Содержание Минковского
Содержимое Минковского геометрии (названное в честь Германа Минковского ) или граничная мера множества — это базовое понятие, которое использует понятия и теории меры для обобщения понятий длины на гладкой кривой плоскости и площади гладкой поверхности. в пространстве к произвольным измеримым множествам .
Обычно он применяется к фрактальным границам областей в евклидовом пространстве , но его также можно использовать в контексте общих метрических пространств меры.
Она связана с мерой Хаусдорфа , хотя и отличается от нее .
Определение [ править ]
Для , и каждое целое число m с , m -мерное верхнее содержание Минковского равно
а m -мерное нижнее содержание Минковского определяется как
где — объем ( n − m )-шара радиуса r и это -мерная мера Лебега .
Если верхнее и нижнее m -мерное содержание Минковского A равны, то их общее значение называется содержанием Минковского M. м ( А ). [1] [2]
Свойства [ править ]
- Содержание Минковского (как правило) не является мерой. В частности, m -мерное содержание Минковского в R н не является мерой, если только m = 0, и в этом случае это считающая мера . Действительно, очевидно, что содержание Минковского присваивает то же значение множеству A, что и его замыканию .
- Если A — замкнутое m - спрямляемое множество в R н , заданный как образ ограниченного множества из R м под функцией Липшица , то m содержание Минковского A существует и равно m -мерной мере Хаусдорфа A. мерное - [3]
См. также [ править ]
- Гауссово изопериметрическое неравенство
- Геометрическая теория меры
- Изопериметрическое неравенство в более высоких измерениях
- Размерность Минковского – Булиганда
Сноски [ править ]
- ^ Федерер 1969 , с. 273
- ^ Кранц и Паркс 1999 , с. 74
- ^ Федерер 1969 , с. 275, Теорема 3.2.39.
Ссылки [ править ]
- Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4 .
- Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (1999), Геометрия областей в пространстве , Расширенные тексты Birkhäuser: Basler Lehrbücher, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4097-5 , МР 1730695 .