Симплектическое многообразие

В дифференциальной геометрии , предмете математики , симплектическое многообразие — это гладкое многообразие . $M$, снабженный замкнутым невырожденным дифференциалом 2-формы $\omega$, называемая симплектической формой. Изучение симплектических многообразий называется симплектической геометрией или симплектической топологией . Симплектические многообразия естественным образом возникают в абстрактных формулировках классической механики и аналитической механики как кокасательные расслоения многообразий. Например, в гамильтоновой формулировке классической механики, которая обеспечивает одну из основных мотиваций для этой области, набор всех возможных конфигураций системы моделируется как многообразие, и кокасательное расслоение этого многообразия описывает фазовое пространство системы.

Мотивация

Симплектические многообразия возникают из классической механики ; в частности, они являются обобщением фазового пространства замкнутой системы. Точно так же, как уравнения Гамильтона позволяют вывести эволюцию системы во времени из набора дифференциальных уравнений , симплектическая форма должна позволить получить векторное поле, описывающее течение системы, из дифференциального уравнения. $dH$ функции Гамильтона $H$. Итак, нам нужна линейная карта $TM\rightarrow T^{*}M$ из касательного многообразия $TM$ к котангенс-многообразию $T^{*}M$или, что то же самое, элемент $T^{*}M\otimes T^{*}M$. Сдача в аренду $\omega$ обозначаем часть ​ $T^{*}M\otimes T^{*}M$, требование, чтобы $\omega$ быть невырожденным, гарантирует, что для любого дифференциала $dH$ существует единственное соответствующее векторное поле $V_{H}$ такой, что $dH=\omega (V_{H},\cdot )$. Поскольку желательно, чтобы гамильтониан был постоянным вдоль линий тока, необходимо иметь $\omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0$, что означает, что $\omega$ является знакопеременной и, следовательно, является 2-формой. Наконец, выдвигается требование, чтобы $\omega$ не должна меняться под линиями тока, т.е. что производная Ли от $\omega$ вдоль $V_{H}$ исчезает. Применяя формулу Картана , это составляет (здесь $\iota _{X}$ это интерьерный продукт ):

${\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0$

так что, повторяя это рассуждение для разных гладких функций $H$ такой, что соответствующий $V_{H}$ охватывает касательное пространство в каждой точке, к которой применяется аргумент, мы видим, что требование исчезновения производной Ли вдоль потоков $V_{H}$ соответствующий произвольному гладкому $H$ эквивалентно ω замкнутости . требованию

Определение

Симплектическая форма на гладком многообразии $M$ является замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой $\omega$. Здесь невырожденность означает, что для каждой точки $p\in M$, кососимметричное спаривание в касательном пространстве $T_{p}M$ определяется $\omega$ является невырожденным. То есть, если существует $X\in T_{p}M$ такой, что $\omega (X,Y)=0$ для всех $Y\in T_{p}M$, затем $X=0$. Поскольку в нечетных измерениях кососимметричные матрицы всегда сингулярны, требование, чтобы $\omega$ быть невырожденным, означает, что $M$ имеет четный размер. Замкнутое состояние означает, что производная внешняя $\omega$ исчезает. Симплектическое многообразие – это пара $(M,\omega )$ где $M$ является гладким многообразием и $\omega$ является симплектической формой. Присвоение симплектической формы $M$ называется предоставлением $M$ структура симплектическая .

Примеры

Симплектические векторные пространства

Основная статья: Симплектическое векторное пространство

Позволять $\{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}$ быть основой для $\mathbb {R} ^{2n}.$ На этом основании мы определим нашу симплектическую форму ω следующим образом:

$\omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

В этом случае симплектическая форма сводится к простой квадратичной форме . Если I _n обозначает размера n × n, единичную матрицу то матрица Ω этой квадратичной формы представляет собой размером 2 n × 2 n блочную матрицу :

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.$

Котангенсные расслоения

Позволять $Q$ быть гладким многообразием размерности $n$. Тогда полное пространство коткасательного расслоения $T^{*}Q$ имеет естественную симплектическую форму, называемую двуформой Пуанкаре или канонической симплектической формой.

