Содержание Минковского

Содержимое Минковского геометрии (названное в честь Германа Минковского ) или граничная мера множества — это базовое понятие, которое использует понятия и теории меры для обобщения понятий длины на гладкой кривой плоскости и площади гладкой поверхности. в пространстве к произвольным измеримым множествам .

Обычно он применяется к фрактальным границам областей в евклидовом пространстве , но его также можно использовать в контексте общих метрических пространств меры.

Она связана с мерой Хаусдорфа , хотя и отличается от нее .

Определение [ править ]

Для $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ , и каждое целое число m с $0\leq m\leq n$ , m -мерное верхнее содержание Минковского равно

M^{*m}(A)=\limsup _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (n-m)r^{n-m}}}

а m -мерное нижнее содержание Минковского определяется как

M_{*}^{m}(A)=\liminf _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (n-m)r^{n-m}}}

где $\alpha (n-m)r^{n-m}$ — объем ( n − m )-шара радиуса r и $\mu$ это $n$ -мерная мера Лебега .

Если верхнее и нижнее m -мерное содержание Минковского A равны, то их общее значение называется содержанием Минковского M. ^м( А ). ^[1]^[2]

Содержание Минковского (как правило) не является мерой. В частности, m -мерное содержание Минковского в R ^н не является мерой, если только m = 0, и в этом случае это считающая мера . Действительно, очевидно, что содержание Минковского присваивает то же значение множеству A, что и его замыканию .
Если A — замкнутое m - спрямляемое множество в R ^н, заданный как образ ограниченного множества из R ^м под функцией Липшица , то m содержание Минковского A существует и равно m -мерной мере Хаусдорфа A. мерное - ^[3]

Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4 .
Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (1999), Геометрия областей в пространстве , Расширенные тексты Birkhäuser: Basler Lehrbücher, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4097-5 , МР 1730695 .