Квантование (физика)

В физике квантовая квантование (в американском английском quantization ) — это систематическая процедура перехода от классического понимания физических явлений к более новому пониманию, известному как механика . Это процедура построения квантовой механики на основе классической механики . Обобщением, включающим бесконечные степени свободы, является квантование поля , как в случае с «квантованием электромагнитного поля », где фотоны называются « квантами » поля (например, квантами света ). Эта процедура является основой теорий атомной физики , химии, физики элементарных частиц , ядерной физики , физики конденсированного состояния и квантовой оптики .

Исторический обзор [ править ]

В 1901 году, когда Макс Планк разрабатывал функцию распределения статистической механики для решения проблемы ультрафиолетовой катастрофы , он понял, что свойства излучения абсолютно черного тела можно объяснить, предположив, что количество энергии должно выражаться в счетных фундаментальных единицах, т.е. энергия не непрерывна, а дискретна . То есть существует минимальная единица энергии и выполняется следующее соотношение $E=h\nu$ для частоты $\nu$ . Здесь, $h$ называется постоянной Планка и представляет собой величину квантовомеханического эффекта. Это означает фундаментальное изменение математической модели физических величин.

В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал статью «Об эвристической точке зрения на излучение и преобразование света», в которой объяснил фотоэлектрический эффект на квантованные электромагнитные волны . ^[1] , Квант энергии упомянутый в этой статье, позже был назван « фотоном ». В июле 1913 года Нильс Бор применил квантование для описания спектра атома водорода в своей статье «О строении атомов и молекул».

Предыдущие теории оказались успешными, но это очень феноменологические теории. Однако французский математик Анри Пуанкаре впервые дал систематическое и строгое определение того, что такое квантование, в своей статье 1912 года «Sur la theorie des quanta». ^[2]^[3]

Термин «квантовая физика» впервые был использован в книге Джонстона « Вселенная Планка в свете современной физики» . (1931).

Каноническое квантование [ править ]

Каноническое квантование развивает квантовую механику из классической механики . Вводится соотношение коммутации между каноническими координатами . Технически координаты преобразуются в операторы посредством комбинации операторов создания и уничтожения . Операторы действуют на квантовые состояния теории. Состояние с самой низкой энергией называется состоянием вакуума .

Схемы квантования [ править ]

Даже в рамках канонического квантования существуют трудности, связанные с квантованием произвольных наблюдаемых в классическом фазовом пространстве. Это неоднозначность порядка : классически переменные положения и импульса x и p коммутируют, а их аналоги в квантовой механике — нет. различные схемы квантования . Для разрешения этой двусмысленности были предложены ^[4] из которых наиболее популярной является схема квантования Вейля . Тем не менее, теорема Гроневольда-Ван Хова утверждает, что идеальной схемы квантования не существует. В частности, если квантование x и p считается обычными операторами положения и импульса, то никакая схема квантования не сможет идеально воспроизвести отношения скобок Пуассона среди классических наблюдаемых. ^[5] см . в теореме Грюневолда Одну версию этого результата .

Ковариантное каноническое квантование

Существует способ выполнить каноническое квантование, не прибегая к нековариантному подходу расслоения пространства-времени и выбора гамильтониана . Этот метод основан на классическом действии, но отличается от подхода функционального интеграла.

Метод применим не ко всем возможным действиям (например, действиям с непричинной структурой или действиям с калибровочными «потоками» ). Все начинается с классической алгебры всех (гладких) функционалов в конфигурационном пространстве. Эта алгебра факторизуется по идеалу, порожденному уравнениями Эйлера–Лагранжа . Затем эта факторалгебра преобразуется в алгебру Пуассона путем введения скобки Пуассона, выводимой из действия, называемой скобкой Пайерлса . Эта алгебра Пуассона затем ℏ -деформируется так же, как и при каноническом квантовании.

В квантовой теории поля также есть способ квантовать действия с помощью калибровочных «потоков» . Он включает в себя формализм Баталина-Вилковиского , расширение формализма БРСТ .

Квантование деформации [ править ]

Одной из первых попыток естественного квантования было квантование Вейля, предложенное Германом Вейлем в 1927 году. ^[6] Здесь делается попытка связать квантовомеханическую наблюдаемую (самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве) с действительной функцией в классическом фазовом пространстве. Положение и импульс в этом фазовом пространстве отображаются в генераторы группы Гейзенберга, а гильбертово пространство появляется как групповое представление группы Гейзенберга. В 1946 году Г. Дж. Гроневолд ^[7] рассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и спросил, какой будет соответствующая функция в классическом фазовом пространстве. Это привело его к открытию звездного произведения пары функций в фазовом пространстве.В более общем смысле этот метод приводит к квантованию деформации, при котором ★-произведение считается деформацией алгебры функций на симплектическом многообразии или многообразии Пуассона. Однако как естественная схема квантования ( функтор ) карта Вейля неудовлетворительна.

