Оценка (геометрия)
В геометрии оценка — это конечно-аддитивная функция из набора подмножеств множества. к абелевой полугруппе . Например, мера Лебега — это оценка конечных объединений выпуклых тел Другие примеры оценок конечных объединений выпуклых тел площадь поверхности , средняя ширина и эйлерова характеристика .
В геометрии к нормам часто накладываются условия непрерывности (или гладкости ), но существуют и чисто дискретные аспекты теории. Фактически, концепция оценки берет свое начало в теории рассечения многогранников и, в частности, в третьей проблеме Гильберта , которая превратилась в богатую теорию, основанную на инструментах абстрактной алгебры.
Определение
[ редактировать ]Позволять быть множеством, и пусть быть совокупностью подмножеств Функция на со значениями в абелевой полугруппе называется оценкой, если она удовлетворяет в любое время и являются элементами Если тогда всегда предполагается
Примеры
[ редактировать ]Некоторые распространенные примеры являются
- выпуклые тела в
- компактные выпуклые многогранники в
- выпуклые конусы
- гладкие компактные многогранники в гладком многообразии
Позволять — множество выпуклых тел в Тогда некоторые оценки являются
- эйлерова характеристика
- Мера Лебега ограничивается
- внутренний объем (и, в более общем смысле, смешанный объем )
- карта где является поддержки функцией
Некоторые другие оценки
- перечислитель точек решетки , где представляет собой решетчатый многогранник
- мощность , на семействе конечных множеств
Оценки выпуклых тел
[ редактировать ]С этого момента пусть , позволять — множество выпуклых тел в , и пусть быть оценкой .
Мы говорим является трансляционно-инвариантным , если для всех и , у нас есть .
Позволять . Хаусдорфа Расстояние определяется как где это - окрестности под некоторым евклидовым внутренним произведением. Оснащенный этой метрикой, является локально компактным пространством .
Пространство непрерывных, трансляционно-инвариантных оценок из к обозначается
Топология на — топология равномерной сходимости на компактных подмножествах Оборудован по норме. где является ограниченным подмножеством с непустой внутренностью, является банаховым пространством .
Однородные оценки
[ редактировать ]Трансляционно-инвариантная непрерывная оценка Говорят, что это -однородный, если для всех и Подмножество из -однородные нормирования – это векторное подпространство Макмаллена о разложении Теорема [1] заявляет, что
В частности, степень однородности оценки всегда является целым числом между и
Оценки классифицируются не только по степени однородности, но и по четности относительно отражения через начало, а именно где с тогда и только тогда, когда для всех выпуклых тел Элементы и называются четными и нечетными соответственно.
Это простой факт, что является -мерный и натянутый на эйлерову характеристику то есть состоит из постоянных оценок на
В 1957 году Хадвигер [2] доказал, что (где ) совпадает с -мерное пространство мер Лебега на
Оценка это просто , если для всех выпуклых тел с Шнайдер [3] в 1996 году описал все простые оценки : они даны где — произвольная нечетная функция на единичной сфере и является мерой площади поверхности В частности, любая простая оценка представляет собой сумму - и - однородная оценка. Это, в свою очередь, означает, что -однородная оценка однозначно определяется ее ограничениями на все -мерные подпространства.
Теоремы вложения
[ редактировать ]Вложение Клейна представляет собой линейное введение пространство даже -однородных нормировок, в пространство непрерывных сечений канонического комплексного линейного расслоения над грассманианом из -мерные линейные подпространства Его конструкция основана на характеристике Хадвигера. [2] из - однородные оценки. Если и тогда ограничение это элемент и по теореме Хадвигера это мера Лебега. Следовательно определяет непрерывный участок линейного расслоения над с волокном поверх равный -мерное пространство плотностей на (меры Лебега)
Теорема (Клейн [4] ). Линейная карта является инъективным.
Для нечетных оценок существует другое вложение, известное как вложение Шнайдера. Он основан на описании простых оценок Шнайдером. [3] Это линейная инъекция пространство странностей -однородных нормирований, в некоторый факторпространства непрерывных сечений линейного расслоения над частичным многообразием флагов коориентированных пар. Его определение напоминает вложение Клейна, но более сложное. Подробности можно узнать в. [5]
Вложение Гуди-Вейля представляет собой линейное введение в пространство распределений на -кратное произведение -мерная сфера. Это не что иное, как ядро Шварца естественной поляризации, которое любое допускает, а именно как функционал на -кратное произведение последнее пространство функций, имеющих геометрический смысл разностей опорных функций гладких выпуклых тел. Подробности см. [5]
Теорема о неприводимости
[ редактировать ]Классические теоремы Хадвигера, Шнайдера и Макмаллена дают довольно явное описание оценок, однородных по степени. и Но для градусов до начала XXI века было известно очень мало. Гипотеза Макмаллена – это утверждение, что оценки охватывают плотное подпространство Гипотеза Макмаллена была подтверждена Алескером в гораздо более сильной форме, которая стала известна как теорема о неприводимости:
Теорема (Алескера [6] ). Для каждого естественное действие на просторах и является нередуцируемым.
Здесь действие общей линейной группы на дается Доказательство теоремы о неприводимости основано на теоремах вложения предыдущего раздела и локализации Бейлинсона-Бернштейна .
Плавные оценки
[ редактировать ]Оценка называется гладким, если отображение от к гладкий. Другими словами, является гладким тогда и только тогда, когда является гладким вектором естественного представления на Пространство гладких оценок плотный в ; он оснащен естественной топологией пространства Фреше, которая тоньше, чем та, которая индуцирована из
Для каждой (комплекснозначной) гладкой функции на где обозначает ортогональную проекцию и — мера Хаара, определяет гладкую четную оценку степени Из теоремы о неприводимости в сочетании с теоремой Кассельмана-Валлаха следует, что любое гладкое четное нормирование можно представить таким образом. Такое представление иногда называют формулой Крофтона .
Для любой (комплекснозначной) гладкой дифференциальной формы который инвариантен при всех переводах и каждое число Интеграция по нормальному циклу определяет плавную оценку:
( 1 ) |
В комплекте нормальный цикл состоит из внешних единичных нормалей к Теорема о неприводимости подразумевает, что каждое гладкое нормирование имеет такой вид.
Операции над трансляционно-инвариантными оценками
[ редактировать ]На подпространстве гладких нормирований определено несколько естественных операций. Наиболее важным из них является произведение двух гладких оценок. Вместе с откатом и продвижением эта операция распространяется на оценки многообразий.
Экстерьер продукта
[ редактировать ]Позволять — конечномерные действительные векторные пространства. Существует билинейное отображение, называемое внешним произведением: который однозначно характеризуется следующими двумя свойствами:
- он непрерывен относительно обычных топологий на и
- если и где и являются выпуклыми телами с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной, а и плотности на и затем
Продукт
[ редактировать ]Продукт двух гладких оценок определяется где – диагональное вложение. Продукт представляет собой непрерывную карту Оборудованный этим продуктом, становится коммутативной ассоциативной градуированной алгеброй с эйлеровой характеристикой как мультипликативным тождеством.
Двойственность Алескера-Пуанкаре.
[ редактировать ]По теореме Алескера ограничение произведения является невырожденным спариванием. Это мотивирует определение -однородная обобщенная оценка , обозначаемая как топологизирован со слабой топологией. По двойственности Алескера-Пуанкаре существует естественное плотное включение
Свертка
[ редактировать ]Свертка – это натуральный продукт на Для простоты зафиксируем плотность на упростить второй фактор. Определить для фиксированного с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной Тогда существует единственное расширение по непрерывности до отображения называется сверткой.В отличие от произведения, свертка учитывает совместную градуировку, а именно, если затем
Например, пусть обозначаем смешанный объем выпуклых тел Если выпуклые тела в с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной фиксированы, то определяет гладкую оценку степени Свертка двух таких оценок равна где является постоянной величиной, зависящей только от
Преобразование Фурье
[ редактировать ]Преобразование Алескера-Фурье является естественным, -эквивариантный изоморфизм комплекснозначных нормирований открыт Алескером и обладает многими свойствами, напоминающими классическое преобразование Фурье, что и объясняет его название.
Он меняет градацию на противоположную, а именно и переплетает произведение и свертку:
Исправление для простоты евклидовой структуры для идентификации у нас есть личность При четных оценках существует простое описание преобразования Фурье с точки зрения вложения Клейна: В частности, даже вещественные оценки остаются действительными после преобразования Фурье.
Для нечетных оценок описание преобразования Фурье существенно сложнее. В отличие от четного случая, он уже не носит чисто геометрической природы. Например, не сохраняется пространство вещественных нечетных оценок.
Откат и продвижение вперед
[ редактировать ]Учитывая линейную карту есть индуцированные операции отката и продвигаться вперед Откат является более простым из двух, определяемым формулой Очевидно, при этом сохраняется паритет и степень однородности оценки. Обратите внимание, что откат не сохраняет гладкость, когда не является инъективным.
Продвижение вперед труднее определить формально. Для простоты зафиксируем меры Лебега на и Продвижение можно однозначно охарактеризовать, описав его действие на оценки в форме для всех а затем распространено по непрерывности на все оценки с использованием теоремы о неприводимости. Для сюръективной карты Для включения выбрать разделение Затем Неформально движение вперед двойственно откату относительно пары Алескера-Пуанкаре: для и Однако это тождество следует интерпретировать осторожно, поскольку спаривание четко определено только для гладких оценок. Более подробную информацию см. [7]
Оценки на коллекторах
[ редактировать ]В серии статей, начавшихся в 2006 году, Алескер заложил основы теории нормирований на многообразиях, которая расширяет теорию нормирований на выпуклых телах. Ключевое наблюдение, ведущее к этому расширению, заключается в том, что посредством интегрирования по нормальному циклу ( 1 ) гладкая трансляционно-инвариантная оценка может быть вычислена на множествах, гораздо более общих, чем выпуклые. Также ( 1 ) предлагает определить гладкие оценки вообще, отбросив требование, чтобы форма быть трансляционно-инвариантной и заменой трансляционно-инвариантной меры Лебега произвольной гладкой мерой.
Позволять — n-мерное гладкое многообразие и пусть быть косферным пучком то есть ориентированная проективизация кокасательного расслоения. Позволять обозначим совокупность компактных дифференцируемых многогранников в Нормальный цикл из который состоит из внешних конормалей естественно является липшицевым подмногообразием размерности
Для простоты изложения в дальнейшем будем считать, что ориентировано, хотя понятие гладких нормирований фактически не зависит от ориентируемости. Пространство гладких оценок на состоит из функций формы где и может быть произвольным. Алескер показал, что гладкие оценки на открытых подмножествах сформировать мягкий пучок поверх
Примеры
[ редактировать ]Ниже приведены примеры гладких оценок на гладком многообразии. :
- Плавные меры по
- Эйлерова характеристика ; это следует из работы Черна [8] по теореме Гаусса-Бонне , где такие и были построены для представления эйлеровой характеристики. В частности, тогда это подынтегральная функция Черна-Гаусса-Бонне , которая является пфаффианом тензора римановой кривизны.
- Если является римановым, то оценки Липшица-Киллинга или внутренние объемы являются гладкими оценками. Если — любое изометрическое погружение в евклидово пространство, тогда где обозначает обычные внутренние объемы на (см. ниже определение отката). Существование этих оценок составляет суть формулы трубки Вейля. [9]
- Позволять — комплексное проективное пространство , и пусть обозначают грассманиан всех комплексных проективных подпространств фиксированной размерности Функция
где интегрирование ведется по вероятностной мере Хаара на это плавная оценка. Это следует из работы Фу. [10]
Фильтрация
[ редактировать ]Пространство вообще не допускает естественной градуировки, однако несет каноническую фильтрацию Здесь состоит из гладких мер по и задается формами в идеале, порожденном где является канонической проекцией.
Соответствующее градуированное векторное пространство канонически изоморфно пространству гладких сечений где обозначает векторное расслоение над такой, что слой над точкой является пространство -однородные гладкие трансляционно-инвариантные нормирования в касательном пространстве
Продукт
[ редактировать ]Пространство признает натуральный продукт. Это произведение непрерывно, коммутативно, ассоциативно, совместимо с фильтрацией: и имеет эйлерову характеристику в качестве единичного элемента. Он также коммутирует с ограничением на вложенные подмногообразия и группу диффеоморфизмов действует на алгебраическими автоморфизмами.
Например, если является римановым, оценки Липшица-Киллинга удовлетворяют
Двойственность Алескера-Пуанкаре сохраняется до сих пор. Для компактных там написано, что спаривание является невырожденным. Как и в случае трансляционной инвариантности, эту двойственность можно использовать для определения обобщенных оценок. В отличие от трансляционно-инвариантного случая, для нормирования на многообразиях не существует хорошего определения непрерывных нормирований.
Произведение оценок точно отражает геометрическую операцию пересечения подмножеств.Неформально рассмотрим обобщенную оценку Продукт предоставляется Теперь можно получить гладкие оценки, усредняя обобщенные оценки вида точнее является гладкой оценкой, если является достаточно большим мерным семейством диффеоморфизмов. Тогда у человека есть видеть. [11]
Откат и продвижение вперед
[ редактировать ]Каждое плавное погружение гладких многообразий индуцирует отображение обратного образа Если является вложением, то Обратный образ — это морфизм фильтрованных алгебр.Каждое плавное правильное погружение определяет карту продвижения вперед к Продвижение также совместимо с фильтрацией: Для общих гладких карт можно определить откат и продвижение вперед для обобщенных оценок при некоторых ограничениях.
Приложения в интегральной геометрии
[ редактировать ]Позволять — риманово многообразие и пусть быть группой Ли изометрий действуя транзитивно на расслоении сфер При этих предположениях пространство из -инвариантные гладкие оценки на конечномерен; позволять быть основой. Позволять быть дифференцируемыми многогранниками в Тогда интегралы вида выражаются как линейные комбинации с коэффициентами независимо от и :
( 2 ) |
Формулы такого типа называются кинематическими формулами . Их существование в этой общности было доказано Фу. [10] Что касается трех односвязных форм реального пространства, то есть сферы, евклидова пространства и гиперболического пространства, они восходят к Бляшке , Сантало , Черну и Федереру .
Явное описание кинематических формул обычно представляет собой сложную задачу. Действительно, уже на пути от реальных форм пространства к сложным возникают значительные трудности, которые лишь недавно были разрешены Бернигом, Фу и Соланесом. [12] [13] Ключевое понимание, ответственное за этот прогресс, заключается в том, что кинематические формулы содержат ту же информацию, что и алгебра инвариантных оценок. Для точной формулировки пусть – кинематический оператор, то есть отображение, определяемое кинематическими формулами ( 2 ). Позволять обозначают двойственность Алескера-Пуанкаре, которая является линейным изоморфизмом. Наконец позвольте быть сопряжением карты продукта Основная теорема алгебраической интегральной геометрии, связывающая операции над оценками с интегральной геометрией, утверждает, что если двойственность Пуанкаре используется для идентификации с затем :
См. также
[ редактировать ]- Теорема Хадвигера - Теорема интегральной геометрии.
- Интегральная геометрия - теория мер в геометрическом пространстве, инвариантная относительно группы симметрии этого пространства.
- Смешанный объем
- Функция модульного набора — функция сопоставления.
- Функция набора – функция преобразования наборов в числа.
- Оценка (теория меры) – карта в теории меры или теории предметной области.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ МакМаллен, Питер (1980), «Непрерывные трансляционно-инвариантные оценки в пространстве компактных выпуклых множеств», Archiv der Mathematik , 34 (4): 377–384, doi : 10.1007/BF01224974 , S2CID 122127897
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Хадвигер, Хьюго (1957), Лекции по содержанию, поверхности и изопериметрии , Основные доктрины математических наук, том. 93, Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/978-3-642-94702-5 , ISBN. 978-3-642-94703-2
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Шнайдер, Рольф (1996), «Простые оценки выпуклых тел», Mathematika , 43 (1): 32–39, doi : 10.1112/S0025579300011578
- ^ Клейн, Дэниел А. (1995), «Краткое доказательство характеризационной теоремы Хадвигера», Mathematika , 42 (2): 329–339, doi : 10.1112/S0025579300014625
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Алескер, Семен (2018), Введение в теорию оценок , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 126, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
- ^ Алескер, Семен (2001), «Описание трансляционно-инвариантных оценок на выпуклых множествах с решением гипотезы П. Макмаллена», Geometric and Functional Analysis , 11 (2): 244–272, doi : 10.1007/PL00001675 , S2CID 122986474
- ^ Алескер, Семен (2011), «Преобразование типа Фурье для трансляционно-инвариантных оценок на выпуклых множествах», Israel Journal of Mathematics , 181 : 189–294, arXiv : math/0702842 , doi : 10.1007/s11856-011-0008- 6
- ^ Черн, Шиинг-Шен (1945), «О целой кривизне в римановом многообразии», Annals of Mathematics , Second Series, 46 (4): 674–684, doi : 10.2307/1969203 , JSTOR 1969203 , S2CID 123348816
- ^ Вейль, Герман (1939), «Об объеме трубок», Американский журнал математики , 61 (2): 461–472, doi : 10.2307/2371513 , JSTOR 2371513
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фу, Джозеф Х.Г. (1990), «Кинематические формулы в интегральной геометрии», Математический журнал Университета Индианы , 39 (4): 1115–1154, doi : 10.1512/iumj.1990.39.39052
- ^ Фу, Джозеф Х.Г. (2016), «Теория пересечений и произведение Алескера», Математический журнал Университета Индианы , 65 (4): 1347–1371, arXiv : 1408.4106 , doi : 10.1512/iumj.2016.65.5846 , S2CID 119736489
- ^ Берниг, Андреас; Фу, Джозеф Х.Г.; Соланес, Гил (2014), «Интегральная геометрия сложных пространственных форм», Геометрический и функциональный анализ , 24 (2): 403–49, arXiv : 1204.0604 , doi : 10.1007/s00039-014-0251-1 2
- ^ Берниг, Андреас; Фу, Джозеф Х.Г. (2011), «Эрмитова интегральная геометрия», Annals of Mathematics , Second Series, 173 (2): 907–945, arXiv : 0801.0711 , doi : 10.4007/annals.2011.173.2.7
Библиография
[ редактировать ]- С. Алескер (2018). Введение в теорию оценок . Серия региональных конференций CBMS по математике, 126. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-4359-7 .
- С. Алескер ; ДЖХГ Фу (2014). Интегральная геометрия и оценки . Продвинутые курсы по математике. CRM Барселона. Биркхойзер/Шпрингер, Базель. ISBN 978-1-4704-4359-7 .
- Д.А. Клайн; Г.-К. Рота (1997). Введение в геометрическую вероятность . Лециони Линси. [Лекции Линчеи]. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59362-Х .
- Р. Шнайдер (2014). Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений, 151. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Род-Айленд. ISBN 978-1-107-60101-7 .