Поляризация фотонов

Поляризация фотона — это квантовомеханическое описание классической поляризованной синусоидальной плоской электромагнитной волны . Отдельный фотон можно описать как имеющий правую или левую круговую поляризацию или суперпозицию двух. Эквивалентно, фотон можно описать как имеющий горизонтальную или вертикальную линейную поляризацию или суперпозицию двух.

Описание поляризации фотонов содержит множество физических концепций и большую часть математического аппарата более сложных квантовых описаний, таких как квантовая механика электрона в потенциальной яме. Поляризация — это пример степени свободы кубита , которая формирует фундаментальную основу для понимания более сложных квантовых явлений. Большая часть математического аппарата квантовой механики, такого как векторы состояния , амплитуды вероятности , унитарные операторы и эрмитовы операторы , естественным образом возникают из классических уравнений Максвелла в описании. Вектор состояния квантовой поляризации фотона, например, идентичен вектору Джонса , обычно используемому для описания поляризации классической волны . Унитарные операторы возникают из классического требования сохранения энергии классической волны, распространяющейся в средах без потерь, которые изменяют состояние поляризации волны. Затем следуют эрмитовы операторы для бесконечно малых преобразований классического состояния поляризации.

Многие следствия математического аппарата легко проверить экспериментально. Фактически, многие эксперименты можно проводить с линзами солнцезащитных очков Polaroid .

Связь с квантовой механикой осуществляется через определение минимального размера пакета, называемого фотоном , для энергии в электромагнитном поле. Идентификация основана на теориях Планка и интерпретации этих теорий Эйнштейном . Тогда принцип соответствия позволяет идентифицировать импульс и угловой момент (называемый спином ), а также энергию фотона.

Поляризация классических электромагнитных волн

Основная статья: Поляризация (волны)

Поляризационные состояния

Линейная поляризация

Основная статья: Линейная поляризация

Влияние поляризатора на отражение от илистых отмелей. На первом снимке поляризатор повернут, чтобы минимизировать эффект; во втором он повернут на 90°, чтобы максимизировать его: почти весь отраженный солнечный свет устраняется.

Волна линейно поляризована (или плоскополяризована), когда фазовые углы $\alpha _{x}\,,\;\alpha _{y}$ равны ​ , $$\alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .$$

Это представляет собой волну с фазой $\alpha$ поляризован под углом $\theta$ относительно оси х. В этом случае вектор Джонса $$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}$$можно записать в одну фазу: $$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha \right).$$

Векторы состояния для линейной поляризации по x или y являются частными случаями этого вектора состояния.

Если единичные векторы определены так, что $$|x\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$$и $$|y\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$$тогда состояние линейно поляризованной поляризации можно записать в «базисе x – y» как $$|\psi \rangle =\cos \theta \exp \left(i\alpha \right)|x\rangle +\sin \theta \exp \left(i\alpha \right)|y\rangle =\psi _{x}|x\rangle +\psi _{y}|y\rangle .$$

Круговая поляризация

Основная статья: Круговая поляризация

Если фазовые углы $\alpha _{x}$ и $\alpha _{y}$ отличаются ровно на $\pi /2$ и амплитуда x равна амплитуде y, волна имеет круговую поляризацию . Вектор Джонса тогда становится $$|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha _{x}\right)$$где знак плюс указывает на левую круговую поляризацию, а знак минус указывает на правую круговую поляризацию. В случае круговой поляризации вектор электрического поля постоянной величины вращается в плоскости x–y.

Если единичные векторы определены так, что $$|\mathrm {R} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}$$и $$|\mathrm {L} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$$тогда произвольное состояние поляризации можно записать в «базисе R – L» как $$|\psi \rangle =\psi _{\rm {R}}|\mathrm {R} \rangle +\psi _{\rm {L}}|\mathrm {L} \rangle$$где $$\psi _{\rm {R}}=\langle \mathrm {R} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})-i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right)$$и $$\psi _{\rm {L}}=\langle \mathrm {L} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})+i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right).$$

Мы можем видеть это $$1=|\psi _{\rm {R}}|^{2}+|\psi _{\rm {L}}|^{2}.$$

Эллиптическая поляризация

Основная статья: Эллиптическая поляризация

Общий случай, когда электрическое поле вращается в плоскости x–y и имеет переменную величину, называется эллиптической поляризацией . Вектор состояния определяется выражением $$|\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}.$$

Геометрическая визуализация произвольного состояния поляризации

Чтобы понять, как выглядит состояние поляризации, можно наблюдать орбиту, которая получается, если состояние поляризации умножить на фазовый коэффициент $e^{i\omega t}$ а затем действительные части его компонентов интерпретируются как координаты x и y соответственно. То есть: $${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}}=\Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}\right]=\Re \left(e^{i\omega t}|\psi \rangle \right).$$

только прорисованную форму и направление вращения ( x ( t ), y ( t )) Если при интерпретации состояния поляризации учитывать , т.е. только $$M(|\psi \rangle )=\left.\left\{{\Big (}x(t),\,y(t){\Big )}\,\right|\,\forall \,t\right\}$$(где x ( t ) и y ( t ) определены, как указано выше) и имеет ли он в целом более правую циркулярную или левую циркулярную поляризацию (т. е. | ψ _R | > | ψ _L | или наоборот), можно видеть, что физическая интерпретация будет такой же, даже если состояние умножить на произвольный фазовый коэффициент, поскольку $$M(e^{i\alpha }|\psi \rangle )=M(|\psi \rangle ),\ \alpha \in \mathbb {R}$$и направление вращения останется прежним. Другими словами, между двумя состояниями поляризации нет физической разницы. $|\psi \rangle$ и $e^{i\alpha }|\psi \rangle$, между которыми различается только фазовый коэффициент.

Видно, что для линейно поляризованного состояния M будет линией в плоскости xy длиной 2 и серединой в начале координат, наклон которой равен tan( θ ) . Для состояния с круговой поляризацией M будет окружностью радиуса 1/ √ 2 и серединой в начале координат.

Энергия, импульс и угловой момент классической электромагнитной волны

Плотность энергии классических электромагнитных волн

Энергия в плоской волне

Основная статья: Плотность энергии

Энергия единицы объема в классических электромагнитных полях равна (единицы СГС), а также планковские единицы: $${\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].$$

Для плоской волны это выглядит так: $${\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}$$где энергия усреднена по длине волны.

Доля энергии в каждом компоненте

Доля энергии в x-компоненте плоской волны равна $$f_{x}={\frac {|\mathbf {E} |^{2}\cos ^{2}\theta }{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta$$с аналогичным выражением для компонента y, что приводит к $f_{y}=\sin ^{2}\theta$.

Доля в обоих компонентах равна $$\psi _{x}^{*}\psi _{x}+\psi _{y}^{*}\psi _{y}=\langle \psi |\psi \rangle =1.$$

Плотность импульса классических электромагнитных волн

Плотность импульса определяется вектором Пойнтинга $${\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).$$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении z, импульс находится в направлении z и связан с плотностью энергии: $${\mathcal {P}}_{z}c={\mathcal {E}}_{c}.$$

Плотность импульса усреднена по длине волны.

Плотность углового момента классических электромагнитных волн

Основная статья: Угловой момент света

Электромагнитные волны могут иметь как орбитальный , так и спиновый угловой момент. Полная плотность углового момента равна $${\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right].$$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся вдоль $z$ оси орбитальная плотность углового момента равна нулю. Плотность спинового углового момента находится в $z$ направление и определяется выражением $${\mathcal {L}}={{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\left\vert \langle \mathrm {R} |\psi \rangle \right\vert ^{2}-\left\vert \langle \mathrm {L} |\psi \rangle \right\vert ^{2}\right)={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)$$где снова плотность усредняется по длине волны.

Оптические фильтры и кристаллы

Прохождение классической волны через поляроидный фильтр.

Линейная поляризация

пропускает Линейный фильтр одну составляющую плоской волны и поглощает перпендикулярную составляющую. В этом случае, если фильтр поляризован в направлении x, доля энергии, проходящей через фильтр, равна $$f_{x}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta .\,$$

Пример сохранения энергии: прохождение классической волны через двулучепреломляющий кристалл.

