Гиперкэлерово многообразие

В дифференциальной геометрии гиперкэлерово многообразие — это риманово многообразие. $(M,g)$ наделен тремя интегрируемыми почти сложными структурами $I,J,K$ кэлеровы метрики относительно римановой $g$ и удовлетворять кватернионным отношениям $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1$ . В частности, это гиперкомплексное многообразие . Все гиперкэлеровы многообразия являются Риччи-плоскими и, следовательно, являются Калаби–Яу . многообразиями ^{[ а ]}

Гиперкэлеровы многообразия были определены Эухенио Калаби в 1979 году. ^{[ 1 ]}

Ранняя история

Марселя Бергера 1955 года Статья ^{[ 2 ]} по классификации римановых групп голономии впервые поднял вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp( n )·Sp(1). Интересные результаты были доказаны в середине 1960-х годов в новаторской работе Эдмонда Бонана. ^{[ 3 ]} и Крайнес ^{[ 4 ]} которые независимо доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму $\Omega$ .Опубликован долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца ^{[ 5 ]} в 1982 году: $\Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.$

Эквивалентное определение с точки зрения голономии

Эквивалентно, гиперкэлерово многообразие является римановым многообразием. $(M,g)$ размера $4n$ которого группа голономии содержится в компактной симплектической группе $Sp(n)$ . ^{[ 1 ]}

Действительно, если $(M,g,I,J,K)$ является гиперкелеровым многообразием, то касательное пространство $T x M$ является кватернионным векторным пространством для каждой точки $x$ из $M$ , т. е. оно изоморфно $\mathbb {H} ^{n}$ для некоторого целого числа $n$ , где $\mathbb {H}$ — алгебра кватернионов . Компактную симплектическую группу $Sp(n)$ можно рассматривать как группу ортогональных преобразований $\mathbb {H} ^{n}$ линейны относительно $I$ , $J$ и $K.$ которые Отсюда следует, что группа голономии риманова многообразия $(M,g)$ содержится в $Sp(n)$ . Обратно, если группа голономии риманова многообразия $(M,g)$ размера $4n$ содержится в $Sp(n)$ , выберите комплексные структуры $I x$ , $J x$ и $K x$ на $T x M$ , которые превращают $T x M$ в кватернионное векторное пространство. Параллельная транспортировка этих сложных структур дает требуемые сложные структуры. $I,J,K$ о $М$ создании $(M,g,I,J,K)$ в гиперкэлерово многообразие.

Две сферы сложных структур

Каждое гиперкэлерово многообразие $(M,g,I,J,K)$ имеет 2-сферу комплексных структур, относительно которой метрика $g$ это Келер . Действительно, для любых действительных чисел $a,b,c$ такой, что

a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,

линейная комбинация

aI+bJ+cK\,

представляет собой сложную структуру , которая является кэлеровой по отношению к $g$ . Если $\omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}$ обозначает кэлеровы формы $(g,I),(g,J),(g,K)$ соответственно, то кэлерова форма $aI+bJ+cK$ является

a\omega _{I}+b\omega _{J}+c\omega _{K}.

Голоморфная симплектическая форма

Гиперкэлерово многообразие $(M,g,I,J,K)$ , рассматриваемый как комплексное многообразие $(M,I)$ , голоморфно симплектичен (наделен голоморфной невырожденной замкнутой 2-формой). Точнее, если $\omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}$ обозначает кэлеровы формы $(g,I),(g,J),(g,K)$ , соответственно, тогда

\Omega :=\omega _{J}+i\omega _{K}

голоморфно симплектичен относительно $I$ .

И наоборот, Шинг-Тунг Яу из доказательства гипотезы Калаби следует, что голоморфно симплектическое компактное кэлерово многообразие $(M,I,\Omega )$ всегда снабжено совместимой метрикой гиперкэлера. ^{[ 6 ]} Такая метрика единственна в данном кэлеровом классе. Компактные гиперкелеровые многообразия широко изучались с использованием методов алгебраической геометрии , иногда под названием голоморфно симплектических многообразий . Группа голономии любой метрики Калаби–Яу на односвязном компактном голоморфно симплектическом многообразии комплексной размерности. $2n$ с $H^{2,0}(M)=1$ в точности $Sp(n)$ ; и если вместо этого односвязное многообразие Калаби–Яу имеет $H^{2,0}(M)\geq 2$ , это просто риманово произведение гиперкэлеровых многообразий меньшей размерности. Этот факт непосредственно следует из формулы Бохнера для голоморфных форм на кэлеровом многообразии, а также из классификации Бергера групп голономии ; по иронии судьбы, его часто приписывают Богомолову, который ошибочно утверждал в той же статье, что компактных гиперкелеровых многообразий на самом деле не существует!

