Категоризация

В математике категорификация — это процесс замены теоретико-множественных теорем теоретико -категорными аналогами. При успешной категоризации множества заменяются категориями . , функции — функторами , а уравнения — естественными изоморфизмами функторов, удовлетворяющих дополнительным свойствам Этот термин был придуман Луисом Крэйном .

Обратной категоризации является процесс декатегорификации . Декатегорификация — это систематический процесс, посредством которого изоморфные объекты в категории идентифицируются как равные . В то время как декатегоризация представляет собой простой процесс, категоризация обычно гораздо менее проста. В теории представлений алгебр Ли над конкретными алгебрами модули являются основными объектами изучения, и существует несколько рамок того, какой должна быть категоризация такого модуля, например, так называемые (слабые) абелевы категоризации.

Категорификация и декатегорификация — это не точные математические процедуры, а скорее класс возможных аналогов. Они используются аналогично таким словам, как « обобщение », а не как « связывание ».

Примеры

Одна из форм категоризации использует структуру, описываемую в терминах множеств, и интерпретирует множества как классы изоморфизма объектов в категории. Например, множество натуральных чисел можно рассматривать как множество мощностей конечных множеств (и любые два множества с одинаковой мощностью изоморфны). В этом случае операции над множеством натуральных чисел, такие как сложение и умножение, можно рассматривать как несущие информацию о копроизведениях и произведениях категории конечных множеств . Менее абстрактно, идея здесь заключается в том, что на первом месте стоит манипулирование наборами реальных объектов и получение побочных продуктов (объединение двух наборов в союз) или продуктов (построение массивов вещей для отслеживания большого их количества). Позже конкретная структура множеств была абстрагирована - взята «только с точностью до изоморфизма», чтобы создать абстрактную теорию арифметики. Это «декатегорификация» — категоризация отменяет этот шаг.

Другие примеры включают теории гомологии в топологии . Эмми Нётер дала современную формулировку гомологии как ранга некоторых свободных абелевых групп, классифицировав понятие числа Бетти . См. также гомологии Хованова как инвариант узла в теории узлов .

Примером в теории конечных групп является то, что кольцо симметрических функций классифицируется по категории представлений симметрической группы . Карта декатегоризации отправляет модуль Specht , проиндексированный по разделам. $\lambda$ к функции Шура, индексированной тем же разделом,

$S^{\lambda }{\stackrel {\varphi }{\to }}s_{\lambda },$

по сути, следуя карте характеров из любимого базиса ассоциированной группы Гротендика в теоретико-представленный любимый базис кольца симметричных функций . Эта карта отражает сходство структур; например

$\left[\operatorname {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })\right]\qquad {\text{ and }}\qquad s_{\mu }s_{\nu }$

имеют одинаковые числа разложения по соответствующим основаниям, оба задаются коэффициентами Литтлвуда-Ричардсона .

Абелевы категории

Для категории ${\mathcal {B}}$, позволять $K({\mathcal {B}})$ быть Гротендика группой ${\mathcal {B}}$.

Позволять $A$ — кольцо , свободное как абелева группа , и пусть $\mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}$ быть основой $A$ такое, что умножение положительно $\mathbf {a}$, то есть

$a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},$ с $c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}.$

Позволять $B$ быть $A$- модуль . Тогда (слабая) абелева категоризация $(A,\mathbf {a} ,B)$ состоит из абелевой категории ${\mathcal {B}}$, изоморфизм $\phi :K({\mathcal {B}})\to B$и точные эндофункторы $F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}$ такой, что

1. функтор $F_{i}$ усиливает действие $a_{i}$ на модуле $B$, то есть $\phi [F_{i}]=a_{i}\phi$, и
2. существуют изоморфизмы $F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},$, то есть композиция $F_{i}F_{j}$ разлагается в прямую сумму функторов $F_{k}$ точно так же, как продукт $a_{i}a_{j}$ разлагается как линейная комбинация базисных элементов $a_{k}$.

См. также

• Комбинаторное доказательство — процесс замены теоретико-числовых теорем теоретико-множественными аналогами.
• Теория высших категорий
• Многомерная алгебра
• Категориальное кольцо

Ссылки

• Баэз, Джон ; Долан, Джеймс (1998), «Категорификация», в Гетцлере, Эзра; Капранов, Михаил (ред.), Теория высших категорий , Contemp. Матем., вып. 230, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 1–36, arXiv : math.QA/9802029.
• Крейн, Луи; Йеттер, Дэвид Н. (1998), «Примеры категоризации» , Cahiers de Topologie et Géométrie Differentielle Catégoriques , 39 (1): 3–25.
• Мазорчук, Владимир (2010), Лекции по алгебраической категоризации , Серия мастер-классов QGM, Европейское математическое общество, arXiv : 1011.0144 , Bibcode : 2010arXiv1011.0144M
• Сэвидж, Алистер (2014), Введение в категоризацию , arXiv : 1401.6037 , Bibcode : 2014arXiv1401.6037S
• Хованов Михаил ; Мазорчук Владимир; Строппель, Катарина (2009), «Краткий обзор абелевых категорий», Theory Appl. Катег. , 22 (19): 479–508, arXiv : math.RT/0702746

Дальнейшее чтение

• Сообщение в блоге одного из вышеупомянутых авторов (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html .