скобка Лагранжа

Скобки Лагранжа — это определенные выражения, тесно связанные со скобками Пуассона , которые были введены Жозефом Луи Лагранжем в 1808–1810 годах для целей математической формулировки классической механики , но, в отличие от скобок Пуассона, вышли из употребления.

Определение

Предположим, что ( , _pn ..., , ₎ p1 , _q1 ..., qn _— система канонических координат в фазовом пространстве . Если каждый из них выражается как функция двух переменных u и v , то скобка Лагранжа u и v определяется формулой

[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).

Характеристики

Скобки Лагранжа не зависят от системы канонических координат ( q , p ). Если ( Q , P ) = ( Q ₁ , ..., Q _n , P ₁ , ..., P _n ) — другая система канонических координат, так что

Q=Q(q,p),P=P(q,p)

является каноническим преобразованием , то скобка Лагранжа является инвариантом преобразования в том смысле, что

[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}

Поэтому индексы, указывающие канонические координаты, часто опускаются.

Если Ω является симплектической формой на 2n -мерном фазовом пространстве W и u ₁ ,..., u _2n образуют систему координат на W , симплектическую форму можно записать как

\Omega ={\frac {1}{2}}\Omega _{ij}du^{i}\wedge du^{j}

где матрица

\Omega _{ij}=[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n

::

представляет компоненты

Ω

, рассматриваемые как тензор , в координатах u . Эта матрица является обратной матрице, образованной скобками Пуассона

\left(\Omega ^{-1}\right)_{ij}=\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n

координат u .

Как следствие предыдущих свойств, координаты ( Q ₁ , ..., Q _n , P ₁ , ..., P _n ) в фазовом пространстве являются каноническими тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид

[Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.

Матрица Лагранжа в канонических преобразованиях

Понятие скобок Лагранжа можно расширить до понятия матриц, определив матрицу Лагранжа.

Рассмотрим следующее каноническое преобразование: $\eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}$

Определение ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ , матрица Лагранжа определяется как ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ , где $J$ представляет собой симплектическую матрицу согласно тем же соглашениям, которые используются для упорядочения набора координат. Из определения следует, что:

${\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[M^{T}JM]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }$

Матрица Лагранжа удовлетворяет следующим известным свойствам: ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{T}&=-{\mathcal {L}}\\|{\mathcal {L}}|&={|M|^{2}}\\{\mathcal {L}}^{-1}(\eta )&=-M^{-1}J(M^{-1})^{T}=-{\mathcal {P}}(\eta )\\\end{aligned}}$ где ${\textstyle {\mathcal {P}}(\eta )}$ известна как матрица Пуассона, элементы которой соответствуют скобкам Пуассона . Последнее тождество также можно сформулировать следующим образом: $\sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}$ Обратите внимание, что здесь суммирование включает как обобщенные координаты, так и обобщенный импульс.

Инвариантность скобки Лагранжа можно выразить как: ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ , что непосредственно приводит к симплектическому условию: ${\textstyle M^{T}JM=J}$ . ^[1]

См. также

Ссылки

^ Джакалья, Джорджио Э.О. (1972). Методы возмущений в нелинейных системах . Прикладные математические науки. Нью-Йорк, Гейдельберг: Спрингер. стр. 8–9. ISBN 978-3-540-90054-2 .

Корнелиус Ланцос , Вариационные принципы механики , Дувр (1986), ISBN 0-486-65067-7 .
Иглесиас, Патрик, Les origines du Calcul Symlectique Chez Lagrange [Истоки симплектического исчисления в творчестве Лагранжа], L'Enseign. Математика. (2) 44 (1998), вып. 3–4, 257–277. МИСТЕР 1659212

Внешние ссылки

Эрик В. Вайсштейн . «скобка Лагранжа» . Математический мир .
А. П. Солдатов (2001) [1994], «Скобка Лагранжа» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] Джакалья, Джорджио Э.О. (1972). Методы возмущений в нелинейных системах . Прикладные математические науки. Нью-Йорк, Гейдельберг: Спрингер. стр. 8–9. ISBN 978-3-540-90054-2 .

[1]