Примеры

Для любого целого числа $n\geq 1$ , пространство $\mathbb {H} ^{n}$ из $n$ -кортеж кватернионов , наделенный плоской евклидовой метрикой, является гиперкэлеровым многообразием. Первый обнаруженный нетривиальный пример — это метрика Эгучи–Хэнсона на кокасательном расслоении. $T^{*}S^{2}$ двухсферы . Его также независимо обнаружил Эудженио Калаби , который показал более общее утверждение о том, что котангенсное расслоение $T^{*}\mathbb {CP} ^{n}$ любого комплексного проективного пространства имеет полную гиперкэлерову метрику. ^{[ 1 ]} В более общем смысле Бирте Фейкс и Дмитрий Каледин показали, что кокасательное расслоение любого кэлерова многообразия имеет гиперкэлерову структуру в окрестности своего нулевого сечения , хотя оно, как правило, неполное. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Благодаря Кунихико Кодайры классификации комплексных поверхностей мы знаем, что любое компактное гиперкелерово 4-многообразие является либо поверхностью K3 , либо компактным тором. $T^{4}$ . (Каждое многообразие Калаби–Яу в 4 (вещественных) измерениях является гиперкэловым многообразием, поскольку $SU(2)$ изоморфно $Sp(1)$ .)

Как обнаружил Бовилль, ^{[ 6 ]} Схема Гильберта точек $k$ на компактном гиперкелеровом 4-многообразии является гиперкэловым многообразием размерности $4k$ . Это порождает две серии компактных примеров: схемы Гильберта точек на поверхности К3 и обобщенные многообразия Куммера .

Некомпактные полные гиперкэлеровы 4-многообразия, асимптотические к $H / G$ , где $H$ обозначает кватернионы , а $G$ - конечная подгруппа Sp $(1)$ , известны как асимптотически локально евклидовы или ALE пространства. Эти пространства и различные обобщения, включающие различное асимптотическое поведение, изучаются в физике под названием гравитационные инстантоны . Анзац Гиббонса – Хокинга дает примеры, инвариантные относительно действия окружности.

Многие примеры некомпактных гиперкелеровых многообразий возникают как пространства модулей решений некоторых уравнений калибровочной теории, которые возникают в результате размерной редукции антисамодвойственных уравнений Янга – Миллса : пространства инстантонных модулей, ^{[ 9 ]} пространства монопольных модулей , ^{[ 10 ]} пространства решений Хитчина Найджела уравнений самодуальности на римановых поверхностях , ^{[ 11 ]} пространство решений уравнений Нама . Другой класс примеров - Накадзима разновидности колчана . ^{[ 12 ]} которые имеют большое значение в теории представлений.

Когомологии

Курносов, Солдатенков и Вербицкий (2019) показывают, что когомологии любого компактного гиперкелерового многообразия вкладываются в когомологии тора таким образом, что сохраняется структура Ходжа .

Примечания

^ В этом легко убедиться, заметив, что $Sp(n)$ является подгруппой специальной унитарной группы $SU(2 n)$ .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Калаби, Эухенио (1979). «Кэлеровы метрики и голоморфные расслоения» . Научные анналы Высшей нормальной школы . Четвертая серия, 12 (2): 269–294. дои : 10.24033/asens.1367 .
^ Бергер, Марсель (1955). «О группах голономии аффинно-связных многообразий и римановых многообразий» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 83 : 279–330. дои : 10.24033/bsmf.1464 .
^ Бонан, Эдмонд (1965). «Почти четверичная структура на дифференцируемом многообразии». Доклады Академии наук . 261 :5445–8.
^ Крейнс, Вивиан Йо (1966). «Топология кватернионных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR 1994553 .
^ Бонан, Эдмонд (1982). «О внешней алгебре кватернионного почти эрмитова многообразия». Известия Академии наук . 295 : 115–118.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бовилль, А. Кэлеровы многообразия, первый класс Черна которых равен нулю. Дж. Дифференциальная геометрия. 18 (1983), вып. 4, 755–782 (1984).
^ Фейкс, Б. Метрики Гиперкелера на кокасательных расслоениях. Дж. Рейн Анжью. Математика. 532 (2001), 33–46.
^ Каледин, Д. Каноническая гиперкелерова метрика на всем пространстве кокасательного расслоения. Кватернионные структуры в математике и физике (Рим, 1999), 195–230, Univ. Студи Рома «Ла Сапиенца», Рим, 1999 год.
^ Мачиосия, А. Метрики в пространствах модулей инстантонов над евклидовым 4-мерным пространством. Комм. Математика. Физ. 135 (1991), вып. 3, 467–482.
^ Атья, М.; Хитчин Н. Геометрия и динамика магнитных монополей. Лекции М.Б. Портера. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1988.
^ Хитчин, Н. Уравнения самодуальности на римановой поверхности. Учеб. Лондонская математика. Соц. (3) 55 (1987), вып. 1, 59–126.
^ Накадзима, Х. Инстантоны в пространствах ALE, многообразиях колчанов и алгебрах Каца-Муди. Герцог Мат. Дж. 76 (1994), вып. 2, 365–416.