$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}$

Здесь $(q^{1},\ldots ,q^{n})$ есть ли локальные координаты на $Q$ и $(p_{1},\ldots ,p_{n})$ являются послойными координатами относительно кокасательных векторов $dq^{1},\ldots ,dq^{n}$. Кокасательные расслоения — это естественные фазовые пространства классической механики. Точка различения верхних и нижних индексов обусловлена ​​случаем, когда многообразие имеет метрический тензор , как это имеет место для римановых многообразий . Верхние и нижние индексы преобразуются контра и ковариантно при смене систем координат. Фраза «послойные координаты относительно котангенс векторов» призвана передать, что импульсы $p_{i}$ « припаяны » к скоростям $dq^{i}$. Пайка является выражением идеи о том, что скорость и импульс коллинеарны, поскольку они движутся в одном направлении и различаются масштабным коэффициентом.

Кэлеровые многообразия

Кэлерово многообразие — это симплектическое многообразие, снабженное совместимой интегрируемой комплексной структурой. Они образуют особый класс комплексных многообразий . Большой класс примеров взят из сложной алгебраической геометрии . Любое гладкое комплексное проективное многообразие $V\subset \mathbb {CP} ^{n}$ имеет симплектическую форму, которая является ограничением формы Фубини-Штюди на проективное пространство. $\mathbb {CP} ^{n}$.

Почти комплексные многообразия

Римановы многообразия с $\omega$-совместимые почти комплексные структуры называются почти комплексными многообразиями . Они обобщают кэлеровы многообразия, поскольку они не обязательно должны быть интегрируемыми . То есть они не обязательно возникают в результате сложной структуры многообразия.

Лагранжиан и другие подмногообразия

Существует несколько естественных геометрических понятий подмногообразия симплектического многообразия. $(M,\omega )$:

• Симплектические подмногообразия $M$ (потенциально любой четной размерности) являются подмногообразиями $S\subset M$ такой, что $\omega |_{S}$ является симплектической формой на $S$.
• Изотропные подмногообразия — это подмногообразия, в которых симплектическая форма сужается до нуля, т. е. каждое касательное пространство является изотропным подпространством касательного пространства объемлющего многообразия. Аналогично, если каждое касательное подпространство к подмногообразию коизотропно (двойственное изотропному подпространству), подмногообразие называется коизотропным .
• Лагранжевы подмногообразия симплектического многообразия $(M,\omega )$ являются подмногообразиями, в которых ограничение симплектической формы $\omega$ к $L\subset M$ исчезает, т.е. $\omega |_{L}=0$ и ${\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M$. Лагранжевы подмногообразия — это максимальные изотропные подмногообразия.

Одним из основных примеров является то, что график симплектоморфизма в произведении симплектического многообразия ( M × M , ω × − ω ) является лагранжевым. Их пересечения проявляют свойства жесткости, которыми не обладают гладкие многообразия; гипотеза Арнольда дает сумму чисел Бетти подмногообразия как нижнюю границу числа самопересечений гладкого лагранжева подмногообразия, а не эйлерову характеристику в гладком случае.

Примеры

Позволять $\mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}$ имеют глобальные координаты, отмеченные $(x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})$. Тогда мы сможем оборудовать $\mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}$ с канонической симплектической формой

$\omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.$

Существует стандартное лагранжево подмногообразие, заданное формулой $\mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}$. Форма $\omega$ исчезает на $\mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}$ потому что для любой пары касательных векторов $X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},$ у нас есть это $\omega (X,Y)=0.$ Для выяснения рассмотрим случай $n=1$. Затем, $X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},$ и $\omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$. Обратите внимание: когда мы расширяем это

$\omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))$

оба термина у нас есть $\mathrm {d} y(\partial _{x})$ коэффициент, который по определению равен 0.

Пример: расслоение котангенсов.

Кокасательное расслоение многообразия локально моделируется в пространстве, аналогичном первому примеру. Можно показать, что мы можем склеить эти аффинные симплектические формы, следовательно, это расслоение образует симплектическое многообразие. Менее тривиальный пример лагранжева подмногообразия — нулевое сечение кокасательного расслоения многообразия. Например, пусть

$X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.$

Тогда мы можем представить $T^{*}X$ как

$T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}$

где мы рассматриваем символы $\mathrm {d} x,\mathrm {d} y$ как координаты $\mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}$. Мы можем рассмотреть подмножество, где координаты $\mathrm {d} x=0$ и $\mathrm {d} y=0$, давая нам нулевую секцию. Этот пример можно повторить для любого многообразия, определяемого исчезающим множеством гладких функций. $f_{1},\dotsc ,f_{k}$ и их дифференциалы $\mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}$.

