Концентрация меры

В математике теория концентрация меры (около медианы ) — это принцип, который применяется в теории меры , вероятности и комбинаторике и имеет последствия для других областей, таких как пространства банахового . Неофициально он гласит: «Случайная величина, которая по- липшицевски зависит от многих независимых переменных (но не слишком сильно от какой-либо из них), по существу постоянна».

Явление концентрации меры было выдвинуто в начале 1970-х годов Виталием Мильманом в его работах по локальной теории банаховых пространств , расширив идею, восходящую к работам Поля Леви . Дальнейшее развитие оно получило в работах Мильмана и Громова , Морея , Пизье , Шехтмана , Талагранда , Леду и других.

Общая настройка

Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством с мерой $\mu$ на множествах Бореля с $\mu (X)=1$.Позволять

$\alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (X\setminus A_{\epsilon })\,|A{\mbox{ is a Borel set and}}\,\mu (A)\geq 1/2\right\},$

где

$A_{\epsilon }=\left\{x\,|\,d(x,A)<\epsilon \right\}$

это $\epsilon$- расширение (также называемое $\epsilon$-утолщение в контексте расстояния Хаусдорфа ) множества $A$.

Функция $\alpha (\cdot )$ называется скоростью концентрации пространства $X$. Следующее эквивалентное определение имеет множество применений:

$\alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq \mathop {M} +\epsilon \})\right\},$

где верхняя грань находится по всем 1-липшицевым функциям $F:X\to \mathbb {R}$, и медиана (или среднее Леви) $M=\mathop {\mathrm {Med} } F$ определяется неравенствами

$\mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.$

Неофициально пространство $X$ проявляет явление концентрации, если $\alpha (\epsilon )$ очень быстро распадается, так как $\epsilon$ растет. Более формально,семейство метрических пространств с мерой $(X_{n},d_{n},\mu _{n})$ называется семейством Леви, еслисоответствующие показатели концентрации $\alpha _{n}$ удовлетворить

$\forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\to 0{\rm {\;as\;}}n\to \infty ,$

и нормальная семья Леви, если

$\forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\leq C\exp(-cn\epsilon ^{2})$

для некоторых констант $c,C>0$. Примеры см. ниже.

Концентрация на сфере

Первый пример восходит к Полю Леви . Согласно сферическому изопериметрическому неравенству среди всех подмножеств $A$ сферы $S^{n}$ с заданной сферической мерой $\sigma _{n}(A)$, сферическая шапка

$\left\{x\in S^{n}|\mathrm {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},$

для подходящего $R$, имеет наименьший $\epsilon$-расширение $A_{\epsilon }$ (для любого $\epsilon >0$).

Применяя это к наборам мер $\sigma _{n}(A)=1/2$ (где $\sigma _{n}(S^{n})=1$), можно вывести следующее неравенство концентрации :

$\sigma _{n}(A_{\epsilon })\geq 1-C\exp(-cn\epsilon ^{2})$,

где $C,c$ являются универсальными константами. Поэтому $(S^{n})_{n}$ соответствуют приведенному выше определению нормальной семьи Леви.

Виталий Мильман применил этот факт к ряду задач локальной теории банаховых пространств, в частности, чтобы дать новое доказательство теоремы Дворецкого .

Концентрация меры в физике

Вся классическая статистическая физика основана на явлении концентрации меры:Фундаментальная идея («теорема») об эквивалентности ансамблей в термодинамическом пределе ( Гиббс , 1902 г.) и Эйнштейн , 1902-1904 гг. ) — это в точности теорема о концентрации тонких оболочек. Для каждой механической системы рассмотрим фазовое пространство, снабженное инвариантной мерой Лиувилля (фазовым объемом) и сохраняющее энергию E . Микроканонический ансамбль представляет собой не что иное, как инвариантное распределение по поверхности постоянной энергии E, полученное Гиббсом как предел распределений в фазовом пространстве с постоянной плотностью в тонких слоях между поверхностями состояний с энергией E и с энергией E+ΔE . Канонический ансамбль задается плотностью вероятности в фазовом пространстве (по фазовому объему) $\rho =e^{\frac {F-E}{kT}},$где величины F=const и T=const определяются условиями нормировки вероятности и заданным математическим ожиданием энергии E .

Когда число частиц велико, то разница между средними значениями макроскопических переменных для канонического и микроканонического ансамблей стремится к нулю, и их флуктуации оцениваются явно. при некоторых условиях регулярности энергетической функции Е. ( Эти результаты строго доказаны Хинчиным 1943) Простейший частный случай, когда Е есть сумма квадратов, был подробно известен еще до Хинчина и Леви и даже до Гиббса и Эйнштейна. Это распределение Максвелла-Больцмана энергии частиц в идеальном газе.

Микроканонический ансамбль очень естественен с наивной физической точки зрения: это всего лишь естественное равнораспределение на изоэнергетической гиперповерхности. Канонический ансамбль очень полезен из-за важного свойства: если система состоит из двух невзаимодействующих подсистем, т. е. если энергия E является суммой, $E=E_{1}(X_{1})+E_{2}(X_{2})$, где $X_{1},X_{2}$ являются состояниями подсистем, то состояния равновесия подсистем независимы, равновесное распределение системы есть произведение равновесных распределений подсистем с одинаковыми Т. Эквивалентность этих ансамблей лежит в основе механических основ термодинамики .

Другие примеры

• Неравенство Борелла – ТИС
• Гауссово изопериметрическое неравенство
• Неравенство Мак-Диармида
• Неравенство концентрации Талагранда
• Свойство асимптотического равнораспределения

Дальнейшее чтение

• Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2864-9 .
• Джаннопулос, А.А.; Мильман, В.Д. (2000). «Свойство концентрации в вероятностных пространствах» (PDF) . Достижения в математике . 156 : 77–106. дои : 10.1006/aima.2000.1949 .

Внешние ссылки

• Гусар, Ференц (9 ноября 2017 г.). «Распределение Гаусса — это мыльные пузыри» . – сообщение в блоге, иллюстрирующее одно из последствий концентрации мер