Дунайский, Мацей; Мейсон, Лайонел Дж. (2000), «Гиперкэлеровы иерархии и их твисторная теория», Communications in Mathematical Physics , 213 (3): 641–672, arXiv : math/0001008 , Bibcode : 2000CMaPh.213..641D , doi : 10.1007/PL00005532 , MR 1785432 , S2CID 17884816
Киран Г. О'Грейди, (2011) « Высшие аналоги поверхностей K3 » . MR2931873
Хитчин, Найджел (1991–1992), «Гиперкелеровые многообразия» , Семинар Н. Бурбаки , 34 (Доклад № 748): 137–166, MR 1206066
Курсов, Никон; Солдатенков Андрей; Вербицкий, Миша (2019), «Конструкция Куга-Сатаке и когомологии гиперболических многообразий», Успехи в математике , 351 : 275–295, arXiv : 1703.07477 , doi : 10.1016/j.aim.2019.04.060 , MR 3952121 , S2CID

[1] В этом легко убедиться, заметив, что $Sp(n)$ является подгруппой специальной унитарной группы $SU(2 n)$ .

[calabi-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Калаби, Эухенио (1979). «Кэлеровы метрики и голоморфные расслоения» . Научные анналы Высшей нормальной школы . Четвертая серия, 12 (2): 269–294. дои : 10.24033/asens.1367 .

[3] Бергер, Марсель (1955). «О группах голономии аффинно-связных многообразий и римановых многообразий» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 83 : 279–330. дои : 10.24033/bsmf.1464 .

[4] Бонан, Эдмонд (1965). «Почти четверичная структура на дифференцируемом многообразии». Доклады Академии наук . 261 :5445–8.

[5] Крейнс, Вивиан Йо (1966). «Топология кватернионных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR 1994553 .

[6] Бонан, Эдмонд (1982). «О внешней алгебре кватернионного почти эрмитова многообразия». Известия Академии наук . 295 : 115–118.

[beauville-7] Перейти обратно: ^а ^б Бовилль, А. Кэлеровы многообразия, первый класс Черна которых равен нулю. Дж. Дифференциальная геометрия. 18 (1983), вып. 4, 755–782 (1984).

[8] Фейкс, Б. Метрики Гиперкелера на кокасательных расслоениях. Дж. Рейн Анжью. Математика. 532 (2001), 33–46.

[9] Каледин, Д. Каноническая гиперкелерова метрика на всем пространстве кокасательного расслоения. Кватернионные структуры в математике и физике (Рим, 1999), 195–230, Univ. Студи Рома «Ла Сапиенца», Рим, 1999 год.

[10] Мачиосия, А. Метрики в пространствах модулей инстантонов над евклидовым 4-мерным пространством. Комм. Математика. Физ. 135 (1991), вып. 3, 467–482.

[11] Атья, М.; Хитчин Н. Геометрия и динамика магнитных монополей. Лекции М.Б. Портера. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1988.

[12] Хитчин, Н. Уравнения самодуальности на римановой поверхности. Учеб. Лондонская математика. Соц. (3) 55 (1987), вып. 1, 59–126.

[13] Накадзима, Х. Инстантоны в пространствах ALE, многообразиях колчанов и алгебрах Каца-Муди. Герцог Мат. Дж. 76 (1994), вып. 2, 365–416.

[ а ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Eleven-dimensional supergravity Type I supergravity Type IIA supergravity Type IIB supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach