σ-конечная мера

В математике положительная (или знаковая ) мера µ, определенная на σ -алгебре Σ подмножеств множества X , называется конечной мерой, если µ ( X ) является конечным вещественным числом (а не ∞). Множество A в Σ имеет конечную меру, если µ ( A ) < ∞ . Мера µ называется σ-конечной, если X — счетное объединение измеримых множеств, каждое из которых имеет конечную меру. Говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ -конечную меру , если оно представляет собой счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. То, что мера является σ-конечной, является более слабым условием, чем то, что она конечная, т. е. все конечные меры являются σ-конечными, но существует (многие) σ-конечные меры, которые не являются конечными.

Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с σ-конечностью, — это s-конечность .

Определение

Позволять $(X,{\mathcal {A}})$ быть измеримым пространством и $\mu$ мера по этому поводу .

Мера $\mu$ называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев:

1. набор $X$ может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ с $\mu \left(A_{n}\right)<\infty$ для всех $n\in \mathbb {N}$ которые удовлетворяют $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X$.
2. набор $X$ может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых непересекающихся множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества $B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ с $\mu \left(B_{n}\right)<\infty$ для всех $n\in \mathbb {N}$ и $B_{i}\cap B_{j}=\varnothing$ для $i\neq j$ которые удовлетворяют $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X$.
3. набор $X$ может быть покрыта монотонной последовательностью измеримых множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества $C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ с $C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots$ и $\mu \left(C_{n}\right)<\infty$ для всех $n\in \mathbb {N}$ которые удовлетворяют $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X$.
4. существует строго положительная измеримая функция $f$ интеграл которого конечен. Это означает, что $f(x)>0$ для всех $x\in X$ и $\int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty$.

Если $\mu$ это $\sigma$-конечная мера, пространство меры $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ называется $\sigma$-конечная мера пространства .

Примеры

Мера Лебега

Например, мера Лебега действительных чисел не конечна, но σ-конечна. Действительно, рассмотрим интервалы [ k , k + 1) для всех целых k ; Таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение есть вся вещественная прямая.

Счётная мера

В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа с счетной мерой ; мерой любого конечного множества является количество элементов в множестве, а мерой любого бесконечного множества является бесконечность. Эта мера не является σ -конечной, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит лишь конечное число точек, и для покрытия всей вещественной прямой потребовалось бы несчетное число таких множеств. Но набор натуральных чисел $\mathbb {N}$ с считающей мерой является σ -конечной.

Локально компактные группы

Локально компактные группы , σ-компактные , σ-конечны относительно меры Хаара . Например, все связные локально компактные группы G σ-компактны. Чтобы убедиться в этом, пусть V — относительно компактный, симметричный (т. е. V = V ⁻¹ ) открытая окрестность единицы. Затем

$H=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V^{n}$

является открытой подгруппой G . Следовательно, H также замкнуто, поскольку его дополнение представляет собой объединение открытых множеств и по связности G должно быть G. самим Таким образом, все связные группы Ли σ-конечны по мере Хаара.

Непримеры

Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и $\infty$ явно не является σ-конечным. Один пример в $\mathbb {R}$ это: для всех $A\subset \mathbb {R}$, $\mu (A)=\infty$ тогда и только тогда, когда A не пусто; еще один: для всех $A\subset \mathbb {R}$, $\mu (A)=\infty$ тогда и только тогда, когда A несчетно, в противном случае 0. Между прочим, оба они трансляционно-инвариантны.

Свойства

Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить с сепарабельностью топологических пространств. Некоторые теоремы анализа требуют σ-конечности в качестве гипотезы. Обычно и теорема Радона–Никодима , и теорема Фубини формулируются в предположении σ-конечности рассматриваемых мер. Однако, как показано в статье Сигала «Эквивалентности пространств с мерой» ( Am. J. Math. 73, 275 (1953)) они требуют только более слабого условия, а именно локализуемости .

Хотя меры, не являющиеся σ -конечными, иногда считаются патологическими, на самом деле они возникают вполне естественно. Например, если X — метрическое пространство хаусдорфовой размерности r меньшей размерности , то все хаусдорфовы меры не являются σ-конечными, если рассматривать их как меры X. на

Эквивалентность вероятностной мере

Любая σ-конечная мера µ на ​​пространстве X эквивалентна N на вероятностной мере X : пусть V _n , n ∈ N , — покрытие X попарно непересекающимися измеримыми множествами конечной µ -меры, и пусть w _n , n ∈ N , — последовательность положительных чисел (весов) такая, что

$\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.$

Мера ν, определенная формулой

$\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}$

тогда является вероятностной мерой на X с точно такими же нулевыми множествами, что и µ .

Связанные понятия

Умеренные меры

Борелевская мера (в смысле локально конечной меры на борелевской $\sigma$-алгебра ) $\mu$ называется умеренной мерой тогда и только тогда, когда существует не более чем счетное число открытых множеств. $A_{1},A_{2},\ldots$ с $\mu \left(A_{i}\right)<\infty$ для всех $i$ и $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=X$.

Всякая умеренная мера есть $\sigma$-конечная мера, обратное неверно.

Разложимые меры

Мера называется разложимой мерой, существуют непересекающиеся измеримые множества. $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ с $\mu \left(A_{i}\right)<\infty$ для всех $i\in I$ и $\bigcup _{i\in I}A_{i}=X$. Для разложимых мер нет ограничений на количество измеримых множеств с конечной мерой.

Каждый $\sigma$-конечная мера — разложимая мера, обратное неверно.

s-конечные меры

Мера $\mu$ называется s-конечной мерой, если она представляет собой сумму не более чем счетного числа конечных мер .

Любая σ-конечная мера s-конечна, обратное неверно. Доказательство и контрпример см. в разделе s-конечная мера#Отношение к σ-конечным мерам .

См. также

• Конечная мера
• Сигма-аддитивность