Функция распределения (физика)

Эта статья о функции распределения, используемой в физике. Для получения информации о связанных математических понятиях см. кумулятивную функцию распределения и функцию плотности вероятности .

В молекулярно -кинетической теории в физике системы функция распределения является функцией семи переменных: $f(t,x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})$, что дает количество частиц в единице объема в одночастичном фазовом пространстве . Это количество частиц в единице объема, имеющих приблизительную скорость $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ рядом с позицией $\mathbf {r} =(x,y,z)$ и время $t$. Обычная нормировка функции распределения имеет вид $$n(\mathbf {r} ,t)=\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z},$$$$N(t)=\int n(\mathbf {r} ,t)\,dx\,dy\,dz,$$где N — общее количество частиц, а n — плотность частиц — количество частиц в единице объема или плотность, деленная на массу отдельных частиц.

Функция распределения может быть специализирована по отношению к определенному набору измерений. Например, возьмем квантовомеханическое шестимерное фазовое пространство: $f(x,y,z;p_{x},p_{y},p_{z})$ и умножьте на общий объем пространства, чтобы получить распределение импульса, т.е. количество частиц в фазовом пространстве импульса, имеющих приблизительно импульс $(p_{x},p_{y},p_{z})$.

Функции распределения частиц часто используются в физике плазмы для описания взаимодействий волна-частица и нестабильностей в пространстве скоростей. Функции распределения также используются в механике жидкости , статистической механике и ядерной физике .

Базовая функция распределения использует константу Больцмана. $k$ и температура $T$ с числовой плотностью для изменения нормального распределения : $$f=n\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left({-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}}\right).$$

Связанные функции распределения могут допускать объемный поток жидкости, и в этом случае начало скорости смещается, так что числитель показателя степени равен $m((v_{x}-u_{x})^{2}+(v_{y}-u_{y})^{2}+(v_{z}-u_{z})^{2})$, где $(u_{x},u_{y},u_{z})$ – объемная скорость жидкости. Функции распределения также могут иметь неизотропные температуры, при которых каждый член показателя степени делится на другую температуру.

Теории плазмы, такие как магнитогидродинамика, могут предполагать, что частицы находятся в термодинамическом равновесии . В этом случае функция распределения является максвелловской . Эта функция распределения допускает течение жидкости и различные температуры в направлениях, параллельных и перпендикулярных локальному магнитному полю. Можно также использовать более сложные функции распределения, поскольку плазма редко находится в тепловом равновесии.

Математическим аналогом распределения является мера ; эволюция меры во времени в фазовом пространстве является предметом изучения динамических систем .