Идеальный кристалл с двойным лучепреломлением преобразует состояние поляризации электромагнитной волны без потери волновой энергии. Таким образом, кристаллы с двойным лучепреломлением представляют собой идеальный испытательный стенд для изучения консервативной трансформации состояний поляризации. Несмотря на то, что эта трактовка по-прежнему является чисто классической, естественным образом появляются стандартные квантовые инструменты, такие как унитарные и эрмитовые операторы, которые развивают состояние во времени.

Начальное и конечное состояния

Двулучепреломляющий кристалл — это материал, который имеет оптическую ось со свойством, что свет имеет другой показатель преломления для света, поляризованного параллельно оси, чем для света, поляризованного перпендикулярно оси. Свет, поляризованный параллельно оси, называется « необыкновенными лучами » или « необыкновенными фотонами », а свет, поляризованный перпендикулярно оси, называется « обычными лучами » или « обычными фотонами ». Если на кристалл падает линейно поляризованная волна, необыкновенная компонента волны выйдет из кристалла с фазой, отличной от фазы обыкновенной компоненты. Говоря математическим языком, если падающая волна линейно поляризована под углом $theta$ относительно оптической оси вектор падающего состояния можно записать $$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}$$а вектор состояния возникающей волны можно записать $$|\psi '\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\exp \left(i\alpha _{x}\right)&0\\0&\exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {U}}|\psi \rangle .$$

В то время как начальное состояние было линейно поляризованным, конечное состояние поляризовано эллиптически. Двулучепреломляющий кристалл изменяет характер поляризации.

Двойное конечного состояния

Кристалл кальцита, лежащий на бумаге с буквами, обозначающими двойное лучепреломление.

Начальное состояние поляризации преобразуется в конечное состояние с помощью оператора U. Двойственное конечному состоянию определяется выражением $$\langle \psi '|=\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }$$где $U^{\dagger }$ является сопряженным к U, комплексно-сопряженной транспонированной матрице.

Унитарные операторы и энергосбережение

Доля энергии, выходящая из кристалла, равна $$\langle \psi '|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1.$$

В этом идеальном случае вся энергия, падающая на кристалл, выходит из кристалла. Оператор U со свойством, что $${\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,$$где I — тождественный оператор , а U называется унитарным оператором . Унитарное свойство необходимо для обеспечения энергосбережения при преобразованиях состояния.

Эрмитовы операторы и энергосбережение

Двойно преломляющийся кальцит из ледника Айсберг, Диксон, Нью-Мексико. Этот кристалл весом 35 фунтов (16 кг), выставленный в Национальном музее естественной истории , является одним из крупнейших монокристаллов в Соединенных Штатах.

Если кристалл очень тонкий, конечное состояние будет лишь незначительно отличаться от исходного. Унитарный оператор будет близок к тождественному оператору. Мы можем определить оператор H следующим образом: $${\hat {U}}\approx I+i{\hat {H}}$$и сопряженный с $${\hat {U}}^{\dagger }\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }.$$

Тогда энергосбережение требует

$$I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I-i{\hat {H}}^{\dagger }\right)\left(I+i{\hat {H}}\right)\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }+i{\hat {H}}.$$

Это требует, чтобы $${\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger }.$$

Подобные операторы, равные своим сопряженным, называются эрмитовыми или самосопряженными.

Бесконечно малый переход состояния поляризации $$|\psi '\rangle -|\psi \rangle =i{\hat {H}}|\psi \rangle .$$

Таким образом, сохранение энергии требует, чтобы бесконечно малые преобразования состояния поляризации происходили под действием эрмитова оператора.

Фотоны: связь с квантовой механикой

Основная статья: Фотон

Энергия, импульс и угловой момент фотонов

Энергия

Лечение до этого момента было классическим . Однако свидетельством общности уравнений электродинамики Максвелла является то, что их лечение можно сделать квантовомеханическим , лишь переосмыслив классические величины. Реинтерпретация основана на теориях Макса Планка и интерпретации Альбертом Эйнштейном этих теорий и других экспериментов.

Вывод Эйнштейна, сделанный на основе ранних экспериментов по фотоэлектрическому эффекту , состоит в том, что электромагнитное излучение состоит из несократимых пакетов энергии, известных как фотоны . Энергия каждого пакета связана с угловой частотой волны соотношением $$\epsilon =\hbar \omega$$где $\hbar$ — экспериментально определенная величина, известная как приведенная постоянная Планка . Если есть $N$ фотоны в ящике объема $V$, энергия в электромагнитном поле равна $$N\hbar \omega$$а плотность энергии $${N\hbar \omega \over V}$$

Энергия фотона может быть связана с классическими полями посредством принципа соответствия , который гласит, что для большого числа фотонов квантовая и классическая трактовки должны согласовываться. Таким образом, для очень больших $N$, плотность энергии квантов должна быть такой же, как плотность классической энергии $${N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}{8\pi }}.$$

Тогда число фотонов в ящике будет $$N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\vert \mathbf {E} \vert ^{2}.$$

Импульс

Принцип соответствия также определяет импульс и угловой момент фотона. Для импульса $${\mathcal {P}}_{z}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k_{z} \over V}$$где $k_{z}$ это волновое число. Это означает, что импульс фотона равен $$p_{z}=\hbar k_{z}.\,$$

Угловой момент и спин

Аналогично для спинового момента $${\mathcal {L}}={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)={\frac {N\hbar }{V}}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)$$где ${\mathcal {E}}_{c}$ это напряженность поля. Это означает, что спиновый угловой момент фотона равен $$l_{z}=\hbar \left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right).$$квантовая интерпретация этого выражения состоит в том, что фотон имеет вероятность $\mid \psi _{\rm {R}}\mid ^{2}$ иметь спиновый угловой момент $\hbar$ и вероятность $\mid \psi _{\rm {L}}\mid ^{2}$ иметь спиновый угловой момент $-\hbar$. Поэтому мы можем думать о спиновом угловом моменте квантованного фотона, а также об энергии. Подтвержден угловой момент классического света. Фотон с линейной поляризацией (плоскополяризованный) находится в суперпозиции равного количества левого и правого состояний.

Оператор спина

Спин фотона определяется как коэффициент $\hbar$ в расчете спинового углового момента. Фотон имеет спин 1, если он находится в $|R\rangle$ состоянии и -1, если оно находится в $|L\rangle$ состояние. Оператор спина определяется как внешнее произведение $${\hat {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |-|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.$$

Собственные векторы оператора спина равны $|\mathrm {R} \rangle$ и $|\mathrm {L} \rangle$ с собственными значениями 1 и −1 соответственно.

Тогда ожидаемое значение измерения спина фотона будет $$\langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}.$$

Оператор S был связан с наблюдаемой величиной — спиновым угловым моментом. Собственные значения оператора — это разрешенные наблюдаемые значения. Это было продемонстрировано для спинового углового момента, но в целом верно для любой наблюдаемой величины.

Спиновые состояния

Смотрите также: Круговая поляризация § Квантовая механика

Мы можем записать состояния с круговой поляризацией как $$|s\rangle$$где s = 1 для $|\mathrm {R} \rangle$ и s = −1 для $|\mathrm {L} \rangle$. Произвольное состояние можно записать $$|\psi \rangle =\sum _{s=-1,1}a_{s}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle$$где $\alpha _{1}$ и $\alpha _{-1}$ - фазовые углы, θ - угол, на который поворачивается система отсчета, и $$\sum _{s=-1,1}\vert a_{s}\vert ^{2}=1.$$

Операторы спина и углового момента в дифференциальной форме

Когда состояние записано в спиновой нотации, оператор спина может быть записан $${\hat {S}}_{d}\rightarrow i{\partial \over \partial \theta }$$$${\hat {S}}_{d}^{\dagger }\rightarrow -i{\partial \over \partial \theta }.$$

Собственные векторы дифференциального оператора спина равны $$\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle .$$

Чтобы увидеть эту заметку $${\hat {S}}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle =s\left[\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \right].$$

Оператор спинового углового момента: $${\hat {l}}_{z}=\hbar {\hat {S}}_{d}.$$

Природа вероятности в квантовой механике

Вероятность существования одного фотона

Есть два способа применения вероятности к поведению фотонов; Вероятность можно использовать для расчета вероятного числа фотонов в определенном состоянии, или вероятность можно использовать для расчета вероятности того, что один фотон окажется в определенном состоянии. Первая интерпретация нарушает закон сохранения энергии. Последняя интерпретация является жизнеспособным, хотя и неинтуитивным вариантом. Дирак объясняет это в контексте эксперимента с двумя щелями :

За некоторое время до открытия квантовой механики люди поняли, что связь между световыми волнами и фотонами должна носить статистический характер. Однако они не совсем осознавали, что волновая функция дает информацию о вероятности нахождения одного фотона в определенном месте, а не о вероятном количестве фотонов в этом месте. Важность этого различия можно прояснить следующим образом. Предположим, у нас есть луч света, состоящий из большого количества фотонов, разделенных на две компоненты одинаковой интенсивности. Если предположить, что пучок связан с вероятным количеством фотонов в нем, то в каждый компонент должна попасть половина общего числа. Если теперь эти два компонента будут интерферировать, нам нужно будет потребовать, чтобы фотон в одном компоненте мог интерферировать с одним из них в другом. Иногда этим двум фотонам приходилось уничтожать друг друга, а иногда им приходилось производить четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает эту трудность, заставляя каждый фотон частично переходить в каждый из двух компонентов. Тогда каждый фотон интерферирует только сам с собой. Интерференция между двумя разными фотонами никогда не возникает.
- Поль Дирак , Принципы квантовой механики, 1930, глава 1.

Амплитуды вероятности

Вероятность того, что фотон окажется в определенном состоянии поляризации, зависит от полей, рассчитанных по классическим уравнениям Максвелла. Состояние поляризации фотона пропорционально полю. Сама вероятность квадратична по полям и, следовательно, квадратична и по квантовому состоянию поляризации. Таким образом, в квантовой механике состояние или амплитуда вероятности содержит основную информацию о вероятности. В целом правила объединения амплитуд вероятности очень похожи на классические правила композиции вероятностей: [Следующая цитата взята из Байма, глава 1]

1. Амплитуда вероятности для двух последовательных вероятностей является произведением амплитуд отдельных возможностей. Например, амплитуда фотона с правой циркулярной поляризацией, поляризованного по оси x , и фотона с правой циркулярной поляризацией, прошедшего через y-поляроид, равна $\langle R|x\rangle \langle y|R\rangle ,$ произведение отдельных амплитуд.
2. Амплитуда процесса, который может происходить одним из нескольких неразличимых способов, представляет собой сумму амплитуд каждого из отдельных способов. Например, общая амплитуда фотона с поляризацией x, прошедшего через поляроид y, представляет собой сумму амплитуд, которые он может пройти как фотон с правой круговой поляризацией: $\langle y|R\rangle \langle R|x\rangle ,$ плюс амплитуда, позволяющая ему пройти как фотон с левой круговой поляризацией, $\langle y|L\rangle \langle L|x\rangle \dots$
3. Общая вероятность возникновения процесса равна квадрату абсолютного значения полной амплитуды, рассчитанной по 1 и 2.

Принцип неопределенности

Основная статья: Принцип неопределенности

Неравенство Коши–Шварца в евклидовом пространстве. $\mathbf {V} \cdot \mathbf {W} =\left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|\cos a.$ Это подразумевает $\mathbf {V} \cdot \mathbf {W} \leq \left\|\mathbf {V} \right\|\left\|\mathbf {W} \right\|.$

Математическая подготовка

Для любого юридического следующее неравенство, являющееся следствием неравенства Коши–Шварца операторов верно . $${\frac {1}{4}}\left|\langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})x|x\rangle \right|^{2}\leq \left\|{\hat {A}}x\right\|^{2}\left\|{\hat {B}}x\right\|^{2}.$$

Если BA ψ и AB ψ определены, то, вычитая средние значения и повторно подставив их в приведенную выше формулу, мы получаем $$\Delta _{\psi }{\hat {A}}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|$$где $$\left\langle {\hat {X}}\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi \right|{\hat {X}}\left|\psi \right\rangle$$— среднее операторное наблюдаемой X в состоянии системы ψ и $$\Delta _{\psi }{\hat {X}}={\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}.$$

Здесь $$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$$называется коммутатором A ​ и B. ​

Это чисто математический результат. Никакой ссылки не было сделано на какую-либо физическую величину или принцип. Он просто утверждает, что неопределенность одного оператора, умноженная на неопределенность другого оператора, имеет нижнюю границу.

Приложение к угловому моменту

Связь с физикой можно установить, если мы отождествим операторы с физическими операторами, такими как угловой момент и угол поляризации. У нас есть тогда $$\Delta _{\psi }{\hat {L}}_{z}\,\Delta _{\psi }{\theta }\geq {\frac {\hbar }{2}},$$это означает, что угловой момент и угол поляризации не могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью. (Угол поляризации можно измерить, проверив, может ли фотон пройти через поляризационный фильтр, ориентированный под определенным углом, или поляризационный светоделитель . Это приводит к ответу «да» или «нет», что, если бы фотон был плоскополяризован под каким-либо другим угол, зависит от разницы между двумя углами.)

Состояния, амплитуды вероятности, унитарные и эрмитовы операторы и собственные векторы

Большая часть математического аппарата квантовой механики появляется в классическом описании поляризованной синусоидальной электромагнитной волны. Например, вектор Джонса для классической волны идентичен вектору состояния квантовой поляризации фотона. Правую и левую круговые компоненты вектора Джонса можно интерпретировать как амплитуды вероятности спиновых состояний фотона. Сохранение энергии требует, чтобы состояния были преобразованы с помощью унитарной операции. Это означает, что бесконечно малые преобразования преобразуются с помощью эрмитова оператора. Эти выводы являются естественным следствием структуры уравнений Максвелла для классических волн.

Квантовая механика появляется на сцене, когда наблюдаемые величины измеряются и оказываются дискретными, а не непрерывными. Разрешенные наблюдаемые значения определяются собственными значениями операторов, связанных с наблюдаемыми. Например, в случае углового момента разрешенными наблюдаемыми значениями являются собственные значения оператора спина.

Эти концепции естественным образом возникли из уравнений Максвелла и теорий Планка и Эйнштейна. Было обнаружено, что они верны для многих других физических систем. Фактически, типичная программа состоит в том, чтобы принять концепции этого раздела, а затем сделать вывод о неизвестной динамике физической системы. Так было сделано, например, с динамикой электронов. В этом случае, исходя из принципов, изложенных в этом разделе, была выведена квантовая динамика частиц, что привело к уравнению Шредингера , отходу от ньютоновской механики . Решение этого уравнения для атомов привело к объяснению ряда Бальмера для атомных спектров и, следовательно, легло в основу всей атомной физики и химии.

Это не единственный случай в котором уравнения Максвелла вызвали реструктуризацию ньютоновской механики. Уравнения Максвелла релятивистски непротиворечивы. Специальная теория относительности возникла в результате попыток привести классическую механику в соответствие с уравнениями Максвелла (см., например, « Проблему о движущемся магните и проводнике »).

См. также

• Угловой момент света
  • Спиновый угловой момент света
  • Орбитальный угловой момент света
• Квантовая декогеренция
• Эксперимент Штерна-Герлаха
• Корпускулярно-волновой дуализм
• Двухщелевой эксперимент
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Спиновая поляризация

Дальнейшее чтение

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN  0-471-30932-Х .
• Байм, Гордон (1969). Лекции по квантовой механике . В. А. Бенджамин. ISBN  0-8053-0667-6 .
• Дирак, ПАМ (1958). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд. ISBN  0-19-851208-2 .