класс Шура

В комплексном анализе — класс Шура это множество голоморфных функций. $f(z)$ определено на открытом диске модуля $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ и удовлетворение $|f(z)|\leq 1$ которые решают проблему Шура: учитывая комплексные числа $c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n}$, найдите функцию

$f(z)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}z^{j}+\sum _{j=n+1}^{n}f_{j}z^{j}$

которое является аналитическим и ограничено единицей на единичном круге. Метод решения этой проблемы, а также подобных проблем (например, решение систем Теплица и интерполяция Неванлинны-Пика ) известен как алгоритм Шура (также называемый удалением коэффициентов или удалением слоев ). Одним из наиболее важных свойств алгоритма является то, что он генерирует n + 1 ортогональных полиномов , которые можно использовать в качестве ортонормированных базисных функций для расширения любого полинома n -го порядка. Он тесно связан с алгоритмом Левинсона, хотя алгоритм Шура численно более стабилен и лучше подходит для параллельной обработки.

Функция Шура

Рассмотрим функцию Каратеодори единственной вероятностной меры $d\mu$ на единичном круге $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ данный

$F(z)=\int {\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}d\mu (\theta )$

где $\int d\mu (\theta )=1$ подразумевает $F(0)=1$. Тогда ассоциация

$F(z)={\frac {1+zf(z)}{1-zf(z)}}$

устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями Каратеодори и функциями Шура $f(z)$ дается обратной формулой:

$f(z)=z^{-1}\left({\frac {F(z)-1}{F(z)+1}}\right)$

Алгоритм Шура

Алгоритм Шура представляет собой итеративную конструкцию, основанную на преобразованиях Мёбиуса , которая отображает одну функцию Шура в другую. Алгоритм определяет бесконечную последовательность функций Шура. $f\equiv f_{0},f_{1},\dotsc ,f_{n},\dotsc$ и параметры Шура $\gamma _{0},\gamma _{1},\dotsc ,\gamma _{n},\dotsc$ (также называемый коэффициентом Верблунского или коэффициентом отражения ) посредством рекурсии:

$f_{j+1}={\frac {1}{z}}{\frac {f_{j}(z)-\gamma _{j}}{1-{\overline {\gamma _{j}}}f_{j}(z)}},\quad f_{j}(0)\equiv \gamma _{j}\in \mathbb {D} ,$

который останавливается, если $f_{j}(z)\equiv e^{i\theta }=\gamma _{j}\in \mathbb {T}$. Можно обратить преобразование как

$f(z)\equiv f_{0}(z)={\frac {\gamma _{0}+zf_{1}(z)}{1+{\overline {\gamma _{0}}}zf_{1}(z)}}$

или, что то же самое, как непрерывную дробь разложение функции Шура в

$f_{0}(z)=\gamma _{0}+{\frac {1-|\gamma _{0}|^{2}}{{\overline {\gamma _{0}}}+{\frac {1}{z\gamma _{1}+{\frac {z(1-|\gamma _{1}|^{2})}{{\overline {\gamma _{1}}}+{\frac {1}{z\gamma _{2}+\cdots }}}}}}}}$

неоднократно используя тот факт, что

$f_{j}(z)=\gamma _{j}+{\frac {1-|\gamma _{j}|^{2}}{{\overline {\gamma _{j}}}+{\frac {1}{zf_{j+1}(z)}}}}.$

См. также

• Ортогональные многочлены на единичной окружности
• Закрепление полинома