrow :G''\vartriangleleft G')$ факторгруппа ​ $H:=G'/G''$ является подчастным $G$, я. И. $H\preceq G$.

1. Рефлексивность : $G\preceq G$, я. е. каждый элемент связан сам с собой. Действительно, $G$ изоморфен подфактору $G/\{1\}$ из $G$.
2. Антисимметрия : если $G\preceq H$ и $H\preceq G$ затем $G\cong H$, я. е. никакие два отдельных элемента не предшествуют друг другу. Действительно, сравнение групповых порядков $G$ и $H$ затем дает $|G|=|H|$ откуда $G\cong H$.
3. Транзитивность : если $H'/H''\preceq H$ и $H\preceq G$ затем $H'/H''\preceq G$.

Доказательство транзитивности групп

Позволять $H'/H''$ быть частью $H$, более того $H:=G'/G''$ быть частью $G$ и $\varphi \colon G'\to H$ — канонический гомоморфизм . Потом все вертикально( $\downarrow$) карты $\varphi \colon X\to Y,\;x\mapsto x\,G''$

		$G''$	$\leq$	$\varphi ^{-1}(H'')$	$\leq$	$\varphi ^{-1}(H')$	$\vartriangleleft$	$G'$
	$\varphi \!:$	${\Big \downarrow }$		${\Big \downarrow }$		${\Big \downarrow }$		${\Big \downarrow }$
		$\{1\}$	$\leq$	$H''$	$\vartriangleleft$	$H'$	$\vartriangleleft$	$H$

сюръективны для соответствующих пар

$(X,Y)\;\;\;\in$

${\Bigl \{}{\bigl (}G'',\{1\}{\bigr )}{\Bigr .}$

$,$

${\bigl (}\varphi ^{-1}(H''),H''{\bigr )}$

$,$

${\bigl (}\varphi ^{-1}(H'),H'{\bigr )}$

$,$

${\Bigl .}{\bigl (}G',H{\bigr )}{\Bigr \}}.$

Прообразы ​ $\varphi ^{-1}\left(H'\right)$ и $\varphi ^{-1}\left(H''\right)$ обе подгруппы $G'$ содержащий $G'',$ и это $\varphi \left(\varphi ^{-1}\left(H'\right)\right)=H'$ и $\varphi \left(\varphi ^{-1}\left(H''\right)\right)=H'',$ потому что каждый $h\in H$ имеет прообраз $g\in G'$ с $\varphi (g)=h.$ Более того, подгруппа $\varphi ^{-1}\left(H''\right)$ это нормально в $\varphi ^{-1}\left(H'\right).$

Как следствие, подчастное $H'/H''$ из $H$ является подчастным $G$ в форме $H'/H''\cong \varphi ^{-1}\left(H'\right)/\varphi ^{-1}\left(H''\right).$

Отношение к кардинальному порядку

В конструктивной теории множеств , где закон исключенного третьего не обязательно выполняется, можно рассматривать отношение подчастное как замену обычного отношения (ий) порядка на кардиналах . Если действует закон исключенного третьего, то подчастное $Y$ из $X$ либо пустое множество , либо существует функция on $X\to Y$. Это отношение порядка традиционно обозначается $\leq ^{\ast }.$Если дополнительно выполняется аксиома выбора , то $Y$ имеет функцию «один к одному» для $X$ и это отношение порядка является обычным $\leq$ о соответствующих кардиналах.

См. также

• Гомологическая алгебра
• подсчетный