Теорема Хадвигера

В интегральной геометрии (также называемой геометрической теорией вероятностей) теорема Хадвигера характеризует оценки выпуклых тел в $\mathbb {R} ^{n}.$ Это доказал Хьюго Хадвигер .

Введение

оценки

Позволять $\mathbb {K} ^{n}$ — совокупность всех компактных выпуклых множеств в $\mathbb {R} ^{n}.$ Оценка – это функция $v:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R}$ такой, что $v(\varnothing )=0$ и для каждого $S,T\in \mathbb {K} ^{n}$ которые удовлетворяют $S\cup T\in \mathbb {K} ^{n},$ $$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.$$

Нормирование называется непрерывным, если оно непрерывно относительно метрики Хаусдорфа . Нормирование называется инвариантным относительно жестких движений, если $v(\varphi (S))=v(S)$ в любое время $S\in \mathbb {K} ^{n}$ и $\varphi$ это либо перевод , вращение либо $\mathbb {R} ^{n}.$

Кермассинтегралы

Основная статья: quermassintegral

Кермассинтегралы $W_{j}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R}$ определяются по формуле Штейнера $$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,$$ где $B$ это евклидов шар. Например, $W_{0}$ это объем, $W_{1}$ пропорциональна мере поверхности , $W_{n-1}$ пропорциональна средней ширине и $W_{n}$ константа $\operatorname {Vol} _{n}(B).$

$W_{j}$ — это оценка, однородная по степени $n-j,$ то есть, $$W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.$$

Заявление

Любая непрерывная оценка $v$ на $\mathbb {K} ^{n}$ инвариантный относительно жестких движений, можно представить в виде $$v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.$$

Следствие

Любая непрерывная оценка $v$ на $\mathbb {K} ^{n}$ инвариантный относительно жестких движений и однородный степени $j$ кратно $W_{n-j}.$

См. также

• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
• Функция набора – функция преобразования наборов в числа.

Ссылки

Изложение и доказательство теоремы Хадвигера можно найти в

• Клейн, Д.А.; Рота, Г.-К. (1997). Введение в геометрическую вероятность . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59362-Х . МР   1608265 .

Элементарное и самостоятельное доказательство было дано Бэйфан Чэнем в

• Чен, Б. (2004). «Упрощенное элементарное доказательство теоремы Хадвигера об объеме». Геом. Дедиката . 105 : 107–120. дои : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 . МР   2057247 .