Неравенство Бобкова

В теории вероятностей неравенство Бобкова — функциональное изопериметрическое неравенство для канонической гауссовой меры . Оно обобщает гауссово изопериметрическое неравенство . Уравнение было доказано в 1997 году российским математиком Сергеем Бобковым .

Неравенство Бобкова

Обозначение:

Позволять

• $\gamma ^{n}(dx)=(2\pi )^{-n/2}e^{-\|x\|^{2}/2}d^{n}x$ быть канонической гауссовой мерой на $\mathbb {R} ^{n}$ относительно меры Лебега ,
• $\phi (x)=(2\pi )^{-1/2}e^{-x^{2}/2}$ — одномерная каноническая плотность Гаусса
• $\Phi (t)=\gamma ^{1}[-\infty ,t]$ кумулятивная функция распределения
• $I(t):=\phi (\Phi ^{-1}(t))$ быть функцией $I(t):[0,1]\to [0,1]$ который исчезает в конечных точках $\lim \limits _{t\to 0}I(t)=\lim \limits _{t\to 1}I(t)=0.$

Заявление

Для каждой локально липшицевой непрерывной (или гладкой ) функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ имеет место следующее неравенство

$I\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}fd\gamma ^{n}(dx)\right)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\sqrt {I(f)^{2}+|\nabla f|^{2}}}d\gamma ^{n}(dx).$

Обобщения

Существует обобщение Доминика Бакри и Мишеля Леду .