Пример: параметрическое подмногообразие

Рассмотрим каноническое пространство $\mathbb {R} ^{2n}$ с координатами $(q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})$. Параметрическое подмногообразие $L$ из $\mathbb {R} ^{2n}$ это тот, который параметризуется координатами $(u_{1},\dotsc ,u_{n})$ такой, что

$q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})$

Это многообразие является лагранжевым подмногообразием, если скобка Лагранжа $[u_{i},u_{j}]$ исчезает для всех $i,j$. То есть оно лагранжево, если

$[u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0$

для всех $i,j$. В этом можно убедиться, развернув

${\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}$

в условии лагранжева подмногообразия $L$. Это означает, что симплектическая форма должна исчезать на касательном многообразии. $TL$; то есть он должен исчезнуть для всех касательных векторов:

$\omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0$

для всех $i,j$. Упростите результат, воспользовавшись канонической симплектической формой на $\mathbb {R} ^{2n}$:

$\omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1$

и все остальные исчезают.

Поскольку локальные карты на симплектическом многообразии принимают каноническую форму, этот пример предполагает, что лагранжевы подмногообразия относительно неограничены. Классификация симплектических многообразий осуществляется с помощью гомологий Флоера — это приложение теории Морса к функционалу действия для отображений между лагранжевыми подмногообразиями. В физике действие описывает эволюцию физической системы во времени; здесь его можно понимать как описание динамики бран.

Пример: теория Морса

Другой полезный класс лагранжевых подмногообразий встречается в теории Морса . Учитывая функцию Морса $f:M\to \mathbb {R}$ и за достаточно небольшую $\varepsilon$ можно построить лагранжево подмногообразие, заданное исчезающим множеством $\mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M$. Для общей функции Морса у нас есть лагранжево пересечение, заданное формулой $M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)$.

См. также: симплектическая категория

Специальные лагранжевы подмногообразия

В случае многообразий Кэлера (или многообразий Калаби–Яу ) мы можем сделать выбор $\Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}$ на $M$ как голоморфная n-форма, где $\Omega _{1}$ это действительная часть и $\Omega _{2}$ воображаемый. Лагранжево подмногообразие $L$ называется специальным , если в дополнение к указанному выше условию Лагранжа выполняется ограничение $\Omega _{2}$ к $L$ исчезает. Другими словами, реальная часть $\Omega _{1}$ ограничено $L$ ведет форму тома на $L$. Следующие примеры известны как специальные лагранжевы подмногообразия:

1. комплексные лагранжевы подмногообразия гиперкелеровых многообразий ,
2. неподвижные точки вещественной структуры многообразий Калаби–Яу.

Гипотеза SYZ касается изучения специальных лагранжевых подмногообразий зеркальной симметрии ; см. ( Хитчин 1999 ).

Гипотеза Томаса–Яу предсказывает, что существование специальных лагранжевых подмногообразий на многообразиях Калаби–Яу в гамильтоновых изотопических классах лагранжианов эквивалентно устойчивости относительно условия устойчивости категории Фукая многообразия.

Лагранжево расслоение

Лагранжево расслоение симплектического многообразия M — это расслоение , все слои которого являются лагранжевыми подмногообразиями. Поскольку M четномерно, мы можем взять локальные координаты ( p ₁ ,..., p _n , q ¹ ,..., д ^н ), а по теореме Дарбу симплектическая форма ω может быть, по крайней мере локально, записана как ω = ∑ d p _k ∧ d q ^к , где d обозначает внешнюю производную , а ∧ обозначает внешнее произведение . Эта форма называется двуформой Пуанкаре или канонической двуформой. Используя эту схему, мы можем локально думать о M как о кокасательном расслоении. $T^{*}\mathbb {R} ^{n},$ а лагранжево расслоение как тривиальное расслоение $\pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$ Это каноническая картина.

