Гауссово изопериметрическое неравенство

В математике гауссово изопериметрическое неравенство , доказанное Борисом Цирельсоном и Владимиром Судаковым , а позже независимо Кристером Бореллом , что среди всех множеств данной гауссовой меры в n -мерном евклидовом пространстве полупространства утверждает , имеют минимальную гауссову граничную меру .

Математическая формулировка

Позволять $\scriptstyle A$ быть измеримым подмножеством $\scriptstyle \mathbf {R} ^{n}$ наделенный стандартной гауссовой мерой $\gamma ^{n}$ с плотностью ${\exp(-\|x\|^{2}/2)}/(2\pi )^{n/2}$. Обозначим через

$A_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}\,|\,{\text{dist}}(x,A)\leq \varepsilon \right\}$

ε-расширение A . Тогда изопериметрическое неравенство Гаусса утверждает, что

$\liminf _{\varepsilon \to +0}\varepsilon ^{-1}\left\{\gamma ^{n}(A_{\varepsilon })-\gamma ^{n}(A)\right\}\geq \varphi (\Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))),$

где

$\varphi (t)={\frac {\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\quad {\rm {and}}\quad \Phi (t)=\int _{-\infty }^{t}\varphi (s)\,ds.$

Доказательства и обобщения

Оригинальные доказательства Судакова, Цирельсона и Бореля основывались на Поля Леви сферическом изопериметрическом неравенстве .

Сергей Бобков доказал неравенство Бобкова — функциональное обобщение изопериметрического неравенства Гаусса, доказанное из некоего «двухточечного аналитического неравенства». Бакри и Леду дали еще одно доказательство функционального неравенства Бобкова, основанное на методе полугрупп , которое работает в гораздо более абстрактной ситуации. Позднее Барт и Мори дали еще одно доказательство, используя броуновское движение .

Гауссово изопериметрическое неравенство также следует из неравенства Эрхарда .

См. также

• Концентрация меры
• Неравенство Борелла – ТИС