Функциональный (математика)

Функционал длины дуги имеет областью определения векторное пространство спрямляемых кривых – подпространство $C([0,1],\mathbb {R} ^{3})$ – и выводит действительный скаляр. Это пример нелинейного функционала.

В математике функционал — это определенный тип функции . Точное определение термина варьируется в зависимости от области (а иногда даже от автора).

В линейной алгебре это синоним линейной формы , которая является линейным отображением векторного пространства. $V$ в свое поле скаляров (т. е. является элементом дуального пространства $V^{*}$ ) ^[1]
В функциональном анализе и смежных областях это относится к отображению пространства. $X$ в поле действительных или комплексных чисел . ^[2]^[3] В функциональном анализе термин « линейный функционал» является синонимом линейной формы ; ^[3]^[4]^[5]то есть это скалярное линейное отображение. В зависимости от автора такие отображения могут считаться или не считаться линейными или определенными на всем пространстве. $X.$ ^{[ нужна цитата ]}
В информатике это синоним функции высшего порядка , которая представляет собой функцию, которая принимает одну или несколько функций в качестве аргументов или возвращает их.

В данной статье основное внимание уделяется второму понятию, возникшему в начале XVIII века как часть вариационного исчисления . Первая концепция, более современная и абстрактная, подробно рассмотрена в отдельной статье под названием линейная форма . Третья концепция подробно описана в статье по информатике о функциях высшего порядка .

В случае, когда пространство $X$ — пространство функций, функционал — это «функция функции», ^[6]а некоторые более старые авторы фактически определяют термин «функциональный» как «функция функции». Однако тот факт, что $X$ Это пространство функций не является математически существенным, поэтому это старое определение больше не распространено. ^{[ нужна цитата ]}

Термин происходит из вариационного исчисления , где ищут функцию, которая минимизирует (или максимизирует) заданный функционал. Особенно важным применением в физике является поиск состояния системы, которое минимизирует (или максимизирует) действие , или, другими словами, интеграл по времени от лагранжиана .

Подробности [ править ]

Двойственность [ править ]

Отображение

x_{0}\mapsto f(x_{0})

это функция, где

x_{0}

является аргументом функции

f.

При этом отображение функции на значение функции в точке

f\mapsto f(x_{0})

является функционалом ; здесь,

x_{0}

является параметром .

При условии, что $f$ является линейной функцией из векторного пространства в основное скалярное поле, указанные выше линейные отображения двойственны друг другу, и в функциональном анализе оба называются линейными функционалами .

Определенный интеграл [ править ]

Интегралы , такие как

f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)

образуют специальный класс функционалов. Они отображают функцию

f

в действительное число при условии, что

H

имеет реальную ценность. Примеры включают в себя

область под графиком положительной функции $f$ $f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x$
$L^{p}$ норма функции на множестве $E$ $f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}$
длина дуги кривой в двумерном евклидовом пространстве $f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x$

Внутренние пространства продукта [ править ]

Учитывая внутреннее пространство продукта $X,$ и фиксированный вектор ${\vec {x}}\in X,$ карта, определенная ${\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ является линейным функционалом от $X.$ Набор векторов ${\vec {y}}$ такой, что ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ равно нулю, является векторным подпространством $X,$ называется нулевым пространством или ядром функционала, или ортогональным дополнением функционала. ${\vec {x}},$ обозначенный $\{{\vec {x}}\}^{\perp }.$

Например, взяв внутренний продукт с фиксированной функцией $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ определяет (линейный) функционал в гильбертовом пространстве $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ функций, интегрируемых с квадратом на $[-\pi ,\pi ]:$

f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g

Местонахождение [ править ]

Если значение функционала можно вычислить для небольших сегментов входной кривой, а затем суммировать для нахождения общего значения, функционал называется локальным. В противном случае его называют нелокальным. Например:

F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x

является локальным, в то время как

F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}

является нелокальным. Это обычно происходит, когда интегралы встречаются отдельно в числителе и знаменателе уравнения, например, при расчете центра масс.

Функциональные уравнения [ править ]

Традиционное использование также применимо, когда говорят о функциональном уравнении, имея в виду уравнение между функционалами: уравнение $F=G$ Между функционалами можно читать как «уравнение, которое необходимо решить», причем решения сами по себе являются функциями. В таких уравнениях может быть несколько наборов переменных неизвестных, например, когда говорят, что аддитивное отображение $f$ удовлетворяет : Коши функциональному уравнению

f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ for all }}x,y.