Например, отображение Вейля классического квадрата углового момента - это не просто квантовый оператор квадрата углового момента, но также содержит постоянный член 3ħ ²/ 2 . (Это дополнительное смещение члена имеет педагогическое значение, поскольку оно объясняет ненулевой угловой момент боровской орбиты основного состояния в атоме водорода, даже несмотря на то, что стандартное основное состояние атома КМ имеет нулевой $l$ .) ^[8]

Однако как простое изменение представления карта Вейля полезна и важна, поскольку она лежит в основе альтернативной формулировки эквивалентного фазового пространства традиционной квантовой механики.

квантование Геометрическое

В математической физике геометрическое квантование — это математический подход к определению квантовой теории, соответствующей данной классической теории. Он пытается осуществить квантование, для которого вообще не существует точного рецепта, таким образом, чтобы определенные аналогии между классической теорией и квантовой теорией оставались очевидными. Например, должно быть встроено сходство между уравнением Гейзенберга в картине Гейзенберга в квантовой механике и уравнением Гамильтона в классической физике.

Более геометрический подход к квантованию, в котором классическое фазовое пространство может быть общим симплектическим многообразием, был разработан в 1970-х годах Бертрамом Костантом и Жаном-Мари Сурио . Метод протекает в два этапа. ^[9] Во-первых, однажды строит «предквантовое гильбертово пространство», состоящее из интегрируемых с квадратом функций (или, точнее, секций линейного расслоения) над фазовым пространством. Здесь можно построить операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям, в точности соответствующим классическим соотношениям скобок Пуассона. С другой стороны, это доквантовое гильбертово пространство слишком велико, чтобы иметь физический смысл. Затем можно ограничиться функциями (или секциями), зависящими от половины переменных фазового пространства, в результате чего получается квантовое гильбертово пространство.

Квантование интеграла по траектории [ править ]

Классическая механическая теория задается действием , допустимыми конфигурациями которого являются экстремальные по отношению к функциональным вариациям действия. Квантово-механическое описание классической системы также может быть построено на основе действия системы с помощью формулировки интеграла по траекториям .

Другие типы [ править ]

Петлевая квантовая гравитация (петлевое квантование)
Принцип неопределенности (подход квантовой статистической механики)
Квантовый принцип действия Швингера

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Абрахам Р. и Марсден (1985): Основы механики , изд. Аддисон-Уэсли, ISBN 0-8053-0102-X
Али, С.Т., и Энглиш, М. (2005). «Методы квантования: руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике 17 (04), 391-490. arXiv : math-ph/0405065 дои : 10.1142/S0129055X05002376
Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 01 :37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
Дж. Джачетта, Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили , Геометрические и алгебро-топологические методы в квантовой механике (World Scientific, 2005) ISBN 981-256-129-3
Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H
М. Пескин, Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2
Тодоров, Иван (2012). «Квантование – это загадка». Препринт arXiv arXiv:1206.3116 (2012)
Вайнберг, Стивен, Квантовая теория полей (3 тома)

Примечания [ править ]

^ Фолсинг, Альбрехт (1997), Альберт Эйнштейн: Биография , пер. Эвальд Озерс, Викинг
^ Маккормах, Рассел (весна 1967 г.). «Анри Пуанкаре и квантовая теория». Исида . 58 (1): 37–55. дои : 10.1086/350182 . S2CID 120934561 .
^ Айронс, FE (август 2001 г.). «Доказательство квантовой неоднородности Пуанкаре 1911–1912 годов, интерпретируемое как применимое к атомам». Американский журнал физики . 69 (8): 879–84. Бибкод : 2001AmJPh..69..879I . дои : 10.1119/1.1356056 .
↑ Зал 2013, Глава 13.
^ Холл, 2013 г. , Теорема 13.13.
^ Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .
^ Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 . ISSN 0031-8914 .
^ Даль, Йенс Педер; Шляйх, Вольфганг П. (2002). «Представления о радиальной и угловой кинетической энергии». Физический обзор А. 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Бибкод : 2002PhRvA..65b2109D . дои : 10.1103/PhysRevA.65.022109 . ISSN 1050-2947 . S2CID 39409789 .
↑ Зал 2013 г., главы 22 и 23.

[1] Фолсинг, Альбрехт (1997), Альберт Эйнштейн: Биография , пер. Эвальд Озерс, Викинг

[2] Маккормах, Рассел (весна 1967 г.). «Анри Пуанкаре и квантовая теория». Исида . 58 (1): 37–55. дои : 10.1086/350182 . S2CID 120934561 .

[3] Айронс, FE (август 2001 г.). «Доказательство квантовой неоднородности Пуанкаре 1911–1912 годов, интерпретируемое как применимое к атомам». Американский журнал физики . 69 (8): 879–84. Бибкод : 2001AmJPh..69..879I . дои : 10.1119/1.1356056 .

[4] Зал 2013, Глава 13.

[5] Холл, 2013 г. , Теорема 13.13.

[6] Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .

[Groenewold1946-7] Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 . ISSN 0031-8914 .

[DahlSchleich2002-8] Даль, Йенс Педер; Шляйх, Вольфганг П. (2002). «Представления о радиальной и угловой кинетической энергии». Физический обзор А. 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Бибкод : 2002PhRvA..65b2109D . дои : 10.1103/PhysRevA.65.022109 . ISSN 1050-2947 . S2CID 39409789 .

[9] Зал 2013 г., главы 22 и 23.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]