Банахов предел

В математическом анализе банахов предел — это непрерывный линейный функционал. $\phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C}$ определенный в банаховом пространстве $\ell ^{\infty }$ всех ограниченных комплексных последовательностей таких , что для всех последовательностей $x=(x_{n})$, $y=(y_{n})$ в $\ell ^{\infty }$и комплексные числа $\alpha$:

1. $\phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)$ (линейность);
2. если $x_{n}\geq 0$ для всех $n\in \mathbb {N}$, затем $\phi (x)\geq 0$ (позитивность);
3. $\phi (x)=\phi (Sx)$, где $S$ — оператор сдвига, определяемый формулой $(Sx)_{n}=x_{n+1}$ (сдвиг-инвариантность);
4. если $x$ является сходящейся последовательностью , то $\phi (x)=\lim x$.

Следовательно, $\phi$ является расширением непрерывного функционала $\lim :c\to \mathbb {C}$ где $c\subset \ell ^{\infty }$ — комплексное векторное пространство всех последовательностей, сходящихся к (обычному) пределу в $\mathbb {C}$.

Другими словами, банахов предел расширяет обычные пределы, является линейным, инвариантным к сдвигу и положительным. Однако существуют последовательности, для которых значения двух банаховых пределов не совпадают. Будем говорить, что банахов предел в этом случае определен неоднозначно.

Вследствие вышеперечисленных свойств действительный банахов предел также удовлетворяет:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.$

Существование банаховых пределов обычно доказывается с помощью теоремы Хана – Банаха (аналитический подход). или с помощью ультрафильтров (этот подход чаще встречается в теоретико-множественных изложениях). Эти доказательства обязательно используют аксиому выбора (так называемое неэффективное доказательство).

Почти сближение

Существуют несходящиеся последовательности, имеющие однозначно определенный банахов предел. Например, если $x=(1,0,1,0,\ldots )$, затем $x+S(x)=(1,1,1,\ldots )$ является постоянной последовательностью, и

$2\phi (x)=\phi (x)+\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1$

держит. Таким образом, для любого банахова предела эта последовательность имеет предел $1/2$.

Ограниченная последовательность $x$ со свойством, что для любого банахового предела $\phi$ ценность $\phi (x)$ то же самое, называется почти сходящимся .

Банаховы пространства

Дана сходящаяся последовательность $x=(x_{n})$ в $c\subset \ell ^{\infty }$, обычный предел $x$ не возникает из элемента $\ell ^{1}$,если двойственность $\langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle$ считается. Последнее означает $\ell ^{\infty }$ — непрерывное двойственное пространство (двойственное банахово пространство) $\ell ^{1}$, и, следовательно, $\ell ^{1}$ индуцирует непрерывные линейные функционалы на $\ell ^{\infty }$, но не все.Любой банаховый предел на $\ell ^{\infty }$ является примером элемента дуального банахова пространства $\ell ^{\infty }$ которого нет в $\ell ^{1}$. Двойник $\ell ^{\infty }$ известно как пространство ba и состоит из всех ( подписанных ) конечно-аддитивных мер на сигма-алгебре всех подмножеств натуральных чисел или, что то же самое, всех (подписанных) борелевских мер на компактификации Стоуна-Чеха натуральных чисел.

Внешние ссылки

• «Банаховый предел» . ПланетаМатематика .

Ссылки

• Balcar, Богуслав ; Штепанек, Петр (2000). Теория множеств (на чешском языке) (2-е изд.). Прага: Академия. ISBN  802000470X .
• Конвей, Джон Б. (1994). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-97245-5 .