и интеграция Производная

Функциональные производные используются в лагранжевой механике . Они являются производными функционалов; то есть они несут информацию о том, как изменяется функционал, когда входная функция изменяется на небольшую величину.

Ричард Фейнман использовал функциональные интегралы в качестве центральной идеи в своей истории формулировке квантовой механики . Такое использование подразумевает интеграл, взятый по некоторому функциональному пространству .

См. также [ править ]

Линейная форма - Линейная карта векторного пространства в его поле скаляров.
Оптимизация (математика) — изучение математических алгоритмов решения задач оптимизации.
Тензор - алгебраический объект с геометрическими приложениями.

Ссылки [ править ]

^ Ланг 2002 , с. 142 «Пусть E — свободный модуль над коммутативным кольцом A. Мы рассматриваем A как свободный модуль ранга 1 над самим собой. По двойственному модулю E ^∨модуля E будем понимать модуль Hom( E , A ). Его элементы будем называть функционалами . Таким образом, функционал на E — это A -линейное отображение f : E → A ».
^ Колмогоров и Фомин 1957 , с. 77 «Числовая функция f ( x ), определенная на линейном нормированном пространстве R, будет называться функционалом . Функционал f ( x ) называется линейным, если f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ), где x , y ∈ R и α, β — произвольные числа».
^ Перейти обратно: ^а ^б Вилански 2008 , с. 7.
^ Экслер (2014) с. 101, §3.92
^ Хелемский, А.Я. (2001) [1994], «Линейный функционал» , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Колмогоров и Фомин 1957 , стр. 62-63 «Вещественная функция в пространстве R - это отображение R в пространство R». ¹(настоящая линия). Так, например, отображение R ^н в Р ¹— обычная вещественная функция от n переменных. В том случае, когда само пространство R состоит из функций, функции элементов R обычно называют функционалами ».

Экслер, Шелдон (18 декабря 2014 г.), Правильно выполненная линейная алгебра , Тексты для студентов по математике (3-е изд.), Springer (опубликовано в 2015 г.), ISBN 978-3-319-11079-0
Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей Васильевич (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Дуврские книги. ISBN 978-1-61427-304-2 . OCLC 912495626 .
Ланг, Серж (2002), «III. Модули, §6. Двойственное пространство и двойственный модуль», Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 142–146, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 , Збл 0984.00001
Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4 . OCLC 227923899 .
Соболев, В.И. (2001) [1994], «Функционал» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Линейный функционал в n Lab
Нелинейный функционал в n Lab
Роуленд, Тодд. «Функциональный» . Математический мир .
Роуленд, Тодд. «Линейный функционал» . Математический мир .

[LangAlgebra2002DefFunctional-1] Ланг 2002 , с. 142 «Пусть E — свободный модуль над коммутативным кольцом A. Мы рассматриваем A как свободный модуль ранга 1 над самим собой. По двойственному модулю E ^∨модуля E будем понимать модуль Hom( E , A ). Его элементы будем называть функционалами . Таким образом, функционал на E — это A -линейное отображение f : E → A ».

[KolmogorovDefFunctionalOnLinearSpace-2] Колмогоров и Фомин 1957 , с. 77 «Числовая функция f ( x ), определенная на линейном нормированном пространстве R, будет называться функционалом . Функционал f ( x ) называется линейным, если f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ), где x , y ∈ R и α, β — произвольные числа».

[FOOTNOTEWilansky20087-3] Перейти обратно: ^а ^б Вилански 2008 , с. 7.

[Axler2015-4] Экслер (2014) с. 101, §3.92

[EOFLinearFunctional-5] Хелемский, А.Я. (2001) [1994], «Линейный функционал» , Энциклопедия математики , EMS Press

[KolmogorovDefFunctionalAsMapDefinedOnSetOfFunctions-6] Колмогоров и Фомин 1957 , стр. 62-63 «Вещественная функция в пространстве R - это отображение R в пространство R». ¹(настоящая линия). Так, например, отображение R ^н в Р ¹— обычная вещественная функция от n переменных. В том случае, когда само пространство R состоит из функций, функции элементов R обычно называют функционалами ».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]