Ортогональные многочлены на единичной окружности

В математике ортогональные многочлены на единичной окружности — это семейства полиномов, ортогональных относительно интегрирования по единичной окружности в комплексной плоскости для некоторой вероятностной меры на единичной окружности. Их представил Сегё ( 1920 , 1921 , 1939 ).

Определение

Позволять $\mu$ быть вероятностной мерой на единичном круге $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ и предположим $\mu$ нетривиален, т. е. его носителем является бесконечное множество. Комбинацией Радон-Никодим и теоремы о разложении Лебега , любая такая мера может быть однозначноразложен на

$d\mu =w(\theta ){\frac {d\theta }{2\pi }}+d\mu _{s}$,

где $d\mu _{s}$ является сингулярным по отношению к $d\theta /2\pi$ и $w\in L^{1}(\mathbb {T} )$ с $wd\theta /2\pi$ абсолютно непрерывная часть $d\mu$.

Ортогональные полиномы, связанные с $\mu$ определяются как

$\Phi _{n}(z)=z^{n}+{\text{lower order}}$,

такой, что

$\int {\bar {z}}^{j}\Phi _{n}(z)\,d\mu (z)=0,\quad j=0,1,\dots ,n-1$.

Рецидив Сегё

Монические ортогональные полиномы Сеге удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

$\Phi _{n+1}(z)=z\Phi _{n}(z)-{\overline {\alpha }}_{n}\Phi _{n}^{*}(z)$

$\Phi _{n+1}^{\ast }(z)=\Phi _{n}^{\ast }(z)-\alpha _{n}z\Phi _{n}(z)$

для $n\geq 0$ и начальное состояние $\Phi _{0}=1$, с

$\Phi _{n}^{*}(z)=z^{n}{\overline {\Phi _{n}(1/{\overline {z}})}}$

и константы $\alpha _{n}$ на открытом диске модуля $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ данный

$\alpha _{n}=-{\overline {\Phi _{n+1}(0)}}$

называемые коэффициентами Верблунского . Более того,

$\|\Phi _{n+1}\|^{2}=\prod _{j=0}^{n}(1-|\alpha _{j}|^{2})=(1-|\alpha _{n}|^{2})\|\Phi _{n}\|^{2}$.

Теорема Геронимуса утверждает, что коэффициенты Верблунского, связанные с $d\mu$ параметры Шура :

$\alpha _{n}(d\mu )=\gamma _{n}$

Теорема Верблунского

Верблунского утверждает, что для любой последовательности чисел Теорема $\{\alpha _{j}^{(0)}\}_{j=0}^{\infty }$ в $\mathbb {D}$ существует единственная нетривиальная вероятностная мера $\mu$ на $\mathbb {T}$ с $\alpha _{j}(d\mu )=\alpha _{j}^{(0)}$.

Теорема Бакстера

Теорема Бакстера утверждает, что коэффициенты Верблунского образуют абсолютно сходящийся ряд тогда и только тогда, когда моменты $\mu$ образуют абсолютно сходящийся ряд и весовую функцию $w$ везде строго положителен.

Теорема Сегё

Для любой нетривиальной вероятностной меры $d\mu$ на $\mathbb {T}$ Верблунского , форма теоремы Сегё утверждает, что

$\prod _{n=0}^{\infty }(1-|\alpha _{n}|^{2})=\exp {\big (}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta {\big )}.$

Левая часть не зависит от $d\mu _{s}$ но в отличие от оригинальной версии Сегё, где $d\mu =d\mu _{ac}$, форма Верблунского позволяет $d\mu _{s}\neq 0$. Впоследствии

$\sum _{n=0}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}<\infty \;\iff \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta >-\infty$.

Одним из следствий является существование смешанного спектра дискретизированных операторов Шредингера.

Rakhmanov's theorem

Теорема Рахманова утверждает, что если абсолютно непрерывная часть $w$ меры $\mu$ положительна почти всюду, то коэффициенты Верблунского $\alpha _{n}$ стремятся к 0.

Примеры

Полиномы Роджерса – Сеге являются примером ортогональных полиномов на единичной окружности.

См. также

• Проблема тригонометрических моментов
• класс Шура

Ссылки

• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы на единичной окружности» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Шмюдген, Конрад (2017). Проблема момента . Тексты для аспирантов по математике. Том. 277. Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-319-64546-9 . ISBN  978-3-319-64545-2 . ISSN   0072-5285 .
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3446-6 . МР   2105088 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 2. Спектральная теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3675-0 . МР   2105089 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
• Саймон, Барри (2010). Теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория L² возмущений ортогональных многочленов . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14704-8 .
• Сегё, Габор (1920), «Вклад в теорию теплицевых форм» , Mathematical Journal , 6 (3–4): 167–202, doi : 10.1007/BF01199955 , ISSN   0025-5874 , S2CID   118147030
• Сегё, Габор (1921), «Вклад в теорию теплицевых форм» , Mathematical Journal , 9 (3–4): 167–190, doi : 10.1007/BF01279027 , ISSN   0025-5874 , S2CID   125157848
• Сегё, Габор (1939), Ортогональные полиномы , Публикации коллоквиума, том. XXIII, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1023-1 , МР   0372517
• Тотик, В. (2016). «Барри Саймон и Международная математическая премия Яноша Бойяи» (PDF) . Acta Mathematica Hungarica . 149 (2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 263–273. дои : 10.1007/s10474-016-0618-x . ISSN   0236-5294 . S2CID   254236846 .