Теорема Лебега о разложении

В математике , точнее в теории меры , теорема Лебега о разложении утверждает, что для каждых двух σ-конечных знаковых мер $\mu$ и $\nu$ на измеримом пространстве $(\Omega ,\Sigma ),$ существуют две σ-конечные знаковые меры $\nu _{0}$ и $\nu _{1}$ такой, что:

• $\nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,$
• $\nu _{0}\ll \mu$ (то есть, $\nu _{0}$ непрерывен абсолютно относительно $\mu$)
• $\nu _{1}\perp \mu$ (то есть, $\nu _{1}$ и $\mu$ являются единичными ).

Эти две меры однозначно определяются $\mu$ и $\nu .$

Уточнение

Теорему Лебега о разложении можно уточнить разными способами.

разложение регулярной борелевской меры на вещественную прямую : Во-первых, можно уточнить

$\,\nu =\nu _{\mathrm {cont} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _{\mathrm {pp} }$

где

• νcont _— абсолютно непрерывная часть
• νsing _​​— особая непрерывная часть
• ν _pp — чисто точечная часть ( дискретная мера ).

Во-вторых, абсолютно непрерывные меры классифицируются по теореме Радона–Никодима , а дискретные меры легко понять. Следовательно (не считая сингулярных непрерывных мер), разложение Лебега дает очень явное описание мер. Мера Кантора ( вероятностная мера на действительной прямой, которой кумулятивной функцией распределения является функция Кантора ) является примером сингулярной непрерывной меры.

Связанные понятия

Разложение Леви – Ито

Основная статья: разложение Леви – Ито

Аналогичный Разложением случайных процессов является разложение Леви – Ито : учитывая процесс Леви X, его можно разложить как сумму трех независимых процессов Леви. $X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}$ где:

• $X^{(1)}$ – броуновское движение со сносом, соответствующее абсолютно непрерывной части;
• $X^{(2)}$ — составной пуассоновский процесс , соответствующий чистой точечной части;
• $X^{(3)}$ представляет собой интегрируемый с квадратом чистого скачка мартингал , который почти наверняка имеет счетное число скачков на конечном интервале, соответствующем сингулярной непрерывной части.

См. также

• Разложение спектра
• Теорема Хана о разложении и соответствующая теорема Жордана о разложении

Ссылки

• Халмош, Пол Р. (1974) [1950], Теория меры , Тексты для аспирантов по математике , том. 18, Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90088-9 , МР   0033869 , Збл   0283.28001
• Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ. Современная трактовка теории функций действительной переменной , Тексты для аспирантов по математике, том. 25, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90138-1 , МР   0188387 , Збл   0137.03202
• Рудин, Уолтер (1974), Реальный и комплексный анализ , Серия McGraw-Hill по высшей математике (2-е изд.), Нью-Йорк, Дюссельдорф, Йоханнесбург: McGraw-Hill Book Comp., ISBN  0-07-054233-3 , МР   0344043 , Збл   0278.26001

Эта статья включает в себя материал из теоремы о разложении Лебега на платформе PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .