класс Шура
В комплексном анализе — класс Шура это множество голоморфных функций. определено на открытом диске модуля и удовлетворение которые решают проблему Шура: учитывая комплексные числа , найдите функцию
которое является аналитическим и ограничено единицей на единичном круге. [1] Метод решения этой проблемы, а также подобных проблем (например, решение систем Теплица и интерполяция Неванлинны-Пика ) известен как алгоритм Шура (также называемый удалением коэффициентов или удалением слоев ). Одним из наиболее важных свойств алгоритма является то, что он генерирует n + 1 ортогональных полиномов , которые можно использовать в качестве ортонормированных базисных функций для расширения любого полинома n -го порядка. [2] Он тесно связан с алгоритмом Левинсона, хотя алгоритм Шура численно более стабилен и лучше подходит для параллельной обработки. [3]
Функция Шура [ править ]
Рассмотрим функцию Каратеодори единственной вероятностной меры на единичном круге данный
где подразумевает . [4] Тогда ассоциация
устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями Каратеодори и функциями Шура дается обратной формулой:
Алгоритм Шура [ править ]
Алгоритм Шура представляет собой итеративную конструкцию, основанную на преобразованиях Мёбиуса , которая отображает одну функцию Шура в другую. [4] [5] Алгоритм определяет бесконечную последовательность функций Шура. и параметры Шура (также называемый коэффициентом Верблунского или коэффициентом отражения ) посредством рекурсии: [6]
который останавливается, если . Можно обратить преобразование как
или, что то же самое, как непрерывную дробь разложение функции Шура в
неоднократно используя тот факт, что
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Шур, Дж. (1918), «О степенных рядах, ограниченных внутри единичного круга. I, II», Журнал чистой и прикладной математики , Теория операторов: достижения и приложения, 147 : 205–232, Методы И. Шура. в теории операторов и обработке сигналов в: Теория операторов: достижения и приложения, том. 18, Биркхойзер, Базель, 1986 (английский перевод), номер документа : 10.1007/978-3-0348-5483-2 , ISBN 978-3-0348-5484-9
- ^ Чунг, Джин-Гюн; Пархи, Кешаб К. (1996). Конвейерные решетчатые и волновые цифровые рекурсивные фильтры . Международная серия Kluwer по инженерным наукам и информатике. Бостон, Массачусетс: Springer US. п. 79. дои : 10.1007/978-1-4613-1307-6 . ISBN 978-1-4612-8560-1 . ISSN 0893-3405 .
- ^ Хейс, Монсон Х. (1996). Статистическая цифровая обработка и моделирование сигналов . Джон Уайли и сын. п. 242. ИСБН 978-0-471-59431-4 . OCLC 34243409 .
- ^ Перейти обратно: а б Саймон, Барри (2005), Ортогональные полиномы на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 54, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3446-6 , МР 2105088
- ^ Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I (Выпускные тексты по математике 11) . Спрингер-Верлаг. п. 127. ИСБН 978-0-387-90328-6 .
- ^ Саймон, Барри (2010), теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория для возмущений L² ортогональных многочленов , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14704-8