Лагранжево отображение

Пусть L — лагранжево подмногообразие симплектического многообразия ( K ,ω), заданное погружением i : L ↪ K ( i называется лагранжевым погружением ). Пусть π : K ↠ B лагранжево расслоение K. задаёт Композиция ( π∘i B ) : L ↪ K ↠ лагранжевым является отображением . Набор значений критических π ∘ i называется каустикой .

Два лагранжевых отображения ( π ₁ ∘ i ₁ ) : L ₁ ↪ K ₁ ↠ B ₁ и ( π ₂ ∘ i ₂ ) : L ₂ ↪ K ₂ ↠ B ₂ называются лагранжево эквивалентными , если существуют диффеоморфизмы σ , τ и ν такие, что что обе части диаграммы, заданной справа, коммутируют и τ сохраняет симплектическую форму. Символически:

$\tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,$

где τ ^∗ ω ₂ обозначает ход ω 2 _. на τ обратный

Особые случаи и обобщения

• Симплектическое многообразие $(M,\omega )$ точна , если симплектическая форма $\omega$ это точно . Например, кокасательное расслоение гладкого многообразия является точным симплектическим многообразием. Каноническая симплектическая форма точна.
• Симплектическое многообразие, наделенное метрикой , совместимой с симплектической формой, является почти кэлеровым многообразием в том смысле, что касательное расслоение имеет почти комплексную структуру , но оно не обязательно должно быть интегрируемым .
• Симплектические многообразия являются частными случаями пуассоновского многообразия .
• Мультисимплектическим многообразием степени k называется многообразие, снабженное замкнутой невырожденной k -формой.
• Полисимплектическое многообразие — это лежандрово расслоение, снабженное полисимплектическим касательным $(n+2)$-форма; он используется в гамильтоновой теории поля .

См. также

• Почти симплектическое многообразие - дифференцируемое многообразие, снабженное невырожденными (но не обязательно замкнутыми) страницами двух форм, отображающими описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Контактное многообразие — раздел геометрии. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления — нечетномерный аналог симплектического многообразия.
• Ковариантная гамильтонова теория поля - формализм в классической теории поля, основанный на гамильтоновой механике. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Многообразие Федосова - симплектическое многообразие, оснащенное связностью без кручения. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Скобка Пуассона - Операция в гамильтоновой механике
• Симплектическая группа – Математическая группа
• Симплектическая матрица - математическое понятие
• Симплектическая топология - раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Симплектическое векторное пространство . Математическая концепция.
• Симплектоморфизм - Изоморфизм симплектических многообразий.
• Тавтологическая одна форма - каноническая дифференциальная форма, определенная на коткасательном расслоении гладкого многообразия. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Неравенство Виртингера (2-формы) - неравенство, применимое к 2-формам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Общие и цитируемые ссылки

• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Оксфордские математические монографии. ISBN  0-19-850451-9 .
• Ору, Дени . «Семинар по зеркальной симметрии» .
• Майнренкен, Экхард . «Симплектическая геометрия» (PDF) .
• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. См. раздел 3.2. ISBN  0-8053-0102-Х .
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-7574-4 .
• Алан Вайнштейн (1971). «Симплектические многообразия и их лагранжевы подмногообразия» . Достижения в математике . 6 (3): 329–46. дои : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .
• Арнольд, VI (1990). «Гл.1, Симплектическая геометрия». Особенности каустик и волновых фронтов . Математика и ее приложения. Том. 62. Дордрехт: Springer Нидерланды. дои : 10.1007/978-94-011-3330-2 . ISBN  978-1-4020-0333-2 . ОСЛК   22509804 .

Дальнейшее чтение

• Дунин-Барковский, Петр (2022). «Симплектическая двойственность для топологической рекурсии». arXiv : 2206.14792 [ math-ph ].
• «Как найти лагранжевы подмногообразия» . Обмен стеками . 17 декабря 2014 г.
• Люмист, Ю. (2001) [1994], «Симплектическая структура» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Сарданашвили, Г. (2009). «Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа». Лекции для теоретиков . arXiv : 0908.1886 .
• Макдафф, Д. (ноябрь 1998 г.). «Симплектические структуры — новый подход к геометрии» (PDF) . Уведомления АМС .
• Хитчин, Найджел (1999). «Лекции по специальным лагранжевым подмногообразиям». arXiv : математика/9907034 .