Polyakov action

В физике действие Полякова — это действие двумерной конформной теории поля, описывающее мировой лист струны в теории струн . Он был представлен Стэнли Дезером и Бруно Зумино и независимо Л. Бринк , П. Ди Веккья и П.С. Хоу в 1976 году. и стал ассоциироваться с Александром Поляковым после того, как он использовал его при квантовании струны в 1981 году. В акции говорится:

${\mathcal {S}}={\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma ),$

где $T$ струны это натяжение , $g_{\mu \nu }$ — метрика целевого многообразия , $h_{ab}$ это метрика мирового листа, $h^{ab}$ его инверсия, и $h$ является определяющим фактором $h_{ab}$. Сигнатура метрики выбирается так, что времениподобные направления — +, а пространственноподобные — —. Пространственноподобная координата мирового листа называется $\sigma$, тогда как времяподобная координата мирового листа называется $\tau$. Это также известно как нелинейная сигма-модель .

Для описания колебаний струны действие Полякова необходимо дополнить действием Лиувилля .

Глобальные симметрии

NB: Здесь симметрия называется локальной или глобальной с точки зрения двумерной теории (на мировом листе). Например, преобразования Лоренца, являющиеся локальными симметриями пространства-времени, являются глобальными симметриями теории на мировом листе.

Действие инвариантно относительно сдвигов пространства-времени и бесконечно малых преобразований Лоренца.

1. $X^{\alpha }\to X^{\alpha }+b^{\alpha },$
2. $X^{\alpha }\to X^{\alpha }+\omega _{\ \beta }^{\alpha }X^{\beta },$

где $\omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }$, и $b^{\alpha }$ является константой. Это формирует симметрию Пуанкаре целевого многообразия.

Инвариантность относительно (i) следует из того, что действие ${\mathcal {S}}$ зависит только от первой производной $X^{\alpha }$. Доказательство инвариантности согласно (ii) заключается в следующем:

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}'&={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }\partial _{a}\left(X^{\mu }+\omega _{\ \delta }^{\mu }X^{\delta }\right)\partial _{b}\left(X^{\nu }+\omega _{\ \delta }^{\nu }X^{\delta }\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\omega _{\nu \delta }\partial _{a}X^{\delta }\partial _{b}X^{\nu }\right)+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }+\omega _{\delta \mu }\right)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right).\end{aligned}}$

Локальные симметрии

Действие инвариантно относительно диффеоморфизмов мирового листа (или преобразований координат) и преобразований Вейля .

Диффеоморфизмы

Предположим следующее преобразование:

$\sigma ^{\alpha }\rightarrow {\tilde {\sigma }}^{\alpha }\left(\sigma ,\tau \right).$

Он преобразует метрический тензор следующим образом:

$h^{ab}(\sigma )\rightarrow {\tilde {h}}^{ab}=h^{cd}({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial {\sigma }^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial {\sigma }^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}.$

Это можно увидеть:

${\tilde {h}}^{ab}{\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial \sigma ^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{cd}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial \sigma ^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial \sigma ^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}{\frac {\partial }{\partial \sigma ^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{ab}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }}).$

Известно, что якобиан этого преобразования определяется выражением

$\mathrm {J} =\operatorname {det} \left({\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}{\partial \sigma ^{\beta }}}\right),$

что приводит к

${\begin{aligned}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}&=\mathrm {J} \mathrm {d} ^{2}\sigma \\h&=\operatorname {det} \left(h_{ab}\right)\\\Rightarrow {\tilde {h}}&=\mathrm {J} ^{2}h,\end{aligned}}$

и человек это видит

${\sqrt {-{\tilde {h}}}}\mathrm {d} ^{2}{\sigma }={\sqrt {-h\left({\tilde {\sigma }}\right)}}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}.$

Подводя итог этой трансформации и перемаркировке ${\tilde {\sigma }}=\sigma$, мы видим, что действие инвариантно.

Преобразование Вейля

Предположим, что преобразование Вейля :

$h_{ab}\to {\tilde {h}}_{ab}=\Lambda (\sigma )h_{ab},$

затем

${\begin{aligned}{\tilde {h}}^{ab}&=\Lambda ^{-1}(\sigma )h^{ab},\\\operatorname {det} \left({\tilde {h}}_{ab}\right)&=\Lambda ^{2}(\sigma )\operatorname {det} (h_{ab}).\end{aligned}}$

И наконец:

${\mathcal {S}}',$	$={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-{\tilde {h}}}}{\tilde {h}}^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma ),$
	$={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}\left(\Lambda \Lambda ^{-1}\right)h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )={\mathcal {S}}.$

И можно видеть, что действие инвариантно относительно преобразования Вейля . Если мы рассмотрим n -мерные (пространственно) протяженные объекты, действие которых пропорционально площади/гиперплощади их мирового листа, если только n = 1, соответствующее действие Полякова будет содержать еще один член, нарушающий симметрию Вейля.

можно определить Тензор энергии-импульса :

$T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}.$

Давайте определим:

${\hat {h}}_{ab}=\exp \left(\phi (\sigma )\right)h_{ab}.$

В силу симметрии Вейля действие не зависит от $\phi$:

${\frac {\delta S}{\delta \phi }}={\frac {\delta S}{\delta {\hat {h}}_{ab}}}{\frac {\delta {\hat {h}}_{ab}}{\delta \phi }}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{ab}\,e^{\phi }\,h^{ab}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{\ a}^{a}\,e^{\phi }=0\Rightarrow T_{\ a}^{a}=0,$

где мы использовали правило функциональной производной цепи.

Связь с действием Намбу – Гото

Запись уравнения Эйлера–Лагранжа для метрического тензора $h^{ab}$ получается, что

${\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0.$

Зная также, что:

$\delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}.$

Можно записать вариационную производную действия:

${\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right),$

где $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$, что приводит к

${\begin{aligned}T_{ab}&=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0,\\G_{ab}&={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd},\\G&=\operatorname {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}.\end{aligned}}$

Если вспомогательный мирового листа метрический тензор ${\sqrt {-h}}$ рассчитывается из уравнений движения:

${\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}$

и заменив его обратно на действие, оно становится действием Намбу-Гото :

$S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}.$

Однако действие Полякова легче квантовать, поскольку оно линейно .

Уравнения движения

Используя диффеоморфизмы и преобразование Вейля с целевым пространством Минковского , можно выполнить физически незначительное преобразование ${\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}$, записывая таким образом действие в конформной калибровке :

${\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-\eta }}\eta ^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right),$

где $\eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$.

Имея в виду, что $T_{ab}=0$ можно вывести ограничения:

${\begin{aligned}T_{01}&=T_{10}={\dot {X}}X'=0,\\T_{00}&=T_{11}={\frac {1}{2}}\left({\dot {X}}^{2}+X'^{2}\right)=0.\end{aligned}}$

Замена $X^{\mu }\to X^{\mu }+\delta X^{\mu }$, получается

${\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}\delta X_{\mu }\\&=-T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }\delta X_{\mu }+\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =\pi }-\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =0}\\&=0.\end{aligned}}$

И следовательно

$\square X^{\mu }=\eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }=0.$

Граничные условия, удовлетворяющие второй части вариации действия, следующие.

• Закрытые строки:

  Периодические граничные условия : $X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma ).$

• Открытые строки:
  1. Граничные условия Неймана : $\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0.$
  2. Граничные условия Дирихле : $X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }.$

Работа в координатах светового конуса $\xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma$, мы можем переписать уравнения движения как

${\begin{aligned}\partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }&=0,\\(\partial _{+}X)^{2}=(\partial _{-}X)^{2}&=0.\end{aligned}}$

Таким образом, решение можно записать в виде $X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})$, и тензор энергии-импульса теперь диагональный. Путем расширения Фурье решения и наложения канонических коммутационных соотношений на коэффициенты применение второго уравнения движения мотивирует определение операторов Вирасоро и приводит к ограничениям Вирасоро , которые исчезают при воздействии на физические состояния.

См. также

• D-брана
• Действие Эйнштейна – Гильберта

Дальнейшее чтение

• Полчинский (ноябрь 1994 г.). Что такое теория струн , NSF-ITP-94-97, 153 стр., arXiv:hep-th/9411028v1 .
• Оогури, Инь (февраль 1997 г.). Лекции TASI по пертурбативным теориям струн , UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80 стр., arXiv:hep-th/9612254v3 .