Сигма-аддитивная функция множества

В математике аддитивная функция множества — это функция, отображающая множества в числа, обладающая тем свойством, что ее значение в объединении двух непересекающихся множеств равно сумме ее значений в этих множествах, а именно: ${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$ Если это свойство аддитивности справедливо для любых двух множеств, то оно справедливо и для любого конечного числа множеств, а именно: значение функции на объединении k непересекающихся множеств (где k — конечное число) равно сумме ее значений на множествах . Поэтому аддитивную функцию множества также называют конечно-аддитивной функцией множества (эти термины эквивалентны). Однако конечно-аддитивная функция множества может не обладать свойством аддитивности для объединения бесконечного числа множеств. σ -аддитивная функция множества — это функция, обладающая свойством аддитивности даже для счетного числа множеств, т. е. ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

Аддитивность и сигма-аддитивность являются особенно важными свойствами мер . Они представляют собой абстракции того, как интуитивные свойства размера ( длины , площади , объема ) суммируются при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность — более слабое условие, чем σ-аддитивность; то есть σ-аддитивность подразумевает аддитивность.

Термин «модульная функция множества» эквивалентен аддитивной функции множества; см. модульность ниже.

Аддитивные (или конечно-аддитивные

Позволять $\mu$ быть функцией множества, определенной на алгебре множеств $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ со значениями в $[-\infty ,\infty ]$ (см. расширенную строку действительных чисел ). Функция $\mu$ называется добавка или конечно аддитивно , если когда угодно $A$ и $B$ являются непересекающимися множествами в $\scriptstyle {\mathcal {A}},$ затем

$$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$$

Следствием этого является то, что аддитивная функция не может принимать одновременно $-\infty$ и $+\infty$ в качестве значений для выражения $\infty -\infty$ является неопределенным.

можно доказать С помощью математической индукции , что аддитивная функция удовлетворяет условию

$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)$$

для любого $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}$ непересекающиеся наборы ${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

σ-аддитивные функции множества

Предположим, что $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ является σ-алгеброй . Если для каждой последовательности $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots$ попарно непересекающихся множеств в $\scriptstyle {\mathcal {A}},$

$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),$$

тогда держится $\mu$ называется счетно-аддитивным или 𝜎-аддитивным . Каждая 𝜎-аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, как показано ниже.

τ-аддитивные функции множества

Предположим, что помимо сигма-алгебры ${\textstyle {\mathcal {A}},}$ у нас есть топология $\tau .$ Если для каждого направленного семейства измеримых открытых множеств ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$

$$\mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),$$

мы говорим это $\mu$ является $\tau$-добавка. В частности, если $\mu$ ( внутренне регулярен относительно компактов), то он τ-аддитивен.

Свойства

Полезные свойства аддитивной функции множества $\mu$ включить следующее.

Значение пустого набора

Или $\mu (\varnothing )=0,$ или $\mu$ назначает $\infty$ ко всем множествам в своей области, или $\mu$ назначает $-\infty$ ко всем множествам в своей области. Доказательство : из аддитивности следует, что для любого множества $A,$ $\mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).$ Если $\mu (\varnothing )\neq 0,$ тогда это равенство может быть удовлетворено только плюс-минус бесконечностью.

Монотонность

Если $\mu$ неотрицательен и $A\subseteq B$ затем $\mu (A)\leq \mu (B).$ То есть, $\mu$ это монотонная функция множества . Аналогично, если $\mu$ является неположительным и $A\subseteq B$ затем $\mu (A)\geq \mu (B).$

Модульность

См. Также: Оценка (геометрия)

См. Также: Оценка (теория меры)

Установленная функция $\mu$ о семействе наборов ${\mathcal {S}}$ называется функция модульного набора и оценка, если когда-либо $A,$ $B,$ $A\cup B,$ и $A\cap B$ являются элементами ${\mathcal {S}},$ затем

$$\phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)$$

Вышеупомянутое свойство называется модульность , и приведенный ниже аргумент доказывает, что аддитивность подразумевает модульность.

Данный $A$ и $B,$ $\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).$ Доказательство : напишите $A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)$ и $B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)$ и $A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),$ где все множества в объединении не пересекаются. Аддитивность подразумевает, что обе части равенства равны $\mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).$

Однако связанные свойства субмодулярности и субаддитивности не эквивалентны друг другу.

Обратите внимание, что модульность имеет другое и несвязанное значение в контексте сложных функций; см. модульную форму .

Разница в наборах

Если $A\subseteq B$ и $\mu (B)-\mu (A)$ определено, то $\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).$

Примеры

Примером 𝜎-аддитивной функции является функция $\mu$ определяется над набором степеней действительных чисел , так что

$$\mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}$$

Если $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots$ представляет собой последовательность непересекающихся наборов действительных чисел, то либо ни один из наборов не содержит 0, либо ровно один из них содержит 0. В любом случае равенство

$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$$

держит.

см. в разделе «Мера» и «Знаковая мера» Дополнительные примеры 𝜎-аддитивных функций .

Заряд отображает определяется как конечно-аддитивная функция множества, которая $\varnothing$ к $0.$ ( зарядах см. в пространстве ba Информацию об ограниченных , где мы говорим, что заряд ограничен , что означает, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .)

Аддитивная функция, не являющаяся

Пример аддитивной функции, не являющейся σ-аддитивной, можно получить, рассматривая $\mu$, определенный над множествами Лебега действительных чисел $\mathbb {R}$ по формуле

$$\mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),$$

где $\lambda$ обозначает меру Лебега и $\lim$ предел Банахов . Это удовлетворяет $0\leq \mu (A)\leq 1$ и если $\sup A<\infty$ затем $\mu (A)=0.$

Аддитивность этой функции можно проверить, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств

$$A_{n}=[n,n+1)$$

для $n=0,1,2,\ldots$ Объединение этих множеств есть положительные числа , а $\mu$ примененное к союзу, тогда равно единице, а $\mu$ примененное к любому из отдельных наборов, равно нулю, поэтому сумма $\mu (A_{n})$также равно нулю, что доказывает контрпример.

Обобщения

Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, чаще, в векторном пространстве ). Для сигма-аддитивности дополнительно необходимо, чтобы понятие предела последовательности на этом множестве было определено . Например, спектральные меры — это сигма-аддитивные функции со значениями в банаховой алгебре . Другой пример, также из квантовой механики, — положительная операторнозначная мера .

См. также

• Аддитивное отображение - гомоморфизм Z-модуля
• Теорема Хана – Колмогорова – Теорема, распространяющая предварительные меры на меры. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Мера (математика) - Обобщение массы, длины, площади и объема.
• σ-конечная мера - понятие теории меры
• Знаковая мера - обобщенное понятие меры в математике.
• Субмодульная функция множества – отображение реального значения с убывающей отдачей
• Субадитивная функция множества
• τ-аддитивность
• пространство ba - набор ограниченных зарядов на данной сигма-алгебре.

В эту статью включены материалы из дополнения PlanetMath , которое распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .